2024年中考数学《二次函数的图象与性质》真题含解析

二次函数的图象与性质(39题)1(2024·内蒙古包头·中考真题)将抛物线y=x2+2x向下平移2()A.y=x+12-3B.y=x+12-2C.y=x-12-3y=x-12-2Ay=x2+2x-2的抛物线为y=x2+2x-2y=x2+2x向下平移个单位后，则抛物线变为y=x2+2x-2∴y=x2+2x-2化成顶点式则为y=x+12-3，化为顶点式即可．2，故选：A．kx2(2024·广东广州·中考真题)函数y1=ax2+bx+c均随着x的增大而减小．与y=2()yy时，，12A.x<-1DB.-1<x<0C.0<x<2x>1x>1时，y随着x的增大而减小；yy均随着x122得到答案．x>1时，y1随着x的增大而减小；yy均随着x的增大而减小，22∴当x>1时，yy均随着x的增大而减小，12故选：D．23523(2024·四川凉山·中考真题)抛物线y=x-1+c经过-2y，0yyyyy123，，，，123的大小关系正确的是(A.y>y>y)B.y>y>yC.y>y>yy>y>y132123231312D1的图象与性质可进行求解．23y=x-12+cx=1，52∵-2,y，0,y，,y，123523232而1--2=31-0=1，-1=1<<3∴点0,y-2,y离对称轴最远，12∴y>y>y；132故选：D．4(2024·四川达州·中考真题)抛物线y=-x2+bx+c一个交点的横坐标小于1(与x1)A.b+c>1AB.b=2C.b2+4c<0c<0y=-x2+bx+c与xx,x,x<x2，121依题意，x<1,x>1x=1时，y>0A12BCDy=-x2+bx+c与xx,x,x<x1212依题意，x<1,x>112∵a=-1<0∴当x=1时，y>0-1+b+c>0∴b+c>1Ab2ab-2b2若对称轴为x=-=-==1b=2，而x<1,x>1x=1，12故B∵抛物线与坐标轴有2个交点，∴方程-x2+bx+c=0Δ=b2-4ac>0a=-1∴b2+4c>0C无法判断cD故选：A．5(2024·四川泸州·中考真题)已知二次函数y=ax2+2a-3x+a-1(x是自变量的图象经过第一、)a的取值范围为()98329832A.1≤a<AB.0<a<C.0<a<1≤a<2x轴有2y：∵二次函数y=ax2+2a-3x+a-1Δ=2a-32-4aa-1>0a-3x+x=->012a设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x,x12a-1x⋅x=≥012aa>098解得1≤a<故选：A．．6(2024·陕西·中考真题)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量与函数的几组对应值如下表，xyxy⋯-4-2-24-80035⋯⋯-3-15⋯则下列关于这个二次函数的结论正确的是()A.图象的开口向上B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大图象的对称轴是直线x=1C.D4a-2b+c=-8c=0a=-1c=0，b=29a+3b+c=-3∴二次函数的解析式为y=-x2+2x=-x-12+1，∵a=-1<0，∴A不符合题意；图象的对称轴是直线x=1D符合题意；当0<x<1时，y的值随xx>1时，y的值随xB不符合题意；∵顶点坐标为1,1∴C不符合题意；故选：D．7(2024·湖北·中考真题)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为-1,-2C.a-b+c=-2yx轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是(A.a<0)B.c<0b2-4ac=0Cy=ax2+bx+c3∵y轴的交点位于x轴上方，∴a>0c>0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=b2-4ac>0，∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为-1,-2，∴a-b+c=-2，C符合题意，故选：C．8(2024·广东·中考真题)若点0,y1,1,y2,2,y3都在二次函数y=x2()A.y>y>yB.y>y>yC.y>y>yy>y>y312321213132A得出函数图象的对称轴是y轴(直线x=0)y随x即可．∶二次函数y=x的对称轴为∴当x>0时，y随x的增大而增大，∵点0,y,1,y,2,y都在二次函数y=x20<1<2，2y312∴y>y>y，321故选∶A．9(2024·四川自贡·中考真题)一次函数y=x-2n+4y=x2+(n-1)x-3y=n+1xn的取值范围是()A.n>-1CB.n>2C.-1<n<11<n<2-2n+4>0n-12->0，n+1>04解得：-1<n<1，∴n的取值范围是-1<n<1，故选：C．