人教A版选修45 3.1二维形式的柯西不等式 课时作业 .doc

3.1二维形式的柯西不等式同步检测一、选择题1. 已知x，y0，且xy1 ，则1+1x1+1y的最小值为( )a.4 b.2 c.1 d. 答案：a解析：解答：1+1x1+1y=12+1x212+2y211+1x1y2=1+1xy2=22=4，当且仅当x=y=1时等号成立.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.2. 函数的最大值是( )a.3 b. c.3 d.4答案：c解析：解答：y2=22-x+2x-32222+222-x2+x-322=612=3，当且仅当2x-32=22-x，即x=53时等号成立.y的最大值为3分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是两边平方，如何根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.3. 已知4x+9y=2，x，y0，则xy的最小值是( )a.252 b.254 c. d.5答案：a解析：解答：由4x+9y=2，可得x+y=x2+y22x2+3y2212x2x+y3y2=122+32=252.当且仅当x3y=y2x，即x=5，y=152时等号成立.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.4. 已知xy1，那么2x2+3y2的最小值是( )a. b. c.2536 d.3625 答案：b解析：解答：2x2+3y2=2x2+3y232+2215156x+6y2=65x+y2=65.当且仅当2x=3y，即x=35，y=25时等号成立.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式构造变换计算即可.5. 若x2+y2=8，则2xy的最大值为( )a.8 b.4 c.210 d.5答案：c解析：解答：x2+y24+12x+y2.2x+y285=40，当且仅当x=2y时等号成立，即2x+ymax=210.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.6. 若ab1，则a+1a2+b+1b2? 未#来脑教学#云平台的最小值为( )a.1 b.2 c.252 d. 答案：c解析：解答：a+1a2+b+1b2=a2+2+1a2+b2+2+1b2.a+b=1，a2+b2=12a2+b21+112a+b2=12，又1a2+1b22ab8a+b2=8，以上两个不等式都是当且仅当a=b=12时，等号成立.a+1a2+b+1b212+2+2+8=252，当且仅当a=b=12时等号成立，取到最小值252.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是首项展开所给式子，如何结合条件根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.7. 已知2x2+y2=1，则2xy的最大值是( )a.2 b.2 c.3 d.3答案：c解析：解答：2x+y=22x+1y22+122x2+y2=32x2+y2=3当且仅当2y=2x，即x=y=33时等号成立，即2x+y取到最大值3.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.二、填空题8.设xy0，则x2+4y2y2+1x2的最小值为_.答案：9解析：解答：原式=x2+2y21x2+y2x1x+2yy2=9.当且仅当xy=2时等号成立，即所求最小值为9.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.9. 函数y=3x-5+46-x的最大值为_.答案：5解析：解答：y2=3x-5+46-x232+42x-52+6-x2=25x-5+6-x=25，当且仅当36-x=4x-5，即x=13425时等号成立.函数y的最大值为5.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是两边平方然后根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.10. 设实数x，y满足3x2+2y26，则2xy的最大值为_.答案：11解析：解答：由柯西不等式得2x+y23x2+2y2232+122=3x2+2y243+126116=11.当且仅当3x=4y，即x=411，y=311时等号成立.因此2x+y的最大值为11.分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.三、解答题11. 如何把一条长为m的绳子截成3段，各围成一个正方形，使这3个正方形的面积和最小？答案：解：设这3段的长度分别为x，y，z，则xyzm，且3个正方形的面积和s(x4)2(y4)2(z4)2116(x2y2z2).因为(x2y2z2)(121212)(xyz)2m2，等号当且仅当xyzm3时成立，所以x2y2z2有最小值m23，从而s有最小值m248.把绳子三等分后，这3段所围成的3个正方形的面积和最小.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给问题求得面积的表达式，如何根据二维形式的柯西不等式变换计算求得其最小值即可.12. 已知a2+b2=1，x2+y2=1，求证：ax+by1.答案：证明：由柯西不等式，得ax+bya2+b2x2+y2=1.当且仅当ay=bx时等号成立.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.13. 设a，b，c为正数，求证：a2+b2+b2+c2+a2+c22(a+b+c).答案：证明：由柯西不等式：a2b21212ab，即2a2b2ab，同理：2b2c2bc，2a2c2ac，将上面三个同向不等式相加得：2(a2b2a2c2b2c2)2(abc)，a2b2a2c2b2c22(abc).