方程的等量关系.docx

等量关系问题一、 基本问题的等量关系基本问题涉及两类等量关系，即和差与倍比关系。1.和差问题【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】若有两数其和为a 其差为b求这两数 设一数为x，则另一数就为（a x） 那么就列方程：x (a x) =b（或设一数为x，则另一数就为（x b） 那么就列方程：x+ (x b) =a【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例1：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：1设甲班有x人，则乙班有（98x）人，可列方程：x -（98-x）= 6（或设甲班有x人，则乙班有（x6）人，可列方程：x+（x6）= 98）2设乙班有x人，则甲班有（98x）人，可列方程：（98-x）-x= 6（或设乙班有x人，则甲班有（x+6）人，可列方程： x+（x+6）=98）例2：甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？解：1设甲有x 筐 则乙有（97x）筐，可列方程：(x-14) -（97x+14）=32设乙有x 筐 则甲有（97x）筐，可列方程：（97x-14）-（x+14） =32.和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。【数量关系】设有两数其和为a 一数是另一数的n倍（或）求这两数设一数为x，则另一数就为（nx） 那么就列方程：x + nx =a（或设一数为x，则另一数就为（） 那么就列方程：x+ =a）【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1：果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？解：1设杏树有x棵，则桃树有3x棵，可列方程：x+3x=2482设桃树有x棵，则杏树有x棵，可列方程：x+x =248例2： 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？解：设：x天后，则可列方程：2（5228x）=32+24x3.差倍问题【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。【数量关系】设有两数其差为a 一数是另一数的n倍（或）求这两数设一数为x，则另一数就为（nx） 那么就列方程： n -x x = a（或设一数为x，则另一数就为（） 那么就列方程：x- =a）【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1：果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？解：1设杏树有x棵，则桃树有3x棵，可列方程：3x-x=1242设桃树有x棵，则杏树有x棵，可列方程：x-x=124例2：商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？解： 设上月盈利x，则本月盈利（2x+12），则可列方程：（2x+12）- x =304.比例问题（倍比问题）【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。若在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量的也叫做归一问题；若先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的数量的也叫做归总问题。【数量关系】若两数之商为定值则一数增减多少倍则另一数也相应增减多少倍。若两数之积为定值则一数增减多少倍那么另一数则减增多少倍。若有的话求a b c d之一，则设其一为x，再按公式列方程。如求a，则设a为x，则可列方程：【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例1： 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：设需要x元，则可列方程：例2： 服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？解： 设可做x套，则可列方程：7913.22.8x（1）这批布总共有多少米？例3：修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？解：设总长为x 由条件知， 公路总长不变，则可列方程：x+300=x例3：孙亮看十万个为什么这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？解： 设x天可以看完，就有 2436x15 例4：从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解： 因为1/21/31/9962 设大儿得9x，则二儿、三儿分别得6x、2x，可列方程：9x+6x+2x=17二、生活中实际问题的等量关系实际问题中遇到的等量关系一般是和差关系与倍比关系的综合运用，只是主次关系不同而已。