2.3.2抛物线的简单几何性质1.ppt

2 3 2抛物线的简单几何性质 1 高二数学选修1 1第二章圆锥曲线与方程 一 温故知新 一 圆锥曲线的统一定义 平面内 到定点f的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹 当e 1时 是双曲线 当0 e 1时 是椭圆 定点f不在定直线l上 当e 1时 是抛物线 二 抛物线的标准方程 1 开口向右 y2 2px p 0 2 开口向左 y2 2px p 0 3 开口向上 x2 2py p 0 4 开口向下 x2 2py p 0 由抛物线y2 2px p 0 所以抛物线的范围为 二 探索新知 如何研究抛物线y2 2px p 0 的几何性质 即点 x y 也在抛物线上 故抛物线y2 2px p 0 关于x轴对称 则 y 2 2px 若点 x y 在抛物线上 即满足y2 2px 定义 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点 y2 2px p 0 中 令y 0 则x 0 即 抛物线y2 2px p 0 的顶点 0 0 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由定义知 抛物线y2 2px p 0 的离心率为e 1 f a b y2 2px 2p 过焦点而垂直于对称轴的弦ab 称为抛物线的通径 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 2p 2p越大 抛物线张口越大 练习1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 16 通径的长度 ab 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 pf x0 p 2 焦半径公式 f 焦点弦长度公式 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 二 讲授新课 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 p越大 开口越开阔 因为抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点m 解 所以设方程为 因此所求抛物线标准方程为 例 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点m 求它的标准方程 三 典例精析 题型一 求抛物线的标准方程 待定系数法 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 练习 p631 2 3 想一想 题型二 弦长问题 方法探究 具体步骤由同学们给出 答案 法一 直接求两点坐标 计算弦长 运算量一般较大 法二 设而不求 运用韦达定理 计算弦长 运算量一般 法三 设而不求 数形结合 活用定义 运用韦达定理 计算弦长 法四 纯几何计算 这也是一种较好的思维 变式训练 a 练习2 2 过抛物线的焦点 作倾斜角为的直线 则被抛物线截得的弦长为 3 垂直于x轴的直线交抛物线y2 4x于a b 且 ab 4 求直线ab的方程 y2 8x x 3 16 1 已知点a 2 3 与抛物线的焦点的距离是5 则p 2 抛物线的弦ab垂直x轴 若 ab 则焦点到ab的距离为 4 2 3 已知直线x y 2与抛物线交于a b两点 那么线段ab的中点坐标是 四 课堂练习 5 点a的坐标为 3 1 若p是抛物线上的一动点 f是抛物线的焦点 则 pa pf 的最小值为 a 3 b 4 c 5 d 6 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 焦点在直线x 2y 4 0上 2 焦点在轴x上且截直线2x y 1 0所得的弦长为 6 已知q 4 0 p为抛物线上任一点 则 pq 的最小值为 a b c d b c 五 归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线的离心率是确定的 等于 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 抛物线的通径为2p 2p越大 抛物线的张口越大 1 范围 2 对称性 3 顶点 4 离心率 5 通径 6 光学性质 从焦点出发的光线 通过抛物线反射就变成了平行光束 再见 作业 课本p64 a组3 探照灯 汽车前灯的反光曲面 手电筒的反光镜面 太阳灶的镜面都是抛物镜面 抛物镜面 抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面 灯泡放在抛物线的焦点位置上 通过镜面反射就变成了平行光束 这就是探照灯 汽车前灯 手电筒的设计原理 平行光线射到抛物镜面上 经镜面反射后 反射光线都经过抛物线的焦点 这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 光源位于抛物线的焦点处 已知灯口圆的直径为60cm 灯深40cm 求抛物线的标准方程和焦点位置 40 30 解 设抛物线的标准方程为 y2 2px 由条件可得a 40 30 代入方程得 302 2p 40 解之 p 故所求抛物线的标准方程为 y2 x 焦点为 0 例