解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可.14. 在半径为r的圆内，求周长最大的内接长方形.答案：解：如图，设内接长方形abcd的长为x，则宽为4r2-x2，于是长方形abcd的周长l=2x+4r2-x2=21x+14r2-x2.由柯西不等式得l2x2+4r2-x221212+1112=222r=42r.当且仅当x1=4r2-x21，即x=2r时等号成立.此时，4r2-x2=4r2-2r2=2r.即长方形abcd为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42r.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给实际问题得到周长的表达式，然后根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.15. 设a，b0，且ab2.求证：a22-a+b22-b2.答案：证明：根据柯西不等式，有2-a+2-ba22-a+b22-b=2-a2+2-b2a2-a2+b2-b22-aa2-a+2-bb2-b2=a+b2=4.a22-a+b22-b42-a+2-b=2.当且仅当2-ab2-b=2-ba2-a，即a=b=1时等号成立.原不等式成立.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求a22-a+b22-b的最小值，因而需出现a2+b2c2+d2结构.把a22-a+b22-b视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是2-a2-b.16. 设a，b，c，b是4个不全为零的实数，求证：ab+2bc+cda2+b2+c2+d22+12.答案：证明：ab2bccd(abcd)(bcad)(bcad)2abcd2bc-ad2b2a2(c2d2)2a2c2b2d2a2b2(c2d2)2a2c2b2d22a2b2(c2d2)2212(a2b2c2d2)ab2bccda2b2c2d2212.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件.17. 设a1，a2，a3为正数，求证：a13+a12a2+a1a22+a23+a23+a22a3+a2a32+a33+a33+a32a1+a3a12+a132(a13+a23+a33)答案：证明：因为a13a12a2a1a22a23(a1a2)(a12a22)，由柯西不等式得(a1)2(a2)2(a12a22)(a1a1a2a2)2，于是a13a12a2a1a22a23(a13a23)2.故a13a12a2a1a22a23a13a23，同理a23a22a3a2a32a33a23a33，a33a32a1a3a12a13a33a13将以上三个同向不等式相加，即得a13a12a2a1a22a23a23a22a3a2a32a33a33a32a1a3a12a132(a13a23a33)解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可.18. 若3x4y2，求x2+y2的最小值答案：解：由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2得25(x2y2)4，所以x2y2425.当且仅当x3y4时等号成立，由3x4y2，x3y4.得x625，y825.因此，当x625，y825时，x2y2取得最小值，最小值为425.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后利用柯西不等式求最值.19. 已知abc，求证：1a-b+1b-c4a-c答案：证明：原不等式可变形为a-c1a-b+1b-c4.又a-c=a-b+b-c，利用柯西不等式证明即可.证明：a-c1a-b+1b-c=a-b+b-c1a-b+1b-c=a-b2+b-c21a-b2+1b-c2a-b1a-b+b-c1b-c2=4，当且仅当a-b1b-c=b-c1a-b，即a-b=b-c时等号成立.原不等式成立.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键对所给条件解析变换结合a-c=a-b+b-c如何构造不等式计算即可20. 已知m1且关于x的不等式m-|x-2|1的解集为0,4.求m的值；若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值.答案：解答：因为m1，不等式m-|x-2|1可化为|x-2|m-1，1-mx-2m-1，即3-mxm+1，其解集为0,4，3-m=0m+1=4，m=3.由知a+b=3，(方法一：利用基本不等式)(a+b)2=a2+b2+2ab(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2)，a2+b292，a2+b2的最小值为.(方法二：利用柯西不等式)(a2+b2)(12+12)(a1+b1)2=(a+b)2=9，a2+b292，a2+b2的最小值为.(方法三：消元法求二次函数的最值)a+b=3，b=3-a，a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(a-32)2+9292，a2+b2的最小值为.解析：分析：本题主要考查了二维形式的柯西不等式，解决问题的关键是(1)先利用xa -axa求出不等式的解集，再结合解集的端点值进行求解；(2)解法一：根据两正数为定和，两边平方，借助a2+b22ab进行求解；解法二：构造柯西不等式的形式进行求解；解法三：消元，将其转化为关于a的二次函数进行求解21. 求证：点px0，y0到直线axbyc0的距离为d=ax0+by0+ca2+b2答案：证明：设qx，y是直线上任意一点，则ax+by+c=0.因为pq2=x-x02+y-y02，a2+b20，由柯西不等式，得a2+b2x-x02+y-y02ax-x0+by-y02=ax+by-ax0+by02=ax0+by0+c