高三数学总复习导与练 第六篇第五节配套课件（教师用） 理.ppt

第5节数列的综合应用 1 数列知识的综合问题 1 数列本身的综合数列知识内部综合主要是指以等差数列和等比数列为中心的综合问题 通常涉及到等差 等比数列的证明 基本计算 求和等 2 数列与其他章节知识的综合与数列常联系在一起命题的知识主要有函数 不等式和解析几何 以及三角 复数等 有时带有探索性 涉及到的方法有转化与化归 放缩 数学归纳法 反证法 函数思想等 2 数列的实际应用 1 数列应用常见范例 生活中涉及到银行利率 企业股金 产品利润 人口增长 工作效率 图形面积 曲线长度等实际问题 常常考虑用数列知识求解 2 数列应用题常见模型 等差数列模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差数列模型 增加 或减少 的量就是公差 等比数列模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数值 则该模型是等比数列模型 这个固定的数就是公比 解答数列应用题的基本步骤 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 分清该数列是等差数列还是等比数列 是求通项还是求前n项和 求解 求出该问题的数学解 还原 将所求结果还原到原实际问题中 具体解题步骤如下框图 质疑探究 银行储蓄单利和复利计算各是什么模型 提示 设本金为a元 每期利率为r 存期为n 则按单利计算 本利和an a 1 rn 属于等差模型 按复利计算 本利和an a 1 r n 属于等比模型 4 2010年浙江五校一模 等比数列 an 的前n项和为sn 已知s1 2s2 3s3成等差数列 则 an 的公比为 等差 等比数列的综合 例1 在等比数列 an n n 中 a1 1 公比q 0 设bn log2an 且b1 b3 b5 6 b1b3b5 0 1 求证 数列 bn 是等差数列 2 求 bn 的前n项和sn及 an 的通项an 3 试比较an与sn的大小 思路点拨 1 利用定义法即可解决 2 先求 bn 的首项和公差 再求 an 的首项及公比 3 分情况讨论 数列的实际应用 例3 某市2008年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2008年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 参考数据 1 084 1 36 1 085 1 47 1 086 1 59 思路点拨 关键信息是 每年新建住房面积平均比上一年增长8 说明新建住房面积构成等比数列模型 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 说明中低价房的面积构成等差数列模型 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 有250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85 当n 5时 a50 85b6 满足上述不等式的最小正整数n为6 到2013年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题 通过反复读题 列出有关信息 转化为数列的有关问题 这恰好是数学实际应用的具体体现 例题 2010年高考湖北卷 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a 单位 m2 其中有部分旧住房需要拆除 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10 建设新住房 同时也拆除面积为b 单位 m2 的旧住房 1 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式 2 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30 则每年拆除的旧住房面积b是多少 计算时取1 15 1 6 错解分析 数列是特殊的函数 用函数的观点研究数列 往往忽视其 特殊性 即定义域为n n 从而导致审题错误 正解 an 是递增数列 an 1 an 即 n 1 2 n 1 n2 n 2n 1对于n n 恒成立 而 2n 1在n 1时取得最大值 3 3 故选d 选题明细表 5 2010年皖南八校模拟 某公园为庆祝国庆节免费开放一天 早晨6时30分有2人进入公园 接下来的第一个30分钟内有4人进去并出来1人 第二个30分钟内进去8人并出来2人 第三个30分钟内进去16人并出来3人 第四个30分钟内进去32人并出来4人 按照这种规律进行下去 到上午11时30分公园内的人数是 b a 212 47 b 212 57 c 213 68 d 214 80解析 公园内的人数为 2 22 23 211 1 2 3 10 212 57 故选b 三 解答题8 已知 an 的前n项和为sn 点 n sn 在函数f x 2x 1的图象上 数列 bn 满足bn log2an 12 n n 设数列 bn 的前n项和为tn 1 求数列 an 的通项公式 2 当数列 bn 的