10(2024·四川遂宁·中考真题)y=ax2+bx+c(abc线x=-1x轴交于点A1,0y轴的交点B在0,-20,-3之间(不含端点)论正确的有多少个(、、a≠0)的对称轴为直)①abc>0；②9a-3b+c≥0；23③<a<1；④若方程ax2+bx+c=x+1两根为m,nm<n-3<m<1<n．A.1B.2C.34Ba>0b=2a>0-3<c<-2-3,0c和b用a-3<-3a<-2y=ax2+bx+c和直线y=x+1与xa>0，∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1x轴交于点A1,0，b2a∴x=-=-1a+b+c=0，则b=2a>0，∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点B在0,-2，0,-3之间，∴-3<c<-2，则abc<0设抛物线与x轴另一个交点x,0，∵对称轴为直线x=-1x轴交于点A1,0，∴1--1=-1-xx=-3，则9a-3b+c=0∵-3<c<-2a+b+c=0b=2a>0，523∴-3<-3a<-2<a<1根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A1,0和-3,0y=x+1过点-1,0和0,1方程ax2+bx+c=x+1两根为故选：B．m,n满足-3<m<1<n、、是常数，11(2024·江苏连云港·中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+c(abca<0)的顶点为(1,2)．小abc<0x>1时，y随xax2+bx+c=0的一个根为312a=-y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移12个单位得到的．其中一定正确的是()A.①②B.②③C.③④②④Bb2a-=1a<0a+b+c=2a表示bcb2a-=1，b∴-=a，2∵a<0，b∴-<0即b>0，2∵a+b+c=2b=-2a∴c=2-a-b=2+a，∴c的值可正也可负，∴不能确定abc∵a<0，∴x=1对称，当x>1时，y随x∵b=-2a,c=2+a，∴抛物线为y=ax2-2ax+2+a，6∵0=9a-6a+2+a，1∴a=-2∵抛物线y=ax2+bx+c=ax-12+2，将y=ax-1+2向左平移个单位得：，y=ax-1+12+2=ax2+21∴抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1∴正确的有②③，故选：B．a表示bc的值是本题的关键．12(2024·四川广安·中考真题)y=ax2+bx+c(abc，，为常数，的图象与轴交于a≠0)x3212点A-,0x=-abc<0-1,y1和点2,y2112y<yam2+bm≤a-b(m为任意实数)3a+4c=0．其中正确的有()124A.1个B.2个C.3个4个Bx轴交点问题逐项分析判断即可.y轴正半轴交于一点，∴a<0c>0.b2a∵-<0，∴b<0.∴abc>0.故①错误；12∵对称轴是直线x=--1,y和点2,y都在抛物线上，121212121212而---1=-+1=<2--=2，∴y>y.故②错误；12当x=m时，y=am2+bm+c，121412当x=-a2-b+c，∴对于任意实数m有：71412am2+bm+c≤a2-b+c，1412∴am2+bm≤a-bb2a12∵-=-，∴b=a.3当x=-时，y=0，29432∴a-b+c=0.∴9a-6b+4c=03a+4c=0，故④正确..故选：B.坐标轴的交点.13(2024·四川眉山·中考真题)y=ax2+bx+ca≠0的图象与轴交于点xA3,0y轴交于点Bx=1bc<03a+2c<0ax2+bx≥a+b若-2<c<8343-1-<a+b+c<-()A.1个B.2个C.3个4Cc=-3a1323<a<b=-2a得到a+b+c=a-2a-3a=-4a∵函数图象开口方向向上，∴a>0；∵对称轴在y轴右侧，∴ab异号，∴b<0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，8∴c<0，∴bc>0②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与轴交于点xA3,0yBx=1轴交于点，b2a∴-=1，∵b=-2a，∴x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0③∵对称轴为直线x=1a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，∴ax2+bx≥a+b，故③正确；④∵-2<c<-1，ca∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得xx=-1×3=-3=，12∴c=-3a，∴-2<-3a<-1，1323∴<a<，∵b=-2a，∴a+b+c=a-2a-3a=-4a，8343∴-<a+b+c<-，故④正确；故选：Ca214(2024·福建·中考真题)已知二次函数y=x2-2ax+aa≠0的图象经过A,yB3a,y，21下列判断正确的是()A.