倍比定值辅以和差类问题，即两等量间（或一等量内）有倍比定值关系，而其中又有一等量内（或两等量内）的某个或某几个量内存有和差定值的数量关系的一类问题。这是以倍比为主、以和差为辅的关系。（一）行程问题【含义】涉及物体运动的问题。【数量关系】基本的数量关系：s = v t 路程 = 速度时间。行程问题有两种基本形式：相向而行和同向而行。相向而行的公式：相遇时间=距离速度和。同向而行的公式：追及时间=追及距离速度差。【解题关键】要正确的解答有关行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追击）。运动物体受外力作用的情况，如水流的影响、风的影响等。1相遇问题【含义】两个运动的物体同时（或不同时）由两地出发相向而行在途中相遇的问题。【数量关系】 若同时：相遇时间总路程（甲速乙速）总路程（甲速乙速）相遇时间设两运动物体甲乙从甲乙两地同时出发相向而行，甲乙两地相距s，甲速为V甲、乙速为V乙，t时相遇。则可列方程：S=（V甲+V乙）t (可根据需要选设s V甲V乙 t之一为x)若不同时，则在路程中加上或减去相应的里程数。【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。典型例：例：甲乙二人同时从甲乙两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，甲乙两地的距离84千米，甲乙两人经过几小时相遇？解： 设x时相遇.，则可列方程：（15+13）x 84变型例1：甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。解： 设x时相遇.，则可列方程：15x-3=13x+3 那么两地距离为：（15x-3）或（13x+3）解：设两地的距离x x-313=x+315 (时间相等)例2：甲乙二人同时从甲乙两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，甲乙两地的距离84千米，若乙先行1小时后甲再出发，则甲乙两人经过几小时相遇？解：设x时相遇.，则可列方程：（15+13）x 841312追及问题【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的一类问题。【数量关系】1追及时间追及路程（快速慢速） 即s = v t追及路程（快速慢速）追及时间 即t= v s2例两运动物体同路同向而行，甲每时走a千米，乙每时走b千米(ab)，乙先走m时，甲x时追上乙？ 则可列方程：mb = (a b )x【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 典型例好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？解 ：设x天追上，则可列方程：（12075）x = 75 12变型例1：兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处同妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解：设x米远，则可列方程： (时间相等) 例2：兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥离妹妹300米远时到了校门口，却发现忘记带课本，立即沿原路回家去取再与妹妹相遇，问从家上学到再与妹妹相遇哥哥共用了多少分钟？解：设用x分钟，则可列方程：则可列方程：60x+90x=3002例3：两地相距15公里，甲先行15分钟后乙再追赶并与甲同时到达目的地，已知乙的速度是甲的1.5倍，求甲乙的速度各多少？解：设甲的速度为x，则乙的为1.5x，由题意可列方程：- =3 航行问题【含义】是指与航行有关的问题。【解题关键】解答这类问题要弄清船、机速与水风速，船机速是船机本身航行的速度，也就是船机在静水风中航行的速度；水风速是水流和风的速度，船机顺水风航行的速度是船机速与水风速之和；船机逆水航行的速度是船机速与水风速之差。【数量关系】1航行问题涉及的航程一般是一定的，因此有数量关系：顺水风速度顺水风航行时间逆水风速度逆水风航行时间顺水风速度船机在静水风中航行的速度+水风速逆水风速度船机在静水风中航行的速度水风速2若航行器静水风速为V静、水风速为V，顺程用时t顺逆程用时t逆，则可列方程：（V静+Vn）t1（V静 - Vn ）t2【解题思路和方法】 1大多数情况可以直接利用数量关系的公式。2解答这类问题要弄清船、机速与水风速，船机速是船机本身航行的速度，也就是船机在静水风中航行的速度；水风速是水流和风的速度，船机顺水风航行的速度是船机速与水风速之和；船机逆水航行的速度是船机速与水风速之差。典型例1：一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？解：设需要x小时，则可列方程：（576+）x3（576 24）变型例2 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解：设x小时，则可列方程：320815320x+15例 3 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流速度为（x+3）千米/时，逆流速度为（x-3）千米/时,由题意得.2(x+3)=2.5(x-3)x=27答：船在静水中的平均速度为27千米/时。