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Chapitre 1 Courbes planes paramtres1. Tangente et demi-tangente en un pointLa courbe est lensemble des points ou tels que de coordonnes , un intervalle de R. Sur cet intervalle, on suppose que est continue.Dfinition: , on dit que admet une tangente en la droite, avec, a une limite quand, cest dire quand. Cette droite est alors la tangente C en . On parlera ventuellement de demi-tangente si on a une limite droite ou une limite gauche. Voir la figure ci-dessous.Comme il y a, selon son orientation, deux vecteurs unitaires qui dirigent une droite, cela revient ce que le vecteur unitaire admet une limite quand la tangente est alors la droite passant par et dirige par ce vecteur.Dfinition: Un point est rgulier.Dfinition: Un point non rgulier est un point stationnaire.Thorme 1 : En un point rgulier, la courbe admet une tangente dirige par .Thorme 2: Soit un point stationnaire de , si est de classe suffisante au voisinage de , pour quil existe un vecteur driv non nul . Alors, admet en une tangente ou des demi-tangentes. Elles sont portes par ce premier vecteur driv non nul . On note habituellement lordre de drivation de ce vecteur. 2. Formule de Taylor-Young pour une fonction vectorielle.Soit une courbe plane dfinie par deux quations paramtriques , ce qui revient une quation vectorielleFaire appel au dveloppement limit de au voisinage de soit au voisinage du point en supposant que .On peut crire en vecteur:Avec 3. Etude locale dune courbe plane paramtreEn revenant la dimension DEUX, en supposant drivable aussi loin que ncessaire, et en notant et les points de paramtres et , on a:Dans le cas gnral o et ne sont ni nuls ni colinaires, soit , ces deux vecteurs constituent une base du plan, et dans le repre (M0X, M0Y) ainsi dfinies les coordonnes de sont: o et quand ; donc ,., la tangente en est , et , montres que est, par apport sa tangente, du ct de soit . (Point concavit, ou aussi point ordinaire)Plus gnralement, on appelle encore p le rang de drivation du premier vecteur driv non nul, , et q le rang du premier vecteur driv non colinaire , sous rserve que soit de classe suffisante. Soit . On a dans le repre : , Dfinition: On dit que M0 est birgulier Dans tous les cas, on obtient lallure locale de la courbe en faisant un dveloppement limit lordre q de .Dans la base , les coordonnes de sont quivalentes , et quand .On travaille donc dans le repre, tout se dcide alors suivant la parit de p et q. La courbe est toujours tangente , la parit de p donne le signe de la coordonne lorsque , soit , la parit de q donne dans ce cas le signe de la deuxime coordonne. On peut voir sur la figure ci-dessous lensemble des cas:h-+X-+Y+p impair et q pair: point ordinaireh-+X-+Y-+p impair et q impair: point dinflexionh-+X+Y-+p pair et q impair: point de rebroussement de lre espceh-+X+Y+p pair et q pair: point de rebroussement de 2me espce(Nota: des arcs h0 et h0 peuvent tre inverses)Remarque: En un point birgulier, la concavit est tourne vers .Remarque: quand elle existe, est toujours la pente de la tangente la courbe au point considr.Remarque: Quand la pente de la tangente, donne par ou par est nulle ou infinie, cest dire quand la tangente horizontale ou verticale, la recherche de q est inutile puisque les variations de et permettent alors de dterminer le type de point.4. Points doubles. Point multiplesUn point double sobtient en exprimant que deux valeurs distinctes de t donne le mme point donc en rsolvant le systme:, , Il peut exister des points multiples dordre p ():, ont des valeurs distinctes.5. Branches infinies dune courbe plane paramtre (Dtaill dans lAnnexe 1)On dit que C admet une branche infinie quand x(t) ou y(t) tendent vers en ou . Alors Les cas usuels sont les suivants:1) et quand: on a une asymptote verticale dquation .2) et quand: on a une asymptote horizontale dquation .3) x(t) et quand on calcule appele a si elle existe, a) si il ny a pas de limite, on ne dit rien de plus. on a une branche parabolique de direction Oy.b) on a une branche parabolique de direction Ox.c) dans les autres cas, on calcule appele b si elle existe, si il ny a pas de limite, on a une branche infinie de direction asymptotique .on a une branche parabolique de direction . dans les autres cas, on a une asymptote , de plus : si , la courbe est au dessus de lasymptote, si , la courbe est au dessous de lasymptote. 