可以找到一个实数ay1>aC.可以找到一个实数ay2<0B.无论实数ay1>a无论实数ay2<0C-2a2x=-=a9坐标为a,a-a2a>0a<0y时，，y21：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+aa≠0，-2a∴x=-=aa,a-a2，2a2a2434当x=时，y1=-a2+a=a-a2，a当a>0时，0<<a，2∴a>y1>a-a2，a当a<0时，a<<0，2∴a-a2<y1<a，故AB∵当a>0时，0<a<2a<3a，由二次函数对称性可知，y2>a>0，当a<0时，3a<2a<a<0y2>a0，故C正确符合题意；D故选：C．15(2024·贵州·中考真题)y=ax2+bx+c的部分图象与轴的一个交点的横坐标是x-3，顶点坐标为-1,4()A.二次函数图象的对称轴是直线x=1C.当x<-1时，y随x的增大而减小B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3D断选项ABCy轴的交点坐标即可判定选项D．∶∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为-1,4，∴二次函数图象的对称轴是直线x=-1A错误；∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点的横坐标是-3x=-1，∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1B错误；∵x=-1，10∴当x<-1时，y随xC错误；设二次函数解析式为y=ax+12+4，把-3,00=a-3+12+4解得a=-1，∴y=-x+12+4，，当x=0时，y=-0+1+4=3，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3D正确，故选D．16(2024·四川乐山·中考真题)已知二次函数y=x2-2x-1≤x≤t-1x=-1当x=1t的取值范围是()A.0<t≤2CB.0<t≤4C.2≤t≤4t≥2的关键．由y=x2-2x=x-12-1x=1，1-1x=-1y=时，3-13关于对称轴对称的点坐标为33x=-1x=11≤t-1≤3：∵y=x2-2x=x-12-1∴x=11-1，，当x=-1时，y=3，∴-13关于对称轴对称的点坐标为33，∵当x=-1x=1∴1≤t-1≤3，解得，2≤t≤4，故选：C．17(2024·黑龙江绥化·中考真题)二次函数y=ax2+bx+ca≠0x=-1bc①>0②am2+bm≤a-b(m为任意实数)③3a+c<1④若Mx,yNx,yx+x≤-3．其中正确的结论有()121211A.1个B.2个C.3个4个Ba<0b=2a<0即可判断①，x=-1x=1时，y<0x+x=-2即可12：∵二次函数图象开口向下∴a<0∵对称轴为直线x=-1，b2a∴x=-=-1∴b=2a<0∵抛物线与yc>0bc∴<0∵x=-1,∴当x=-1时，ya-b+c∴am2+bm+c≤a-b+c(m为任意实数)即am2+bm≤a-b∵x=1时，y<0即a+b+c<0∵b=2a∴a+2a+c<0即3a+c<0∴3a+c<1∵Mx,yNx,y是抛物线上不同的两个点，12∴M,N关于x=-1对称，x1+x∴2=-1即x+x=-2故④不正确122正确的有②③12故选：B18(2024·四川广元·中考真题)y=ax2+bx+c过点别为xx-1<x<02<x<3C0,-2x与轴交点的横坐标分1212①a-b+c<0；②方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根；③a+b>0；23④a>；⑤b2-4ac>4a．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个4个Cx=-1时，y=ab2a12b2a-b+c>0y<-2x=-<-32<x=1时，y=a-b+c>0x=3时，y=9a+3b+c>0可判断⑤；∵抛物线开口向上，-1<x<02<x<3，12∴当x=-1时，y=a-b+c>0②∵抛物线y=ax2+bx+c过点∴函数的最小值y<-2，C0,-2，∴ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根；∴方程ax2+bx+c+2=0③∵-1<x<02<x<3，12b2a12b2a32∴抛物线的对称轴为直线x=-<-<，ba∴1<-<3a>0，∴-3a<b<-a，∴a+b<0④∵抛物线y=ax2+bx+c过点∴c=-2，C0,-2，∵x=1时，y=a-b+c>0，13即3a-3b+3c>0，当x=3时，y=9a+3b+c>0，∴12a+4c>0，∴12a>8，23∴a>⑤∵-1<x<02<x<3，12∴x-x>2，21baca由根与系数的关系可得：x+x=-xx=，1212b2-4ac4a214baca2∴=×--14===x+x2-xx121214x+x2-4xx21211414x-x2>×4=112b2-4ac4a2∴>1，∴b2-4ac>4a2故选：C．