例4 从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？等量关系：船行时间车行时间=3小时解：设水路长为x千米，则公路长为（x+40）千米依题意得：4列车问题【含义】这是与列车行驶(比如过桥、错车)有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】 火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速火车在桥上或涵洞内的时间（车长桥长）车速火车追及： 追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇： 相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。典型例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？解：设长x，则可列方程：（2400+x）9003例2 一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？解：分析：从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）米，而快车比慢车每秒多行（2217）米。 设需要x时，则可列方程：（225140）（2217）x例3：一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解：设车长为x，则可列方程：（2000+x）58（1250+x）58故车速为（2000+x）58或为（1250+x）585时钟问题【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为多少度等。时钟问题可与追及问题相类比。分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/601/12格。每分钟分针比时针多走（11/12）11/12格【数量关系】钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/601/12格；分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例1 从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解：设经x分钟 钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/601/12格。每分钟分针比时针多走（11/12）11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以可列方程：（11/12）x20例2：四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解：设经x分钟 钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（54）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 （5415）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5415）格。再根据1分钟分针比时针多走（11/12）格就可以求出二针成直角的时间。如果分针在时针后成直角，则可列方程：（11/12）x（5415）如果分针在时针前成直角，则可列方程：（11/12）x（5415）例3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解：六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。设经x分钟，则可列方程：（11/12）x（56）时针与分针在赛跑有这样一道题：你能利用一元一次方程解决下面的问题吗？在3时和4时之间的哪个时刻，钟的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角图1图2图3（提示：分针转动的速度是时针的12倍，分针与时针成直角.）同学们，此题是不是让你们感到无从下手，不过，你们想到没有该题和在环形路上的追击问题很类似！只要能够把时针和分针的速度表示出来，并确定出追击的路程即可通过列一元一次方程就能解决.试试看呦！哦，先把时针和分针的速度搞清楚！如果我们把钟面看成12个格，由于时针每小时转动1个格，因此时针的速度可表示为1格/时，分针60分钟转动1圈，即每小时转动12格，因此分针的速度可表示为12格/时，这样时针和分针的速度都表示出来了，下面我们就可以列一元一次方程解决来解决了.由于在时，时针指到3的位置，分针指到12的位置，它们之间的“路程”是3个格，由于时针走的慢，分针走的快，分针必然会追上时针，当分针追上时针（即时针与分针重合，如图1所示）时，分针比时针多走3格，设经过小时时针与分针重合，列方程得.解得小时=分，即在3时分，时针与分针重合.当时针追上分针后，由于时针走的慢，分针走的快，分针会超过时针，并且会形成一定的角，而且这个角会越来越大.在某一时刻时针与分针成直角（如图2所示），此时分针又比时针多走圈，即3格，因此从到时针与分针成直角这一时刻，分针比时针共多走3+3=6格，设经过小时时针与分针成直角，列方程得.