6. Plan dtudes dune courbe paramtre a) Dtermination du domaine de dfinition, rduction ventuelle un domaine utile en cas de symtries, de priodicit de , etc.b) Etudes des variation de et , rassembles dans un tableau donnant ainsi, en gnral, les signes de . et .c) Etude ventuelle des points stationnaires.d) Etude ventuelle des branches infinies.e) Premire bauche de la courbe.f) Eventuellement, prcisions supplmentaires: points doubles, points dinflexion, points dintersection avec les axes de coordonnes, avec les asymptotes, etc. et trac dfinitif.Exemple1:Construire la courbe C dquations paramtriques, .Former son quation cartsienne.Dterminer laxe de symtrie. Dterminer le point S de C o la tangente est perpendiculaire laxe de symtrie.Lintersection avec les axes Ox et Oy.Ces deux fonctions, donc aussi le point sont dfinis sur R. Ni ni ne sont paires ou impaires, donc il ny a pas de symtrie apparente. Le domaine dtude reste R.Les signes de drive sont : , .Le tableau de variations: ( t correspond aux, et )t-11+-0+-0+x+3-1+y+04+Ce tableau met en vidence les point A(3,0) o la tangente est horizontale, B(-1,4) o elle est verticale, et deux branches infinies que nous allons tudier.Lorsque , , il y a une direction asymptotique de pente gale 1.Formons , quand .do deux branches paraboliques de pente 1.La courbe C coupe Ox au seul point A; Oy aux points tels que x = 0, donc en D (t = 0, y = 1) et E (t = 2, y = 9), do la courbe de la figure suivante. Figure 3Lquation cartsienne de C sobtient en liminant t entre x et y, ce qui est ici immdiat:donc que nous reportons dans y (dans x), ce qui donne , ou aprs rduction:Laxe de symtrie:Donc laxe de symtrie existe, et alors sa pente est Laxe de symtrie est , soit Le point de C o la tangente est perpendiculaire laxe de symtrie sobtient en exprimant , soit , , , alors S est (0,1), nest autre que D.Eexemple2: Les picyclodes (trigonomtrique)Cest la courbe dcrite par un point fixe sur un cercle qui tourne au tour dun autre cercle.Construire la courbe avec, soit Domaine de : 1) Priodicit:Pour x, , , donc Pour y, , , donc sym/Ox (Intervalle dtude)2) Signes de variations et tableau de variations:Do le tableau de variations: t00+0-00+0-x13/2-1/2-3y00En , on a un point stationnaire.Remarque: Point E o la courbe coupe Oy peut tre trouv en utilisant x = 0.Chapitre 2 Courbes planes en coordonnes polaires1. Gnralits. Changement du repreUn repre est constitu dun ple O et dun axe polaire , de vecteur unitaire . Un point M peut tre repr par sur lun des axes portant OM, et , dfini mod . On suppose, tant le vecteur unitaire de OX (Figure 1) et sont des coordonnes polaires du point M: est langle polaire, est le rayon vecteur. Figure 1.Si M est en O, , est indtermin.Si sont des coordonnes polaires de M, , sont un autre systme de coordonnes polaire du mme point M. Une courbe C peut tre dfinie par une quation polaire , de prfrence rsolue par rapport : .Le repre cartsien orthonorm (Ox, Oy) ou (figure 2.1) est dit associ au repre polaire. Le passage des coordonnes polaires aux cartsiennes sexprime par:,En sens inverse, on utilise, . Figure 2.1 Figure 2.2 Remarque : On admet ici que puisse tre ngatif. (Figure 2.2)2. Equations polaires de quelques courbes usuellesa) droite passant par le ple : ; ne passant pas par le ple:Une droite , la distance de , normale la droite: ou b) cercle de centre O: (ou ); passant par O:Un cercle passant par O de diamtre 2R et de centre sur la droite :, ou : quelconque: c) conique de foyer O, dexcentricit e, de paramtre p, cest dire la distance du foyer la directrice: ou (En particulier: parabole de foyer O et daxe Ox: )quation cartsienne rduite :.a = demi axe focal (ou transverse), b = demi axe non focal (ou non transverse). = demi-distance focale. = excentricit, p = paramtre.F(c, 0) et F(-c, 0) : foyers de lhyperbole. (D), (D), droites dquation x =a2/c et x =-a2/c : directrices de lhyperbole. quation polaire (ple F, axe Fx) 3. Tangente en un point une courbe dfinie par a) tangente en O, lorsque la tangente la courbe est la droite.b) tangente en un point M distinct de O: OX tant lun des axes portant OM, les coordonnes et de M suivant cet axe, la tangente MT est dfinie par langle, orient, entre le rayon vecteur et la droite tangente , tel que: (, suppose dfinie )Figure 3Lorsque, , , tangente perpendiculaire OM (en gnral, extremum de ). Suivant le reprelocal (OX, OY), (Sous-normale polaire) (Sous-tangente polaire)Une tangente horizontale (parallle OX) correspond : Une tangente verticale (perpendiculaire OX) correspond : 4. Point dinflexionUn point dinflexion dune courbe, forcment distinct de O, sobtient suivant la forme de f par lune des deux conditions (quivalentes):, ou Lexpression utilise devant sannuler avec changement de signe.5. Branche infiniesIl y a branche infinie lorsque lune au moins des deux coordonnes polaires devient infinie.a) , (finie)si , le ple est un point asymptote (figure 