流体力学习题集汇总.pdf

流体力学习题集 1 1 底面积 A 0 2m 0 2m 的水容器 水面上有一块无重密封盖板 板上 面放置一个重量为 G1 3000N 的铁块 测得水深 h 0 5m 如图所示 如果将铁 块加重为 G2 8000N 试求盖板下降的高度 h 解 利用体积弹性系数计算体积压缩率 Epvv 00 BppnpE p 为绝对压强 当地大气压未知 用标准大气压 Pap 5 0 1001325 1 代替 PaAGpp 5 101 1076325 1 PaAGpp 5 202 1001325 3 因 01 p p 和 02 pp 不是很大 可选用其中任何一个 例如 选用 02 pp 来计算 体积弹性系数 PaBppnpE 9 020 101299 2 在工程实际中 当压强不太高时 可取 PaE 9 101 2 5 12 104827 6 EppEpvvhh mhh 55 102413 310604827 1 3 测压管用玻璃管制成 水的表面张力系数 0 0728N m 接触角 8 如果要求毛细水柱高度不超过 5mm 玻璃管的内径应为多少 解 由于 因此 1 4 高速水流的压强很低 水容易汽化成气泡 对水工建筑物产生气蚀 拟 将小气泡合并在一起 减少气泡的危害 现将 10 个半径 R1 0 1mm 的气泡合成 一个较大的气泡 已知气泡周围的水压强 po 6000Pa 水的表面张力系数 0 072N m 试求合成后的气泡半径 R 解 小泡和大泡满足的拉普拉斯方程分别是 设大 小气泡的密度 体积分别为 V 和 1 V1 大气泡的质量等于小气泡的 质量和 即 合成过程是一个等温过程 T T1 球的体积为 V 4 3 R 3 因此 令 x R R1 将已知数据代入上式 化简得 上式为高次方程 可用迭代法求解 例如 以 xo 2 作为初值 三次迭代后得 x 2 2372846 误差小于 10 5 因此 合成 的气泡的半径为 还可以算得大 小气泡的压强分布为 1 5 一重 W 500N 的飞轮 其回转半径 30cm 由于轴套间流体粘性的影 响 当飞轮以速度 600 转 分旋转时 它的减速度 0 02m s 2 已知轴套长 L 5cm 轴的直径 d 2cm 其间隙 t 0 05mm 求流体粘度 解 由物理学中的转动定律知 造成飞轮减速的力矩 M J 飞轮的转动惯 量 J 所以力矩 另一方面 从摩擦阻力 F 的等效力系看 造成飞轮减速的力矩为 为线性分布 则 摩擦阻力矩应等于 M 即 T M 即 所以 2 1 试求解图中同高程的两条输水管道的压强差 p1 p2 已知液面高程读数 z1 18mm z2 62mm z3 32mm z4 53mm 酒精密度为 800kg m 3 解 设管轴到水银面 4 的高程差为 ho 水密度为 酒精密度为 1 水银密 度为 2 则 将 z 的单位换成 m 代入数据 得 2 2 用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程 h 打开阀门 1 调整压缩空气的压强 使气泡开始在油箱中逸出 记下 U 形水银压差计的读数 h1 150mm 然后关闭阀门 1 打开阀门 2 同样操作 测得 h2 210mm 已知 a 1m 求深度 h 及油的密度 解 水银密度记为 1 打 开阀门 1 时 设压缩空气压 强为 p1 考虑水银压差计两 边液面的压差 以及油箱液 面和排气口的压差 有 同样 打开阀门 2 时 两式相减并化简得 代入已知数据 得 所以有 2 3 人在海平面地区每分钟平均呼吸 15 次 如果要得到同样的供氧 则在珠 穆朗玛峰顶 海拔高度 8848m 需要呼吸多少次 解 海平面气温 T0 288 z 8848m 处的气温为 峰顶压强与海平面压强的比值为 峰顶与海平面的空气密度之比为 呼吸频率与空气密度成反比 即 2 4 如图所示 圆形闸门的半径 R 0 1m 倾角 45 o 上端有铰轴 已知 H1 5m H2 1m 不计闸门自重 求开启闸门所需的提升力 T 解 设 y 轴沿板面朝下 从铰轴起算 在闸门任一点 左侧受上游水位的压强 p1 右侧受下游水位的压强 p2 其计算式为 平板上每一点的压强 p1 p2是常数 合力为 p1 p2 A 作用点在圆心上 因此 代入已知数据 求得 T 871 34N 2 5 盛水容器底部有一个半径 r 2 5cm 