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文档简介

学科：奥数教学内容：巧用判别式性质 妙解不等式问题在数学课本时，判别式是判别实系数一元二次方程有无实数根的主要方法，所以大家都很重视它，而从判别式与0的大小关系上，有等与不等两种情形，我们巧用它的不等关系，能够解答一些有趣的不等式以及互相关联的最值问题、参数的取值范围问题现例说如下例1 已知a、b、c都是实数，证明： （1）证 当c2a时，（1）式易见成立，对此，只需考虑c2a时的情形对照（1）式，只需证0，此式与判别式极为相似，对此用、为系数，构造一元二次方程：注意到上述方程有实数根，所以应有它的判别式0例2 已知，求证： （2）解 据题意，只需证0，而此形式相类似于一元二次方程的判别式现将已知方程化为由此可见是关于t的方程的一个实根，所以0，即0由此得证例3 已知实数a、b，满足 （3）求证：b解 将（3）按a的降幂排列：，可见是一元二次方程的一个实根，故判别式0，即0，由此得b例4 已知a、b、c是三个不同实当选，且满足abc=0，abc=1，证明：a、b、c中必有一个数大于证 因为abc1，所以a、b、c是三个非零实数，又因为ab+c=0，所以a、b、c中有两个负实数，一个正实数，不妨设a是正实数，b、c都是负实数，于是bca，可见b、c是方程的两个不同实根，故判别式，即，故例5 已知实数a、b、c满足abc=0，abc=2试求abc的最小值解 类似例4分析，可设a是正数，b、c都是负数，于是abcabcaa2a可见，只需求2a的最小值注意到bca，所以b、c是方程的两个实数根，因此判别式0，即8，所以a2，由此得abc的最小值是224例6 如图1，过正方形ABCD的顶点C任作一条直线与AB、AD的延长线相交于P、Q，求证：AP+AQ证 设正方形的ABCD边长为a，注意到，所以有 ，即 由此可见，AP、AQ是方程的两个实根，故判别式0，即4a，注意到，所以例7 已知x，y，z都是实数，a0，且解 因xyaz ，两端平方得得 ，即 由、式可知，x、y是关于未知数t的二次方程的两个实根，故判别或=,即0，即0由此解得z的取值范围是0z由于、式关于x、y，z都是对称式，所以，x、y与z都是相当的，同理可以求得它们的取值范围：0xa, 0ya例8 设实数x，y满足，求的取值范围解 设（参数），于是故，又因为（），可见，于是x、y是关于未知数t的二次方程的两个实根，故判别式0，即0，故k即又由（）式知0，。故k6，由此得6例9 已知实数a，b满足 ，求的最大值解 令t，则bat，代入式并整理后可得，由此可见，xa是一元二次方程（t+1
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