解得小时=分，即在3时分，时针与分针成直角.当时针与分针成直角后，时针与分针所成的角继续变大，在某一时刻时针与分针成平角（如图3所示），此时分针比时针再多走圈即3格，因此从到时针与分针成平角这一时刻，分针比时针共多走3+3+3=9格，设经过小时时针与分针成平角，列方程得.解得小时=分，即在3时分，时针与分针成平角.我来总结一下.解这一类题的关键是：把表盘分为12格（作路程处理）；分针分小时走12格，时针每小时走1格（作速度处理）；从路程（格数）上找等量关系，列方程求出结果.怎么样，这题很有味道吧！继续挑战，跟我来：（关于时钟上的问题，你若有新的发现或者是好的挑战题目，可以写下来，与大家一起分享哟！）从中午12点整开始（包括中午12点整）到晚上12点整（包括晚上12点整），时针与分针一共重合几次？分别在什么时刻重合？（二）工程问题【含义】指在日常生活中做某一件事，制造某种产品，完成某项任务、完成某项工程等等涉及到的工作量、工作效率、工作时间的一类问题。供排水问题是这一问题的变形题。【数量关系】1工作总量=工作效率工作时间 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总量工作效率 工作总量工作效率和=合作时间2若一项工程甲a时做完，乙b时做完，则甲乙合作几时做完？解：设x时，则可列方程： （+）x = 1【解题思路和方法】：1.要抓住工作总量或工作时间、工作效率相等的等量关系2若不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。 3也有时根据需要将各数量全用到。 典型例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解：分析：题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15）。设x天完成，则可列方程：（1/101/15）1/x例2：一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解：设需要x小时，则可列方程：2+（+）x = 1变型例1：一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？解1：两人合做，完成任务时甲乙的工效之比为 1/61/843即甲比乙多完成总工作量的设x个，则可列方程： x=24变型（供排水）【解题关键】把供水看做正的话，那么排水就要看做负；其余的套用工程题即可。公式一般变形为（ - ）x = 1例3 一个水池有甲、乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快15小时如果单独开放甲管10小时，再单独开放乙管15小时，就可以注满水池的求单独开放一个水管时，把水池注满各需多少小时？解：单独开放甲管10小时，乙管15小时可注满水池的 ，所以单独开放甲管30小时，乙管45小时可注满水池的2倍单独开放甲管注满水池比单独开放乙管快15小时，单独开放甲管注满水池需30小时，单独开放乙管需45小时(答略)（三）盈亏问题【含义】 根据一定的人数（或物数），分配一定的物品（或人），在两次分配中，一次有余（盈）、一次不足（亏）、或两次都有余、或两次都不足、或一余一正好、或一亏一正好，求人数或物品数的一类问题。（也称分物问题）【数量关系】 1 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差参加分配总人数（大亏小亏）分配差2或(总差额每人差额=人数 总差额的求法可以分为以下四种情况： 第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足 第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余 第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足 ） 3 统一类型有一些人分若干苹果若每人分a个就余m个；若每人分b个就余n个。问有多少人？有多少个苹果？解1：设人x个，因为苹果数一定，则可列方程： a x + m = b x + n (m、n为常数且可是正、负、零)解2：设苹果为x个，因为人数一定，则可列方程： = (m、n为常数且可是正、负、零)【解题思路和方法】参加分配总人数（或物数）、被分配的物数（或人数）是一个定值。可根据这两个等量关系列出方程。例1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解1：设小朋友有x，因为苹果数量相等，则可列方程： 3x+11=4x-1 而苹果数量3x+11=4x-1解2：设苹果有x，因为人数相等，则可列方程： = 而小朋友数量= 例2 修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？原计划几天修完？解1:设长x米，因为原计划天数不变，则可列方程：8 4 而原计划天数8 4解2:设原计划x天，因为总长相等，则可列方程： 260(x+8) = 300(x+4) 而总长260(x+8) = 300(x+4)例3 学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？