的圆形孔口 该孔口用半径 R 4cm 自重 G 2 452N 的圆球封闭 如图所示 已知水深 H 20cm 试求升起球体所需 的拉力 T 解 用压力体求铅直方向的静水总压力 Fz 由于 因此 2 6 如图所示的挡水弧形闸门 已知 R 2m 30 o h 5m 试求单位宽 度所受到的静水总压力的大小 解 水平方向的总压力等于面EB上的水压力 铅直方向的总压力对应的压力 体为CABEDC 2 7 如图所示 底面积为 b b 0 2m 0 2m 的方口容器 自重 G 40N 静 止时装水高度 h 0 15m 设容器在荷重 W 200N 的作用下沿平面滑动 容器底 与平面之间的摩擦系数 f 0 3 试求保证水不能溢出的容器的最小高度 解 解题的关键在于求出加速度 a 如果已知加速度 就可以确定容器里水面 的斜率 考虑水 容器和重物的运动 系统的质量 M 和外力分别为 因此 系统的重力加速度为 代入数据得a 5 5898 m s 2 容器内液面的方程式为 坐标原点放在水面 斜面 的中心点 由图可见 当 x b 2 时 z H h 代 入上式 可见 为使水不能溢出 容器最小高度为 0 207m 2 8 如图所示 液体转速计由一个直径为 d1的圆筒 活塞盖以及与其连通 的直径为 d2两支竖直支管构成 转速计内装液体 竖管距离立轴的距离为 R 当 转速为 时 活塞比静止时的高度下降了 h 试证明 解 活塞盖具有重量 系统没有旋转时 盖子处在一个平衡位置 旋转时 盖 子下降 竖管液面上升 设系统静止时 活塞盖如实线所示 其高度为 h1 竖管的液面高度设为 H1 此时 液体总压力等于盖子重量 设为 G 旋转时 活塞盖下降高度为 h 两支竖管的液面上升高度为 H 液体压强分布的通式为 将坐标原点放在活塞盖下表面的中心 并根据竖管的液面参数确定上式的积分常 数 C 当 r R z H1 h1 H h 时 p pa 因此 液体压强分布为 旋转时 液体压力 大气压力的合力应等于盖子重量 即 因盖子下表面的相对压强为 代入 G 式并进行积分 得到 代入上式 化简得 由图中看出 活塞盖挤走的液体都进入两支竖管 因此 所以有 2 9 如图所示 U 形管角速度测量仪 两竖管距离旋转轴为 R1和 R2 其液面 高差为 h 试求 的表达式 如果 R1 0 08m R2 0 20m h 0 06m 求 的值 解 两竖管的液面的压强都是 pa 当地大气压 因而它们都在同一等压面上 如图虚线所示 设液面方程为 不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为 h 现根据液面边界条件进行计算 当 r R1 z h 及 r R2 z h h 时 两式相减得 所以 2 10 航标灯可用如图所示模型表示 灯座是一个浮在水面的均质圆柱体 高度 H 0 5m 底半径 R 0 6m 自重 G 1500N 航灯重 W 500N 用竖杆架在灯 座上 高度设为 z 若要求浮体稳定 z 的最大值应为多少 解 浮体稳定时要求倾半径 r 大于偏心距 e 即 r e 先求定倾半径r J V 浮体所排开的水的体积 V 可根据吃水深度 h 计算 再求偏心距 e 它等于重心与浮心的距离 设浮体的重心为 C 它到圆柱体下表 面的距离设为hC 则 根据浮体稳定的要求 有 化简得 r h 的值已经算出 代入其它数据 有 z 1 1074m 2 11 如图所示水压机中 已知压力机柱塞直径 D 25cm 水泵柱塞直径 d 5cm 密封圈高度 h 2 5cm 密封圈的摩擦系数 f 0 15 压力机柱塞重 G 981N 施于水泵柱塞上的总压力 P1 882N 试求压力机最后对重物的压力 F 解 P1所形成的流体静压力 压力机柱塞上的总压力 静压力作用在密封圈上的总压力为 p Dh 方向与柱塞垂直 所以密封圈上的摩 擦力 故压力机对重物的压力为 3 3 已知平面流场的速度分布为 试求 t 1 时经过坐标原点的流线方 程 解 对于固定时刻 to 流线的微分方程为 积分得 这就是时刻 to的流线方程的一般形式 根据题意 to 1 时 x 0 y 0 因此 C 2 3 4 如图所示的装置测量油管中某点的速度 已知油的密度为 800kg m 3 水银密度为 13600 kg m 3 水银压差计的读数 h 60mm 求该点的流速 u 解 