19(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)y=ax2+bx+ca≠0与轴交于xA、43B两点，A-3,0,B1,0y轴交点C的纵坐标在-3~-2abc2>056<b<2ax2-bx=ax2-bx且x≠xx+x=-2y=-cx+c与抛物线y=ax2+bx+c112212121的一个交点(m,n)(m≠0)m=．其中正确的结论是()2A.①②④AB.①③④C.①②③①②③④关系是解题的关键，根据题意得到抛物线的解析式为y=ax2+2ax-3ab=2ac=-3a，-3<-3a<-2b=2a代入ax2-bx=ax2-bxb=1122142ac=-3a代入解方程求出m的值判断④．y=ax+3x-1=ax2+2ax-3a，∴b=2ac=-3a，∴abc2=a⋅2a⋅-3a2=18a4>0∵点C的纵坐标在-3~-2之间，43∴-3<-3a<-2<2a<2，43∴<b<2∵ax2-bx=ax2-bx，1122∴ax2-2ax=ax2-2axx2-2x-x2+2x=0，11221122∴x+x-2x-x=0，2121又∵x≠x，12∴x+x=21256∵令y-cx+c=ax2+bx+c5212∴ax-3a=ax2+2ax-3ax=0(舍)x=，111∴m=2故选A．20(2024·内蒙古赤峰·中考真题)的顶点AC在抛物线y=-x2+4在轴Dy上．若AC两点的横坐标分别为mn(m>n>0)()mnA.m+n=1BB.m-n=1C.mn=1=1ACBD交于点EA作MN⊥y轴于点MB作BN⊥MN于点N△ANB≌△DMA(AAS)．可得AM=NBDM=AN．点AC的横坐标分别为mnm+n-m2-n2+8A(m,-m2+4)C(n,-n2+4)．E，M(0,-m2+4)D(0,b)B(m+n,-m2-22n2+8-b)N(m+n,-m2+4)BN=-n2+4-bAM=mAN=nDM=m2-4+b．再由AM=NB，DM=AN进而可以求解判断即可．15ACBD交于点EA作MN⊥y轴于点MB作BN⊥MN于点N，∵四边形是正方形，∴ACBD互相平分，AB=AD∠=90°，∴∠+∠=90°∠M+∠ADM=90°，∴∠=∠ADM．∵∠BNA=∠AMD=90°=AD，∴△ANB≌△DMA(AAS)．∴AM=NBDM=AN．∵点AC的横坐标分别为mn，∴A(m,-m2+4)C(n,-n2+4)．m+n-m2-n2+8∴E，M(0,-m2+4)，22设D(0,b)B(m+n,-m2-n2+8-b)N(m+n,-m2+4)，，∴BN=-n2+4-bAM=mAN=nDM=m2-4+b．又AM=NBDM=AN，∴-n2+4-b=mn=m2-4+b．∴b=-n2-m+4．∴n=m2-4-n2-m+4．∴(m+n)(m-n)=m+n．∵点AC在yA在点C的右侧，∴m+n≠0．∴m-n=1．故选：B．21(2024·四川宜宾·中考真题)y=ax2+bx+ca<0的图象交轴于点xA-3,0、B1,0y轴于点Ca+b+c=0a+3b+2c<0ABC为顶点的三角形是23973等腰三角形时，c=7c=3△AOC内有一动点POP=2CP+AP的最小值为．其中正确结论有()16A.1个B.2个C.3个4个CB1,0x=1时，y=a+b+c=0式求出b=2ac=-3aa+3b+2c=a+6a-6a=a轴为直线x=-1AC≠BCAB=4OC=cAC=AB=4时，当BC=AB=44343况求出对应的cc=3时，C03OC=3H-0PH=2323证明△HOP∽△POAPH=CP+AP=CP+PHP在线段23CH上时，CP+PHCP+APCHCH即可判断④．：∵抛物线y=ax2+bx+ca<0的图象经过点∴当x=1时，y=a+b+c=0B1,0，∵抛物线y=ax2+bx+ca<0的图象交x轴于点A-3,0B1,0，-3+1∴抛物线对称轴为直线x==-1，2b∴-=-1，2a∴b=2a，∴a+2a+c=0c=-3a，∴a+3b+2c=a+6a-6a=a，∵a<0，∴a+3b+2c<0∵对称轴为直线x=-1，∴AC≠BC；∵A-3,0B1,0，∴OA=3OB=1，∴AB=4；在y=ax2+bx+ca<0x=0y=c时，，∴C0c，∴OC=c，当AC=AB=4AC2=2+OC2∴42=32+c2，，∴c=7或c=-7(舍去)；同理当BC=AB=4c=15；ABC为顶点的三角形是等腰三角形时，c=7或c=1517当c=3时，C03OC=3，4343H-0PH=，432OP23∴∵∴====，OPOA23，OPOPOA，又∵∠HOP=∠POA，∴△HOP∽△POA，PHOPOA23∴==，2∴PH=，323∴CP+AP=CP+PH，23∴当点P在线段CH上时，CP+PHCP+APCH的长，439732在Rt△OCHCH=2+OC2=+32=∴正确的有3个，故选：C．