解1：设有车x，因为人数相等，则可列方程： 40x+30 = 45x 而人数40x+30 = 45x解2：设有人x，因为车数相等，则可列方程： 而车数例4.把一些图书分给一（1）班同学阅读，如果每人分3本，则剩余29本；如果每人分4本，则还缺28本你知道一（1）班有多少同学吗？分析：设一（1）班有x名同学3x +294x - 28例4某水利工地派 48 人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？解：设安排 x 人去挖土，则有（48 x ）人运土，根据题意，得 5 x = 3 ( 48 x )去括号，得 5x = 144 3x移项及合并，得 8x = 144 x = 18运土的人数为 48 x = 48 18 = 30答：应安排18人去挖土，30人去运土，正好能使挖出的土及时运走。配套与调配问题1.某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？2一项发射场地建设工程。据估计若由一个人做的话需要40天完成。现在计划由一部分人先做4天，再增加2人和他们一起做8天，完成这项工程。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？解：设先安排x人工作天，根据两段工作量之和应是总工作量，得去分母，得4x+8(x+2)=40去括号，得 4x+8x+16=40移项及合并，得 12x=24系数化为，得 x=2答：应先安排名工人工作天.调配问题的类型与解法调配问题中的等量关系反映在调动前后的数量上，要抓住题中的“等于”几倍、“是” 几倍、“增加到” 几倍、“增加了” 几倍、“相等”、“多”、“少”等关键性词语来寻找等量关系，这类问题有以下几种类型。一、 单纯的调入或调出这类问题列方程时，只在方程两边都加上调入的数量（或者减去调出的数量）即可。例1 某渔场的甲仓库存鱼30吨，乙仓库存鱼40吨，要再往这两个仓库运送80吨鱼，使甲仓库的存鱼量为乙仓库的存鱼量的1.5倍，应往甲仓库和乙仓库分别运送多少吨鱼？分析：本题的相等关系可表示为：运送后甲仓库的存鱼量=乙仓库的存鱼量1.5。解：设运送到甲仓库的鱼为x吨，则运送到乙仓库的鱼为(80x)吨，即运送后甲仓库有鱼(30x)吨，运送后乙仓库有鱼40(80x)吨。依题意，得30x = 40(80x)1.5。解得x = 60 , 则80x = 20 。答：运送到甲仓库的鱼为60吨，乙仓库的鱼为20吨。练习：甲粮仓存粮100吨，乙粮仓存粮88吨，现在要从这两个粮仓一共运出70吨粮食，并使这两个粮仓剩余的粮食数量相等，那么应该从这两个粮仓各运出多少吨粮食？分析：此题的相等关系是：从两个粮仓一共运出70吨粮食后，甲仓库剩余的粮食=乙仓库剩余的粮食。请同学们写出解答过程。二、 既有调出又有调入这类问题列方程时，加上调入的数量，减去调出的数量即可。例2 甲、乙两水池共有水40吨，若甲池注水4吨，乙池放出水8吨，则甲池水的吨数与乙池水的吨数相等，问两池原来各有水多少吨？分析：此题的等量关系可表示为：甲池注水4吨，乙池放出水8吨后，甲池水的吨数=乙池水的吨数。解：设甲池原来有水x吨，则乙池原来有水（40x）吨，那么甲池注水4吨后有水(x4)吨，乙池放出水后有水(40x)8吨。依题意，得x4 =(40x)8。解得x = 14，40x = 4014=26。答：甲池原来有水14吨，乙池原来有水26吨。（四）比率问题【含义】求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少的问题【解题思路和方法】已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。1 利润问题，数量关系为：利润售价成本；利润率利润成本100%；总价单价数量；总成本单成本数量；标价和定价是相同的；有时成本进价，有时成本进价。折扣是打折，几折是定价的十分之几。综合式1：利润率（售价成本）成本100%综合式2：利润率（售价折扣成本）成本100%标价（原价）：指商家出售商品时所标明的价格；售价：指商品成交时的实际价格；进价（成本价或本金）： 指商家取得某一商品所需要的付出的金额；利润：指商品售价与进价之间的差额;利润率：指利润与进价的比率, 1某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25，另一件亏损25，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?商场计划投入一批紧俏商品，经过调查发现，如果月初销售，可获利15%，并可利用本和得再购买其他商品，到月末出售可获利30%，但要付出仓储费700元。 解：由所以当商场资金为20000元时，两种方式购销获利一样。因此， 当商场资金超过20000元，第二种方式购销获利多。 当商场资金低于20000元，第一种方式购销获利多。 2汕头某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元。其中一台盈利20%，另一台亏损20%。这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？解：设盈利20%的那台钢琴进价为X元，它的利润是0.2X元，则 X+0.2X=960 X=800 设亏损20%的那台钢琴进价为Y元，它的利润是0.2Y元，则 Y-0.2Y=960 Y=1200所以两台钢琴进价为2000元，而售价1920元，进价大于售价，因此两台钢琴总的盈利情况为亏本80元。