4);si , le cercle est un cercle asymptote (figure 5).Figure 4. Figure 5.b) , : M dcrit une branche spirale.c) (limite finie), : on se place dans le R.O.N. local de (OX,OY) (figure 6) et on tudie la limite ventuelle de: quand Deux cas sont usuels:Si , la courbe prsente une branche parabolique de direction .Si , limite finie, la courbe admet lasymptote Y = d, cest-dire dfinie par la distance oriente (sous-asymptote polaire). La position de la courbe par rapport lasymptote (au dessus ou au dessous par rapport au repre OX, OY) dpend du signe avec lequel .Figure 66. Points doubles. Point multiplesa) Le ple est un point double, ou multiple, si sannule deux ou plusieurs fois, sur le domaine D fournissant une fois et une seule toute la courbe.b) Un point, distinct de O, est un point double sil existe k entier non nul tel que: et appartenant un mme domaine D dfinie en (a).7. Plan dtudes dune courbe a) Dtermination du domaine de dfinition de f, et ventuellement dun domaine dtude, plus restreint, rsultant de particularits de f (frquentes), par exemple: f est priodique: ltude sur donne toute la courbe. f est priodique: ltude sur , et puis symtrie par rapport O. : ltude sur donne toute la courbe. f est paire, ou impaires: tude pour, puis symtrie par rapport Ox ou Oy.b) Etudes des variations et du signe de , le plus souvent laide de , do tableau de variations.c) Etude des branches infinies, tangente en O (ventuellement) et premire bauche de la courbe.d) Si ncessaire, prcisions supplmentaires: points doubles, points dinflexion, etc. et tracer dfinitif.Exemple: Etudier et tracer la courbe: 1) Domaine de : 2) Priodicit, symtrie et I.E.:, donc sym/Oy, sym/Ox, et sym/OOn a deux symtries axiales 3) Signes de variations et tableau de variations:. On a donc en I.E., Do le tableau de variations: 00Signe de +-010tanV00Annexe 1 Les branches infinies dune courbe plane paramtrl AsymptoteEx1: La courbe C dquations paramtriques, Le tableau de variations (une partie):t-0+x-0+Y0-|+0Figure 1Donc la courbe C a les asymptotes et .Ex2: La courbe C dquations paramtriques, Le tableau de variations (une partie):t-0+x-1+y2-|+2Figure 2Donc la courbe C a les asymptotes et .Remarque: La courbe dans ex2 sobtient en dplaant la courbe dans ex1 de (0,0) (1,2).Ex3: La courbe C dquations paramtriques, Les signes de drive sont : , .Le tableau de variations (une partie):t-101+x-0+|-0+y-2-|+2+Figure 3Lorsque , , , , il y a une direction asymptotique de pente gale 1.Formons , quand .Donc la courbe C a lasymptote .Quand, , la courbe est au dessus de lasymptote,Quand, , la courbe est au dessous de lasymptote.Lorsque , , il y a une direction asymptotique de pente gale -1.Formons , quand .Donc la courbe C a lasymptote .Quand, , la courbe est au dessus de lasymptote,Quand, , la courbe est au dessous de lasymptote. l Branche paraboliqueEx4: La courbe C dquations paramtriques, Le tableau de variations (une partie):t-0+x-0+y+0+ Figure 4.1 Figure 4.2Lorsque , , il y a une direction asymptotique de direction Oy(Fig. 4.1).Remarque: De la mme faon, la courbe: , , lorsque , il y a une direction asymptotique de direction Ox (Fig. 4.2).Ex5: La courbe C dquations paramtriques, Les signes de drive sont : , .Le tableau de variations:t-0.50.5+-0+-0+x+0.75-0.25+y+-0.250.75+Figure 5Lorsque , , , , il y a une direction asymptotique de pente gale 1. Formons , quand quand do deux branches paraboliques de pente 1.TD de Construction de courbesPartie 11. Dterminer et dessiner les tangentes aux points lellipse: en et .Figure 12. Faire ltude locale de la courbe: en. Dessiner les deux premires drives non nulles et en.Figure 23. Faire ltude locale de la courbe dfinie par : en . Calculer galement les pentes des tangentes aux points dinflexion.4. Faire ltude locale de larc paramtr en . (Dterminer et ainsi que le type du point)5. Trouver les points double la courbe: 6. Tracer les asymptotes lhyperbole: Partie 2Rappel: Plan dtudes dune courbe paramtrea) Dtermination du domaine de dfinition, rduction ventuelle un domaine utile en cas de symtries apparentes, de priodicit de , etc.b) Etudes des variation de et , rassembles dans un tableau donnant ainsi, en gnral, les signes de et .c) Etude ventuelle des points stationnaires.d) Etude ventuelle des branches infinies.e) Premire bauche de la courbe.f) Eventuellement, prcisions supplmentaires: points doubles, points dinflexion, points dintersection avec les axes de coordonnes, les asymptotes, laxe de symtrie, etc. et trac dfinitif.Exemple1:Soit courbe C dquations paramtriques, .Etablir le tableau de variations sur .Dterminer lasymptote.Former son quation cartsienne.Lintersection avec les axes ox et oy.Les signes d