掌握二次函数的相关知识是解题的关键．22(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)y=ax2+bx+2a≠0的图象与(x,0)2<x<3．结合图象给出下列结论：x轴交于-1,0，11①ab>0a-b=-2；③当x>1时，y随x的增大而减小；2a④关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0的另一个根是-；4⑤b的取值范围为1<b<．其中正确结论的个数是()3A.2B.3C.45C18用结论④及题中条件2<x1<3可求得aa-b=-2可得b确．b2aa<0x=->0，∴b>0，∴ab<0-1,0-1,0代入y=ax2+bx+c可得∴a-b=-2a-b+2=0，∵该函数图象与x轴的另一个交点为x,02<x<3，11b2a∴对称轴x=-<1，b2ab2a∵x>-时，y随着xx<-时，y随着x的增大而增大，∴当x>1时，y随着x的增大而减小，∴③正确；∵b=a+2c=2，-b±b2-4ac∴关于x的一元二次方程ax2+a+2x+2=0a≠0的根为x==2a-a+2±a+2-8a-a+2±a-2=，2a2a∵a<0，-a+2-2-a-a+2+2-a=-x2=2a∴x1=∴④正确；∵2<x1<32<-<3，=-1，2a2a2a23解得-1<a<-，∵a-b=-2即a=b-2，23∴-1<b-2<-，43∴1<b<，∴⑤正确．4个．故选：C．x1923(2024·四川内江·中考真题)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线CP2,yQ3,y在抛物线Cy1y(填“<”)；21<C的解析式为y=x+1：y=x2-2x+1=x-1，∵二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，∴抛物线C的解析式为y=x+12，∴x=-1，∴当x>-1时，y随x的增大而增大，∵2<3，∴y<y，12故答案为：<．24(2024·吉林长春·中考真题)若抛物线y=x2-x+c(c是常数与的取值范围是)xc．14c>y=ax2+bx+c交点与x2-x+c=0没有实数根是解题的关键．由抛物线与xc的一元一次不等式求解即可．与xy=ax2+bx+c与轴没有x：∵抛物线y=x2-x+c∴x2-x+c=0没有实数根，与x轴没有交点，14∴Δ=12-4×1×c=1-4c<0c>．14故答案为：c>．25(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)将抛物线y=ax2+bx+3向下平移5-2,4，则6a-3b-7=2．2a-b=3代入变形后代数式即可．y=ax2+bx+3向下平移个单位长度后得到y=ax2+bx+3-5=ax2+bx-2，5把点-2,4代入得到，4=a×-2-2b-2，得到2a-b=3，∴6a-3b-7=32a-b-7=3×3-7=2，故答案为：226(2024·四川成都·中考真题)在平面直角坐标系xOy中，Ax,y1Bx,y2Cx,y3是二次函数y=-x2+4x-1图象上三点．若0<x<1x>4yy(填“<”)m<x<m+1，1212120m+1<x<m+2m+2<x<m+3y<y<ym的取值范围是．2313212>-<m<1y=-x2+4x-1=-x-22+3得抛物线的对称轴为直线x=2∵0<x<1x>4，12∴x-2<x-2，12∴y>y；12∵m<m+1<m+2m<x<m+1m+1<x<m+2m+2<x<m+3，123∴x<x<x，123∵存在y<y<y，132∴x<2x>2Ax,y离对称轴最远，Bx,y离对称轴最近，213112∴2-x>x-2>x-2x+x<4x+x>4，1321323∵2m+2<x+x<2m+42m+3<x+x<2m+5，1323∴2m+2<4且2m+5>4，1解得-<m<1，212故答案为：>-<m<1．27(2024·上海·中考真题)对于一个二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)中存在一点Px′,y′x′-m1213=y′-k≠02x′-my=-x2+x+．