如何开发初中数学建模的教学资源.doc

如何开发初中数学建模的教学资源？一、问题提出的背景新课程标准明确指出:“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.” 由此可见，“数学建模”作为一种重要的学习方式，正在逐步受到我国教育界的高度关注.二、概念界定那么什么是数学建模呢？数学建模就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并运用所学的数学知识与技能求得问题解决的一种数学思想和方法.三、初中数学建模的主要类型1、向量的模型现实生活中存在着很多既有大小又有方向的量如：速度、重力、位移等，通常需要建立向量的模型来解决.【例1】：“在一段宽阔的河道中，河水以40米/分的速度向东流去，一艘小艇顺流航行到a处，然后沿着北偏东10度的方向以12千米/小时的速度驶向北岸，请用作图的方法指出小艇实际航行的方向.”分析：本题是向量加法的平行四边形法则在解决简单实际问题中的应用，难点是要向学生解释：一是为什么要用向量解决该问题? 这里就涉及到数学建模的问题.本题中涉及的量有“河水以40米/分的速度向东流去”，“小艇沿着北偏东10度的方向以12千米/小时的速度驶向北岸”都是既有大小又有方向的量，符合向量的特点，因此我们用向量表示，从而研究这一实际问题转化为研究向量的问题.完成了“建模”，我们就可以用向量的系统知识解释问题了.二是怎样用向量解决该问题? 由于向量am（图1）可以用它的相等向量ng表示（图2），问题可以看作点a先沿着北偏东10度的方向平移了200米，又沿向东的方向平移了40米，两次平移相当于从点a一次平移到点g，两次平移的情况可以用向量ag表示（图3），也就是用向量m、n的和向量表示.在明白了这一道理后，我们今后也可以直接通过向量加法的平行四边形法则求向量m、n的和向量ag .解：设向量m为“向东，40米”，向量n为“北偏东 ，200米”.作向量am=m向量an=n ；再作平行四边形amgn，然后作向量ag ，则向量ag的指向就是小艇实际航行的方向.2、函数模型当涉及到总运费最少或利润最大等决策性问题时，可通过建立函数模型，将实际问题转化为数学问题，运用函数的相关知识来解决.【例2】a、b、c、d四市搞经济协作，沿海地区的a、b两市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援西部地区的c市10台，d市8台，而从a市调一台机器到c市、d市的运费分别为400元和800元；从b市调一台机器到c市、d市的运费分别为300元和500元.(1)如何安排调运可使总运费最少？(2)如果要求总运费不超过9000元，有哪几种调运方案？分析：首先建立四边形的调运路线图，梳理已知和未知量，四个顶点分别为a、b、c、d四个城市，图中标出a、b已有的机器台数和c、d需要的机器台数，比较直观，题意一目了然.由于题中要求总运费最少，所以可通过建立一次函数模型，将实际问题转化为数学问题，运用一次函数的性质来解决.我们不妨设由b市运往c市的机器为x台，则运费为300x元.再设总运费为y元，则可建立函数关系式.(1) 解：设由b市运往c市的机器为x台由题意得：y=300x+500(6-x)+400(10-x)+8008-(6-x)200x+8600 (0x6的整数)因为y是x的一次函数，k2000，所以y随x增大而增大.当x0时，y最小8600元.答：当b市运往d市6台机器，a市运往d市2台机器，a市运往c市10台机器时总运费最少为8600元.3、直角三角形模型当涉及测量高度、距离、角度、坡度等的航海、拦水坝等应用型问题时，可考虑建立直角三角形的模型，利用解直角三角形的知识使问题获得解决.【例3】如图，在学校操场竖立着一根旗杆，在离旗杆bc底部10米的a处，用测角仪测得旗杆顶端c的仰角为52，已知测角仪ad的高为1.5米，求旗杆bc的高. （精确到0.1米.已知sin520.7880,cos520.6157 tan521.2799,cot520.7813）.分析： 结合图形已知旗杆与地面是垂直的，测角仪da与地面垂直，由于仰角52是视线与水平线的夹角，形成角的同时，也形成了直角三角形.也就建立了“解直角三角形”的模型，根据三角形中的已知元素求出未知元素，即可解决该实际问题.解： 从测角仪d处作deab，交bc于点e.根据题意，可知de=ab=10（米），be=ad=1.5（米），cde=52.在rtdce中,tancde= ，得ce=de tancde=10tan52101.2812.8(米).则bc=be+ce1.5+12.8=14.3(米).答:旗杆bc的高约为14.3米.把这个实际问题化成了一个解无理方程的数学问题，完成了“建模”，我们就可以用无理方程的知识求解该问题了。解：设小瓷砖的面积为x平方分米，则大瓷砖的面积为（x40）平方分米.根据题意，可列出方程：解得：x9经检验，x9是原方程的根且符合题意.当x9时，x4049答：这两块瓷砖的面积分别是9平方分米和49平方分米.5、不等式（组）模型生活中的不等关系主要体现在市场营销、生产决策、统筹安排等方面，对于此类实际问题可以考虑通过建立不等式（组）的模型来解决.【例5】例2中的第(2)题如果要求总运费不超过9000元，有哪几种调运方案？分析：总运费不超过9000元即y9000，由此建立不等式的模型.解：根据题意，可列出不等式：y9000即 200x+86009000解得：x2又x为正整数x0、1、2答：共有三种调运方案当x0时b市运往d市6台机器，a市运往d市2台机器，a市运往c市10台机器；当x1时b市运往d市5台机器，a市运往d市3台机器，a市运往c市9台机器，b市运往c市1台机器；当x2时b市运往d市4台机器，a市运往d市4台机器，a市运往c市8台机器, b市运往c市2台机器.6、几何模型等生活中诸如边角余料加工、拱桥计算、修复残破轮片等问题，涉及应用一些几何图形性质的则需建立几何模型，用几何知识加以解决.随着素质教育的进一步深入，近几年中考加强了对应用型问题的考查，这类试