北京市西城区高二数学上学期期末考试试题 文.doc

北京市西城区2015 2016学年度第一学期期末试卷 高二数学 2016.1（文科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号一二三本卷总分151617181920分数一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1命题“若，则”的逆命题是（ ）（a）若，则（b）若，则（c）若，则（d）若，则2复数的虚部是（ ）（a）（b）（c）（d）3在空间中，给出下列四个命题： 平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行； 平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行其中真命题的序号是（ ）（a）（b）（c）（d）4抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）（a）（b）（c）（d）5两条直线，互相垂直的充分必要条件是（ ）（a）（b）（c）（d）6如图，在长方体中，则下列结论中正确的是( ) （a）（b）平面（c）（d）平面7已知椭圆的两个焦点分别为，若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（ ）（a）（b）（c）（d）8. 在长方体中，分别为棱，的中点. 则从点出发，沿长方体表面到达点的最短路径的长度为（ ）（a）（b）（c）（d）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.9. 命题“，”的否定是_.10. 已知球的大圆面积为，表面积为，则_.11. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，则_.12. 已知双曲线的一个焦点是，则_；双曲线渐近线的方程为_. 13. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是_. 14. 已知曲线的方程是.关于曲线的几何性质，给出下列三个结论： 曲线c关于原点对称； 曲线关于直线对称； 曲线c所围成的区域的面积大于.其中，所有正确结论的序号是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，四棱锥中，底面，底面是正方形，且=.（）求的长； （）求四棱锥的表面积.16.（本小题满分13分）如图，已知圆心为的圆经过原点（）求圆的方程； （）设直线与圆交于，两点若，求的值17.（本小题满分14分）如图，矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，是的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）若，求多面体的体积18.（本小题满分13分）已知抛物线的准线方程是.（）求抛物线的方程；（）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.19.（本小题满分13分）如图1，在中，为中点，于，延长交于.将沿折起，得到三棱锥，如图2所示. （）若是的中点，求证：平面；（）若平面平面，试判断直线与直线能否垂直？并说明理由.20.（本小题满分14分）如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上异于点的任意两点，且试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由北京市西城区2015 2016学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准 2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.b 2. d 3.c 4. a 5.c 6.c 7. b 8. b 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10. 11. 12. ， 13. 14. 注：12题第一空2分，第二空3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（）解： 连结. 因为 底面，所以 . 【 2分】因为 底面是正方形，所以 . 【 3分】在直角三角形中，. 【 5分】（）解：因为 底面，底面是正方形， 从而，为全等的直角三角形， 【 7分】所以 . 【 8分】由（）知 ， 所以 ，从而 ，为全等的直角三角形. 【10分】所以，四棱锥的表面积 【11分】 . 【13分】16.（本小题满分13分）（）解：圆的半径 ， 【 3分】 从而圆的方程为 【 5分】（）解：作于，则平分线段，所以 【 7分】在直角三角形中， 【 9分】由点到直线的距离公式，得， 【11分】所以 ， 【12分】 解得 【13分】17.（本小题满分14分）（）证明：连接交于，连接因为 分别为和的中点，则【 2分】又 平面，平面， 【 3分】所以 平面 【 4分】（）证明： 因为矩形所在的平面与正方形所在的平面相互垂直，平面，所以平面 【 6分】又平面， 所以 【 7分】因为，是的中点， 所以 【 8分】所以平面 【 9分】所以平面平面 【10分】（）解：多面体为四棱锥截去三棱锥所得， 【12分】 所以 【14分】18.（本小题满分13分）（）解：因为抛物线的准线方程为， 【 2分】所以 ， 解得， 【 4分】所以 抛物线的方程为. 【 5分】 （）证明：设，.将代入，消去整理得 . 【 7分】所以 . 【 8分】由，两式相乘，得 ， 【 9分】注意到，异号，所以 . 【10分】所以直线与直线的斜率之积为， 【12分】即 . 【13分】19.（本小题满分13分）（）证明：取中点. 在图1中，由，分别为，中点， 所以 . 【 2分】 在图2中，由，分别为，中点， 所以 ， 【 4分】 所以 平面平面， 【 5分】所以 平面. 【 6分】（）解：直线与直线不可能垂直. 【 7分】因为平面平面，平面，所以 平面， 【 8分】所以. 【 9分】假设有，注意到与是平面内的两条相交直线，则有平面. （1） 【10分】又因为平面平面，平面，所以 平面.（2） 【11分】 而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾！ 所以直线与直线不可能垂直. 【13分】20.（本小题满分14分）（）解：设椭圆的半焦距为依题意，得， 【 1分】 且 ， 【 3分】 解得 【 4分】 所以，椭圆的方程是 【 5分】（）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为 【 6分】将直线的方程代入，消去，整理得 【 8分】设 ，则 ，（1） 【 9分】因为 ，且直线的斜率均存在，所以 ， 整理得 （2） 【10分】因为 ，所以 ，（3）将（3）代入（2），整理得 （4） 【11分】将（1）代入（4），整理得 【13分】解得 ，或（舍去）所以，直线恒过定点 【14分】证法二：直线的斜率均存在，