4121-=13-y-k=a(x-m)2中存在一点Px′,y′x′-m=y′-k-k(-m)21≠0a==，-m1213∵y=-x2+x+31223=-=-=-x2-x+312231919x2-x2-x+-+3122319118x+++321121355182=-x-+，121312111∴y=-x2+x+3中存在一点Px′,y′-=-=-22x′-=4，3313-1213∴抛物线y=-x2+x+4，故答案为：4．，，是常数，两点，28(2024·湖北武汉·中考真题)抛物线y=ax2+bx+c(abca<0)经过-1,1m,1且0<m<1．下列四个结论：①b>0；②若0<x<1ax-1+bx-1+c>1；③若a=-1x的一元二次方程ax2+bx+c=2无实数解；1212④点Ax,y1Bx,y2x+x>-x>xy<y0<m≤．121212其中正确的是(填写序号)．12-1+m-<<02-1,1，m,1两点之间的距离大于1-1,1得出c=b+2-1+m21214-<≤-：∵y=ax，，是常数，2+bx+c(abca<0)经过-1,1m,10<m<1．b2a-1+m12-1+m∴对称轴为直线x=-=-<<0，22b2a∵x=-<0a<0∴b<0∵0<m<1∴m--1>1-1,1，m,1两点之间的距离大于1又∵a<0∴x=m-1时，y>1∴若0<x<1ax-12+bx-1+c>112-1+m③由①可得-<<0，212b2∴-<<0-1<b<0，当a=-1y=-x2+bx+c4ac-b24a-4c-b2-4设顶点纵坐标为t==∵抛物线y=-x2+bx+c(abc是常数，a<0)经过-1,1，∴-1-b+c=122∴c=b+2-4c-b2b2+4c141414∴t===b2+c=b2+b+2=b+2+1-4414∵-1<b<0，>0b=-2，∴当b=0时，t取得最大值为2b<0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=212④∵a<0Ax,y1Bx,y2在抛物线上，x+x>-x>xy<y，121212x1+x14又x=2>-，214∴点Ax,y离x=-较远，1112-1+m14∴对称轴-<≤-212解得：0<m≤1329(2024·四川德阳·中考真题)y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为-,nx轴的一个交点位于0和1abc>05b+2c<0-6,y1,5,y2y>y12若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4n<4．其中正确结论是()请填写序号．a32=bx=1时，y=a+b+c<0-6,y,5,y两点12横坐标与对称轴的距离为dd12根据图象即可判断．∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为-13,n，b2a13∴-=-，b2a13∴=>0ab>0，a<0，23∴b<0，当x=0时，y=c>0，∴abc>013②∵直线x=-是抛物线的对称轴，b2a13∴-=-，b2a13∴=>0，32∴a=bx=1时，y=a+b+c<0，52∴b+c<05b+2c<013③∵直线x=-是抛物线的对称轴，设-6,y1,5,y2两点横坐标与对称轴的距离为dd，121317313163则d1=-6--=d2=5--=，∴d<d，21∴y<y12④如图，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，∴n<430(2024·山东烟台·中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c的与的部分对应值如下表：yxxy-4-3-1155059-27abc>0x的一元二次方程ax2+bx+c=9-4<x<1时，y24的取值范围为0<y<5m,y1-m-2,y2y=yax2+b+1x12+c<2的x的取值范围是x<-2或x>3．其中正确结论的序号为．abc图象和性质是解题的关键．-4,0-1,91,5代入y=ax2+bx+c得，16a-4b+c=0a-b+c=9a+b+c=5，a=-1解得b=-2，c=8∴abc>0∵a=-1b=-2c=8，∴y=-x2-2x+8，当y=9时，-x2-2x+8=9∴x2+2x+1=0，，∵Δ=22-4×1×1=0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9-3+1∵抛物线的对称轴为直线x==-1，2∴抛物线的顶点坐标为-1,9，又∵a<0，∴当x<-1时，y随xx>-1时，y随xx=-19，∵x=-3与x=15，∴当-4<x<1时，y的取值范围为0<y≤9m+-m-2∵=-1，2∴点m,y，-m-2,y关于对称轴x=-1对称，12∴y=y12由ax2+b+1x+c<2得ax2+bx+c<-x+2，即-x2-2x+8<-x+2，画函数y=-x2-2x+8和y=-x+2图象如下：y=-x+2y=-x2-2x+8x1=2x2=-3，由，y1=0y2=525∴A2,0B-3,5，x<-3或x>2时，-x2-2x+8<-x+2ax2+b+1x+c<231(2024·江苏扬州·中考真题)y=-x2+bx+c的图像与轴交于两点．