3.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%。这次交易中的盈亏情况？解：设盈利60%的那个计算器进价为X元，它的利润是0.6X元，则 X+0.6X=64X=40 设亏本20%的那个计算器进价为Y元，它的利润是0.2Y元，则 Y0.2Y=64 Y=80所以两个计算器进价为120元，而售价128元，进价小于售价，因此两个计算器总的盈利情况为盈利8元。4.v 一件衣服在两家商场的标价都是100元，东方百货“买满100送25元现金”，耀达商场“全场8折”，请问阿Q在哪里购买会更便宜呢？ 分析：作为消费者，购买同样一件商品 花的钱越少越便宜 。 在东方百货需要花费10025=75元，在耀达商场需要花费10080%=80元，所以在茂业百货购买更便宜。 1、利息（税）问题 例1.李明以两种形式储蓄了500元钱，一种储蓄的年利率是5，另一种是4，一年后共得利息23元5角.两种储蓄各存了多少钱？ 解：设年利率是5的储蓄存了元，则年利率是4的储蓄存了(500)元，根据题意，得 5+（500）4=23.5 解这个方程，得=350. 500350=150. 答：年利率是5和4的储蓄分别存了350元和150元. 例2.一年期定期储蓄年利率为2.25，所得利息要交纳20的利息税.例如，存入一年期100元，到期储户要纳税后所得利息的计算公式为：税后利息=1002.25-1002.2520=1002.25（1-20），已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？ 解：设该储户存入本金元，根据题意，得 2.25(120) =450. 解这个方程，得=25000. 答：该储户存入25000元本金. 二、纳税问题 例3.依法纳税是公民应尽的义务.根据我国税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过929元不必纳税，超过929元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累加计算： 与利息有关的一元一次方程应用例析 银行存贷款问题中利息、利率、本金的计算是一元一次方程最常见的应用，为帮助大家掌握其中的解题思路及方法，现分类举例如下 1. 计算存款 例1、某企业存入银行甲、乙两种不同利率的存款共20万元，已知甲种存款的年利率为2.5%，乙种存款的年利率为2.25%，一年后该企业可获税前利息4850元，问甲、乙两种存款各为多少万元？ 分析：税前利息=本金利率期数（对于年利率而言，存几年，期数就是几）。 解：设甲种存款为x万元，则乙种存款为（20x）万元，甲种存款的利息为x2.5%万元，乙种存款的利息为(20x)2.25%万元。 由题意可得 ， 解之得x=14，所以20x=2014=6。 答：甲、乙两种存款分别为14万元和6万元。 2. 计算利率 例2、小明的妈妈前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税（20%）后，实得本利和为4860元，请问这种债券的年利率是多少？ 分析：实得本利和=本金实得利息(即税后利息)=本金+本金期数利率(120%)。 解：设这种债券的年利率是x。 由题意可得 解之得x=0.05即x=5%。 答：这种债券的年利率是5%。 3. 分期付款 例3、某商场为了促销新上市的新款X牌摩托车，决定2005年元旦那天购买该车者可以分两期付款：在购买时先付一笔款，余下部分及它的利息（年利率为5.6%）在2006年元旦付清，已知该摩托车每台售价为8224元，若购车者的两次付款恰好相同，则每次应付款多少元？ 分析：第二次付款=(售价第一次付款)(1利率)，第一次付款=第二次付款。 解：设第一次付款为x元，则付款后余款为(8224-x)元，一年后需支付的第二笔付款为(8224-x)(1+5.6%)元。 由题意可得 解之得x=4224。 答：每次应付款4224元。 4.银行贷款 例4、某银行设立有年利率为6%的助学贷款（助学贷款利息的50%由国家财政贴补），预计6年后大学生小王能一次性偿还2万元，问小王现在可向银行贷款多少万元？（精确到0.1万元） 分析：还贷款额=贷款+贷款所产生的利息=贷款+贷款期数利率50%。 解：设小王现在可向银行贷款x万元，则6年后小王贷款所产生的利息为元。 由题意可得 解之得x=1.69491，所以x1.6。 答：小王现在可向银行贷款约1.6万元。 （注意：本题如果将9舍入到前一位而得到x1.7，则小王需偿还的款额就会超过2万元，因此本题在取近似值时不宜用四舍五入而应该用去尾法。） 小结： 1、利用一元一次方程解应用题，关键是找出题中的等量关系。特别，对于存贷款问题而言，搞清楚本金、利率、利息（税前利息、税后利息）之间的关系很重要，另外利率的类型（月利率还是年利率）、存款年限、是否收税等也应重点加以关注； 2、列一元一次方程解应用题的基本步骤是析：即分析题目意思，找出题中的等量关系；设：即设未知数并用这个未知数表示其它有关的量；列：即根据等量关系列出方程；解：即解方程，方程解完后还需对答案进行检验；答：即对题目问题作出回答。 3、与利息有关的经济问题不外乎存款和贷款两种类型，但不管怎么样，两者本质上都是相同的，只要掌握了存款问题的一般解题思路，解决贷款问题也就不在话下了（本文“例4”实际上就是要我们计算本金，因而如果套用公式“本利和=本金利息”同样也能解决问题）。 