我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线 即如图中的流线 1 0 这条流线从上游远处到达 L 形管口后发生弯曲 然后绕过管口 沿管壁面延 伸至下游 流体沿这条流线运动时 速度是发生变化的 在管口上游远处 流速 为 u 当流体靠近管口时 流速逐渐变小 在管口处的点 0 速度变为 0 压强 为 po 流体在管口的速度虽然变化为 0 但流体质点并不是停止不动 在压差作 用下 流体从点 0 开始作加速运动 速度逐渐增大 绕过管口之后 速度逐渐加 大至 u 综上分析 可以看到 流体沿流线运动 在点 1 速度为 u 压强为 p 在点 0 速度为 0 压强为 po 忽略重力影响 沿流线的伯努利方程是 由此可见 只要测出压差为 po p 就可以求出速度 u 不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为 l 由于流 线平直 其曲率半径很大 属缓变流 沿管截面压强的 变化服从静压公式 因此 式中 和 分别是油和水银的密度 将已知数据代入计算 h 的单位应该 是用 m 表示 h 0 06m 得速度为 u 4 3391m s 3 5 矿山排风管将井下废气派入大气 为了测量排风的流量 在排风管出口 处装有一个收缩 扩张的管嘴 其喉部处装有一个细管 下端插入水中 如图所 示 喉部流速大 压强低 细管中出现一段水柱 已知空气密度 1 25kg m 3 管径 d1 400mm d2 600mm 水柱 h 45mm 试计算体积流量 Q 解 截面 1 1 的管径小 速度大 压强低 截面 2 2 接触大气 可应用伯努利方程 即 利用连续方程 由上式得 此外细管有液柱上升 说明 p1低于大气压 即 式中 是水的密度 因此 由 d1 400mm d2 600mm 可以求出 A1和 A2 而 h 皆已知 可算得 3 6 如图所示 水池的水位高 h 4m 池壁开有一小孔 孔口到水面高差为 y 如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离 x 2m 求 y 的值 如果要使水 柱射出的水平距离最远 则 x 和 y 应为多少 解 孔口的出流速度为 流体离开孔口时 速度是沿水平方向的 但在重 力作用下会产生铅直向下的运动 设流体质点从 孔口降至地面所需的时间为 t 则 消去 t 得 即 解得 如果要使水柱射出最远 则因为 x 是 y 的函数 当 x 达到极大值时 dx dy 0 上式两边对 y 求导 得 3 7 如图所示消防水枪的水管直径 d1 0 12m 喷嘴出口直径 d2 0 04m 消 防人员持此水枪向距离为 l 12m 高 h 15m 的窗口喷水 要求水流到达窗口时 具有 V3 10m s 的速度 试求水管的相对压强和水枪倾角 解 解题思路 已知 V3利用截面 2 2 和 3 3 的伯努利方程就可以求出 V2 而利用截面 1 1 和 2 2 的伯努利方程可以求出水管的相对压强 p1 pa 水流离 开截面 2 2 以后可以视作斜抛运动 利用有关公 式就可以求出倾角 对水射流的截面 2 2 和截面 3 3 压强相同 将 h V3代入得 V2 19 8540m s 对于喷嘴内的水流截面 1 1 和截面 2 2 有 式中 p2 pa 利用连续方程 则有 喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是 V2cos 和 V2sin 利用斜抛 物体运动公式 不难得到上抛高度 h 和平抛距离 l 的计算公式分别为 消去时间 t 得到 代入数据 又 上式化为 3 8 如图所示 一个水平放置的水管在某处出现 30 o的转弯 管径也从 d1 0 3m 渐变为 d2 0 2m 当流量为 Q 0 1m 3 s 时 测得大口径管段中心的表 压为 2 94 10 4Pa 试求为了固定弯管所需的外 力 解 用 p 表示表压 即相对压强 根据题意 图示的截面 1 1 的表压 p1 p1 pa 2 94 10 4Pa 截面 2 2 的表压 p 2 可根据伯努利方程 求出 而固定弯管所需的外力 则可以利用总 流的动量方程求出 取如图所示的控制体 截面 1 1 和 2 2 的平均流速分别为 弯管水平放置 两截面高程相同 故 总流的动量方程是 由于弯管水平放置 