x，A(-2,0)B(1,0)(1)求bc的值；(2)若点P△的面积为6P的坐标．(1)b=-1c=2(2)P(2-4)P(-3-4)12的关键．(1)运用待定系数法即可求解；(2)根据题意设Pm,nP(1)y=-x2+bx+c的图像与轴交于x，两点，A(-2,0)B(1,0)-4-2b+c=0∴，-1+b+c=0b=-1解得，，c=2∴b=-1c=2；(2)解(1)可知二次函数解析式为：y=-x2-x+2A(-2,0)B(1,0)，∴AB=1-(-2)=3，设Pm,n，12∴S=AB·n=6，∴n=4，∴n=±4，∴当-x2-x+2=4时，Δ=1-8=-7<0当-x2-x+2=-4时，x=-3x=2，；12∴P(2-4)P(-3-4)．122632(2024·安徽·中考真题)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数的顶点横坐标比抛物线点横坐标大1．(1)求b的值；(2)点Ax,y在抛物线y=-x2+2xBx+t,y+h在抛物线y=-x2+bx上．)y=-x2+2x的顶1111(ⅰ)若h=3tx1≥0t>0h的值；(ⅱ)若x1=t-1h的最大值．(1)b=4103(2)(ⅰ)3(ⅱ)解题关键．(1)根据题意求出y=-x2+2x的顶点为1,1y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标为2解；(2)根据题意得出y=-x2+2xy+h=-(x+t)2+4(x+t)h=-t2-2xt+2x+4t(ⅰ)11111111将h=3t代入求解即可；(ⅱ)将x1=t-1(1)解：y=-x2+2x=-(x2-2x+1)+1=-(x-1)2+1∴y=-x2+2x的顶点为1,1，，∵抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标大1，∴抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标为2，b∴-=2，2×-1∴b=4；(2)由(1)得y=-x2+bx=-x2+4x∵点Ax,y在抛物线y=-x2+2x上Bx+t,y+h在抛物线y=-x2+4x上．1111∴y=-x2+2xy+h=-(x+t)2+4(x+t)，111111整理得：h=-t2-2xt+2x+4t11(ⅰ)∵h=3t，∴3t=-t2-2xt+2x+4t，11整理得：tt+2x1=t+2x1，∵x1≥0t>0，∴t=1，∴h=3；(ⅱ)将x=t-1代入h=-t2-2xt+2x+4t，111431032整理得h=-3t2+8t-2=-3t-+，∵-3<0，4313103∴当t=x1=时，h取得最大值为．2733(2024·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOyy=ax2-2axa≠0.(1)当a=1(2)已知Mx,y和Nx,y是抛物线上的两点.若对于x=3a3≤x≤4y<ya的取值范围.21121212(1)1,-1；(2)0<a<1或a<-4(1)把a=1代入y=ax2-2ax(2)分①a>0和a<0(1)a=1代入y=ax2-2ax得，y=x2-2x=x-12-1，∴抛物线的顶点坐标为1,-1；-2a22a(2)x=-=a；①当a>03a<3，∴a<1，又∵a>0，∴0<a<1；当a<0-a>4，解得a<-4，又∵a<0，∴a<-4；0<a<1或a<-4y<y．1234(2024·浙江·中考真题)已知二次函数y=x2+bx+c(bc为常数的图象经过点A(-2,5))12线x=-．(1)求二次函数的表达式；(2)若点B(1,7)向上平移2m(m>0)y=x2+bx+c的图象m的值；94(3)当-2≤x≤ny=x2+bx+c的最大值与最小值的差为n的取值范围．(1)y=x2+x+3(2)m=41(3)-≤n≤12(1)采用待定系数法即可求解二次函数关系式；(2)先求出平移后点B1212(3)分为n<--≤n<1时，n>112122(1)y=x++kA(-2,5)代入得-2++k=5，228114解得k=，121142∴y=x++=x2+x+3；(2)解B平移后的点的坐标为1-m,9，则9=1-m2+1-m+3m=4m=-1(舍，或)∴m的值为4；1(3)解n<-时，2121194122∴最大值与最小值的差为5-n++=：n=n=-1241当-≤n<1时，211494∴最大值与最小值的差为5-当n>1时，=12114114942最大值与最小值的差为n++-=n=1或n=-21212综上所述，n的取值范围为-≤n<1．35(2024·广西·中考真题)x的二次函数y=x2+2ax+a-3的最值问题展开探究．(1)老师给出a=-4y=x2+2ax+a-3的最小值．