某人本月纳税150.1元，则他本月的工薪收入为_元. 解：由上表可知，本人全月应纳税所得额在2000元以内，设其工薪为x元，则有 5005+（929500）10=150.1 解这个方程，得 = 2680. 故应填2680.2.商品销售问题近年来中考命题突显问题的应用性，其中用一元一次方程解决商品销售问题是命题的热点之一，而解决这类问题的关键是利用销售问题的公式，寻求问题中隐藏的相等关系列方程销售问题有两个基本公式：商品利润（盈利）=商品售价商品进价；商品利润率=由此可得：商品售价=商品进价（1+利润率）此外若商品打折销售，则有：商品售价=商品标价折扣本文就以用这几个公式作为相等关系，进行列方程解应用题，例举如下：一、求商品的进价例1 某商场出售某种文具，每件可盈利2元，为了支援贫困山区，现在按原售价的7折出售给一山区学校，结果每件盈利0.2元（盈利售价进货价）问该文具每件的进货价是多少元？解：设该文具每件的进货价是x元，根据题意，得，解得x=4答：该文具每件的进货价是4元二、求商品标价例2 一商店把某种品牌的羊毛衫按标价的八折出售，仍可获利20%，若该品牌的羊毛衫的进价每价是100元，则标价是每件_元.解：设每件羊毛衫的标价为x元，则售价为70%x元，由题意，得80%x =100（1+20%），解得x=150故每件羊毛衫的标价为150元三、求折扣例3某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折，售货员最低可以打_折出售此商品解：设售货员最低可以打x折出售此商品，由题意，得750x=500（1+5%），解得x=0.7故售货员最低可以打7折出售此商品四、求利润率例4一商场将每台彩电先按进价提高40%，标出售价，然后广告宣传将以8折优惠出售，结果每台彩电赚了400元，则经销这种产品的利润率是多少？解：设每台彩电的进价为1，经销这种产品的利润率为x，由题意，得1（1+40%）80%=1（1+x）, 解得x=0.12，即x=12%答：经销这种产品的利润率是12%3.点击打折问题打折的说法可以用数学中的百分率来说明。如果说某件商品打九折，就是按原价的90%出售。若原价为a元，那么现价就是。在商品问题中，还涉及如下几个概念：商品利润商品售价商品进价（有时还需减去费用）；商品的利润率看下面几种类型例1 某商品进价为400元，按标价的8折销售，利润率为24%，求商品的标价为多少元？分析：已知商品的进价和利润率可求商品利润为40024%。若设标价为x元，可求出商品售价，由条件也可用含x代数式表示出商品的利润为 400。由此可建立等量关系。解答：设商品的标价为x元根据题意，得：400 =40024% 解这个方程，得：x = 620 答：商品的标价为620元。例2. 某商品的进价是600元，标价为800元，商店要求以利润不低于10%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？分析：根据商品的利润率，商品利润商品售价商品进价，若设售货员最低可以打x折出售商品，则售价为800x元，利润为（）元，所以可得解：设售货员最低可以打x折出售此商品由题意得： 整理，得：800x 600 = 60解得：x = 82.5 %答：售货员最低可以打8.25折出售此商品。例3. 仔细阅读下列材料，然后解答问题。某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额a（元）的范围200a400400a500500a700700a900获得奖券的金额（元）3060100130根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为元，获得的优惠额为元。设购买该商品得到的优惠率购买商品获得的优惠额商品的标价。（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？分析：本题紧密联系实际生活，阅读时首先要分清几个概念：标价、消费金额、优惠价、优惠率；其次要弄清这几个概念之间的关系，通过给出的例子理解“双重优惠”的办法，最后明确所提出的问题，即解答（1）应理解优惠办法及优惠率；解答（2）时要注意不要把“标价”与“消费金额”混淆，可以把“标价”转化为“消费金额”的什么范围，再按“消费金额”分类讨论。解：（1）消费金额为（元）优惠额为（元）优惠率为（2）设购买标价为x元的商品可以得到的优惠率。购买标价为500元与800元之间的商品时，消费金额a在400元与640元之间。当时，由题意，得：解得：但，不合题意，故舍去；当时，由题意，得：解得：而，符合题意。答：购买标价为750元的商品可以得到的优惠率。商品销售问题商品销售问题是近几年中考的新动向之一，它体现了数学的应用性，其基本数量关系有：商品利润=商品售价商品进价；利润率=（利润进价）100；打n折销售=原售价n10.其考法主要有以下几类：1.求商品进价例4.某种商品的进价每件为元，零售价为每件900元，为了适应市场竟争，商店按零售价的九折降价并让利40元销售，仍可获利10%（相对于进价），则=_元. 解：实际零售价为（90090%40）元，依题意，得 （1+10%）=90090%40， =700.2.求商品标价例5.东方商场把进价为1980元的某商品按标价的8折出售，仍获利10%，则该商品的标价为（ ）.（A ） 2160元 （ B） 2613.6元 （