因此我们只求水平面上的力 对于图示的控制体 x y 方 向的动量方程是 代入数据 得 3 9 宽度 B 1 的平板闸门开启时 上游水位 h1 2m 下游水位 h2 0 8m 试求固定闸门所需的水平力 F 解 应用动量方程解本题 取如图所示的控制体 其中截面 1 1 应在闸门上游足够远处 以保证该处 流线平直 流线的曲率半径足够大 该截面上的压强 分布服从静压公式 而下游的截面 2 2 应选在最小 过流截面上 由于这两个截面都处在缓变流中 总压 力可按平板静水压力计算 控制体的截面 1 1 上的 总压力为 1 2 gh1Bh1 它是左方水体作用在控制面 1 1 上的力 方向从左到右 同样地 在控制面 2 2 上地总压力为 1 2 gh2Bh2 它是右方水体作用在控制面 2 2 上的力 方向从右到左 另外 设固定平板所需的外力是 F 分析控制体的 外力时 可以看到平板对控制体的作用力的大小就是 F 方向从右向左 考虑动量方程的水平投影式 流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出 由以上两式得 将已知数据代入动量方程 得 我们还可以推导 F 的一般表达式 上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度 V2 因而 将此式代入动量方程得 3 13 如图所示 旋转式洒水器两臂长度不等 l1 1 2m l2 1 5m 若喷 口直径d 25mm 每个喷口的水流量为Q 3 10 3m3 s 不计摩擦力矩 求转速 解 水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量和 本题中 相对速度和 牵连速度反向 都与转臂垂直 设两个喷嘴水流的绝对速度为V1和V2 则 根据动量矩方程 有 以V1 V2代入上式 得 4 1 液体在水平圆管中作恒定流动 管道截面沿程不变 管径为D 由于阻 力作用 压强将沿流程下降 通过观察 已知两个相距为l 的断面间的压强差 p与断面平均流速V 流体密度 动力粘性系数 以及管壁表面的平均粗糙度 等因素有关 假设管道很长 管道进出口的影响不计 试用 定理求 p 的一 般表达式 解 列出上述影响因素的函数关系式 函数式中 N 7 选取 3 个基本物理量 依次为几何学量D 运动学量V和动力 学量 三个基本物理量的量纲是 其指数行列式为 说明基本物理量的量纲是独立的 可写出 N 3 7 3 4 个无量纲 项 根据量纲和谐原理 各 项中的指数分别确定如下 以 1为例 即 解得 x1 1 y1 0 z1 0 所以 以上各 项根据需要取其倒数 但不会改变它的无量纲性质 所以 求压差 p 时 以 代入 可得 令 最后可得沿程水头损失公式为 上式就是沿程损失的一般表达式 4 2 通过汽轮机叶片的气流产生噪声 假设产生噪声的功率为P 它与旋转 速度 叶轮直径D 空气密度 声速c有关 试证明汽轮机噪声功率满足 解 由题意可写出函数关系式 现选 D 为基本物理量 因此可以组成两个无量纲的 项 基于MLT 量纲制可得量纲式 联立上三式求得x1 3 y1 1 z1 5 所以 故有 一般常将c D 写成倒数形式 即 D c 其实质就是旋转气流的马赫数 因此上式可改写为 4 3 水流围绕一桥墩流动时 将产生绕流阻力FD 该阻力和桥墩的宽度b 或 柱墩直径D 水流速度V 水的密度 动力粘性系数 及重力加速度g有关 试用 定理推导绕流阻力表示式 解 依据题意有 现选 V b为基本物理量 由 定理 有 对于 1项 由量纲和谐定理可得 求得 x1 1 y1 2 z1 2 故 对于 2项 由量纲和谐原理可得 解得 x2 1 y2 1 z2 1 故 对于 3项 由量纲和谐定理可得 5 1 动力粘性系数 0 072kg m s 的油在管径d 0 1m的圆管中作层流 运动 流量Q 3 10 3m3 s 试计算管壁的切应力 o 解 管流的粘性切应力的计算式为 在管流中 当r增大时 速度 u 减小 速度梯度为负值 因此上式使用负号 圆管层流的速度分布为 式中 V是平均速度 r0是管道半径 由此式可得到壁面的切应力为 由流量 Q 和管径 d 算得管流平均速度 代入上式可算出 0 5 3 一条输水管长l 1000m 管径d 0 3m 设计流量Q 0 055m 3 s 水的 运动粘性系数为 10 