①请你写出对应的函数解析式；②求当xyy值；ax取何值时，y下表：ax⋯⋯⋯-4-20024⋯⋯⋯**2-2-5-4-15y的最小值-9-3注：*为②的计算结果．ax=-ayy的最小值随aa由小变大时，yy(2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3(3)114(1)①y=x2-8x-7x=4时，有最小值为y-23(2)见解析(3)正确，-(1)①把a=-429(2)(3)y：(1)①把a=-4代入y=x2+2ax+a-3y=x2+2⋅-4x+-4-3=x2-8x-7；∴y=x2-8x-7；②∵y=x2-8x-7=x-42-23∴当x=4时，y有最小值为-23；(2)∵y=x2+2ax+a-3=x+a2-a2+a-3，，∵抛物线的开口向上，∴当x=-a时，y有最小值；∴甲的说法合理；(3)正确；∵y=x2+2ax+a-3=x+a2-a2+a-3，∴当x=-a时，y有最小值为-a2+a-3，121142即：y=-a2+a-3=-a--，12114∴当a=时，y-．3236(2024·云南·中考真题)已知抛物线y=x2+bx-1的对称轴是直线m5-33x=．设是抛物线my=x2+bx-1与xM=．109(1)求b的值；132(2)比较M与的大小．(1)b=-33+131323-13132(2)当M=时，M>M=时，M<时，M<．．22b2a(1)由对称轴为直线x=-直接求解；3+131323-13132(2)当M=时，M>M=2232(1)解：∵抛物线y=x2+bx-1的对称轴是直线x=，b32∴-=，2×1∴b=-3；(2)解：∵m是抛物线y=x2+bx-1与x轴交点的横坐标，∴m2-3m-1=0，∴m2-1=3m，30∴m4-2m2+1=9m2，∴m4=11m2-1，而m2=3m+1代入得：m4=113m+1-1=2=33m+10，∴m5=m⋅m4=33m+10m=33m2+10m=333m+1+10m=109m+33，m5-33109109m+33-33∴M===m，109∵m2-3m-1=0，3±13解得：m=，23+131323+1313232当M=m=时，M-==--==>022132∴M>；3-131323-131323-213当M=m=时，M-<0，222132∴M<．x键是对m5进行降次处理．37(2024·四川成都·中考真题)xOyLy=ax2-2ax-3aa>0与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧)CD是抛物线第四象限上一点．(1)求线段AB的长；(2)当a=1时△的面积与△ABDtan∠ABD的值；(3)延长交x轴于点EAD=时△沿方向平移得到△．将抛物线L平移得到抛物线都落在抛物线上．试判断抛物线与L(1)AB=4103(2)tan∠ABD=(3)抛物线与L交于定点3,0(1)根据题意可得ax2-2ax-3a=0x2-2x-3=0A-1,0,B3,0,AB=4则有；(2)由题意得抛物线Ly=x2-2x-3=x-12-4C1,-4,设Dn,n2-2n-3,0<n<3S=-2n2+4n+6AD解析式为y=n-3x+1AD与抛物线对称轴交于3173209点EE1,2n-6S=n2-1D,-D作DH⊥AB于点BHH23209DHBH=,DH=tan∠ABD=；(3)设Dn,an2-2an-3a,可求得直线AD解析式为y=an-3x+1D作DM⊥ABAM=n+1,DM=-an2+2an+3aEM=n+1,n,-an2+2an+3a,n+4,-an2+2an+3a,设抛物线解析式为y=ax2+bx+ca>0可求得抛物线解析式为y=ax2+-2an-4ax+6an+3aax2-2ax-3a=ax2+-2an-4ax+6an+3a解得x=3线与L交于定点3,0．(1)解：∵抛物线Ly=ax2-2ax-3aa>0与轴交于，两点，xAB∴ax2-2ax-3a=0x2-2x-3=0x=-1,x=3,12∴A-1,0,B3,0,则AB=3--1=4；(2)当a=1Ly=x2-2x-3=x-12-4，则C1,-4,1212设Dn,n2-2n-3,0<n<3S=AB⋅y=-×4×n2-2n-3=-2n2+4n+6，D设直线AD解析式为y=kx+1，∵点D在直线AD上，∴n2-2n-3=kn+1k=n-3，则直线AD解析式为y=n-3x+1，设直线AD与抛物线对称轴交于点EE1,2n-6，1212∴S=CE⋅x-x=A×2n-6--4×n+1=n2-1，D∵△的面积与△ABD的面积相等，73∴-2n2+4n+6=n2-1n=-1,n=，1273209∴点D,-，7323209过点D作DH⊥AB于点HBH=3-=,DH=，DHBH103则tan∠ABD==；(3)设Dn,an2-2an-3a,直线AD解析式为y=kx+1，1则an2-2an-3a=kn+1k=an-3a，11那么直线AD解析式为y=an-3x+1，过点D作DM⊥AB则AM