6m2 s 如果要求此管段的沿程水头损失为 hf 3m 试问 应选择相对粗糙度 d为多少的管道 解 由已知数据可以计算管流的雷诺数Re和沿程水头损失系数 由水头损失 算得 0 02915 将数据代入柯列勃洛克公式 有 可以求出 5 4 如图所示 密度 920kg m 3的油在管中流动 用水银压差计测量长度 l 3m 的管流的压差 其读数为 h 90mm 已知管径 d 25mm 测得油的流量为 Q 4 5 10 4m3 s 试求油的运动粘性系数 解 式中 13600 kg m 3是水银密度 是油的密度 代入数据 算得 hf 1 2404m 算得 0 2412 设管流为层流 64 Re 因此 可见油的流动状态确为层流 因此 5 5 不同管径的两管道的连接处出现截面突然扩大 管道 1 的管径 d1 0 2m 管道 2 的管径 d1 0 3m 为了测量管 2 的沿程水头损失系数 以及截面突然扩大 的局部水头损失系数 在突扩处前面装一个测压管 在其它地方再装两测压管 如图所示 已知 l1 1 2m l2 3m 测压管水柱高度 h1 80mm h2 162mm h3 152mm 水流量 Q 0 06m 3 s 试求 和 解 在长 l2的管段内 没有局部水头损失 只有沿程水头损失 因此 将数据代入上式 可得 0 02722 在长 l1的管段内 既有局部水头损失 也 有沿程水头损失 列出截面 1 和 2 的伯努 利方程 因此 V1 Q A1 1 91m s 代入其它数据 有 5 6 水塔的水通过一条串连管路流出 要求输水量 Q 0 028 m 3 s 如图所 示 各管的管径和长度分别为 d1 0 2m l1 600m d2 0 15m l2 300m d3 0 18m l3 500m 各管的沿程水头损失系数相同 0 03 由于锈蚀 管 2 出现均匀泄漏 每米长度上的泄漏量为 q 总泄漏量为 Qt ql2 0 015m 3 s 试 求水塔的水位 H 解 不计局部水头损失 则有 现分别计算各管的沿程水头损失 对于管道 1 其流量应为 于是流速和水头损失分别为 管道 2 有泄漏 其右端的出口流量也为 Q 即 Q2 Q 0 028m 3 s 其沿程损失 管道 3 的流速和水头损失为 总的水头损失为 5 7 如图所示 两个底面直径分别为 D1 2m D2 1 5m 的圆柱形水箱用一条 长 l 8m 管径 d 0 1m 的管道连通 初始时刻 两水箱水面高差 h0 1 2m 在 水位差的作用下 水从左水箱流向右水箱 不计局部水头损失 而沿程水头损失 系数用光滑管的勃拉休斯公式计算 即 式中 水的运动粘性系数 试求水面高差从 h h0 1 2m 变为 h 0 所需的时间 T 解 设初始时刻 左 右水箱水位分别为 H1和 H2 水位差 h0 H1 H2 1 2m 某时刻 t 左 右水箱的水位分别为 h1和 h2 水位差 h h1 h2 显然 h 是时间 的函数 h h t 变水位出流问题仍使用定常公式进行计算 对两水箱的液面 应用伯努利方程 有 将已知量代入上式 得 水从左边流向右边 使左水箱水位下降 右水箱水位上升 根据连续性方程 有 将已知数据以及 V 的表达式代入上式 得 6 2 过热水蒸汽的温度为 430 压强为 5 106Pa 速度为 525m s 求水蒸汽的滞止参 数 解 所以 注 水蒸汽的气体参数为 6 3 滞止参数为 p0 4 10 5Pa T 0 380K 的过热蒸汽经收缩喷管流出 出口外部的背压为pe 1 5 10 5Pa 出口截面积 A 10 4m2 某截面面积为 A1 6 10 4m2 试确定这两个截面上的马赫数 Ma和Ma1 解 因此出口截面上的气流达临界状态 即 Ma 1 由上三式得到关于Ma1的代数方程 令x Ma1 则此方程为 用迭代法解 得到x 0 09775 和 3 2014 舍去 因此 6 4 空气从气罐经拉伐尔喷管流入背压为pe 0 981 10 5Pa 的大气中 气 罐中的气体压强为p0 7 10 5Pa 温度为 T 0 313K 已知拉伐尔喷管喉部的直径 为 d 25mm 试求 1 出口马赫数 Ma2 2 喷管的质量流量 3 喷管出 口截面的直径 d2 解 1 所以 2 由于出口马赫数大于 1 因此气流在喉部达临界状态 流量按下式计算 3 7 1 已知平面流动的速度分布 u x 2 2x 4y v 2xy 2y