范德蒙行列式及其应用.doc

范德蒙行列式及其应用字小了姓名一行单位，专业，学号等，一行摘要字体不对:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用. 关键词字体，字号:范德蒙行列式；逗号多项式；线性变换一 范德蒙行列式定义及性质1.范德蒙行列式的定义定义1 关于变元,的阶行列式 (1)后边都要用。叫做，的阶范德蒙行列式，记作（,）.2.我们用定理什么定理？证明范德蒙德行列式已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积 ，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=同样可得=（）()()此处是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得=（）()（）由以上的计算可以得出，符号？定理1 n阶范德蒙行列式（,）=().这里上下标号有问题。见上式，那里对。为啥不用标号？ 有这个结果立即得出 定理2 n阶范德蒙行列式为零的充分必要条件是,这n个数中至少有两个相等.二 范德蒙行列式的应用范德蒙行列式由于其独特的构造和优美的形式，而有着广泛的应用.下面将集中说明范德蒙行列式在行列式计算和证明及在微积分计算中的应用，并对范德蒙行列式在线性空间理论，线性变换理论，多项式理论中的应用作出探讨.1. 范德蒙行列式在多项式理论中的应用退二字。在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助.例1 证明一个n次多项式在至多有n个互异根.证 不妨设n0,如果 f(x)=有n+1个互异的零点,，则有=即 这个关于的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式=()0.因此，这个矛盾表明 ，f（x）至多有n个互异根.例2 设是数域F中互不相同的数，是数域F中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域F上次数小于的多项式，使.证明 ：设，有条件得，.知 因为互不相同，所以，方程组的系数行列式.则方程组有唯一解，即唯一解小于n的多项式，使得，使得.例 3 证明：对平面上n个点，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式通过该n个点，即.证明： 设，要使，即满足关于的线性方程组：，而该方程组的系数行列空出这么多？式为范德蒙行列式：.当互不相等时该行列式不为零，由Cramer定理知方程组有唯一解，即对平面上n个点，必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式通过该n个点.2. 范德蒙行列式在加“求”字？矩阵的特征值与特征向量中的应用例 4 A是3阶方阵，A有3个不同的特征值，对应的特征向量依次为令.证明：线性无关.证 =.缺少页码。线性无关，故有.由于，则，所以方程组只有零解，即线性无关.例 5 设是阶矩阵，证明的属于不同特征值的特征向量线性无关.证明：设是的两两不同的r个特征值，非零向量是其相应的特征向量，即，假设那么，即.由于其系数行列式，故，又于是，这证明了线性无关.3. 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用格式在向量空间理论中，我们常常会遇到需要用范德蒙行列式转化问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论.例。此处没有句号。6 设是互不相同的实数，证明向量组，i=1,2,n,n是n维向量空间的一组基.证 令.因为是互不相同的实数，所以，则线性无关.例 7 设V是数域F上的n维向量空间，任给正整数，则在V中存在m个向量，其中任取n个向量都线性无关.证明：因为，所以只需在中考虑即可.取，令，是范德蒙行列式，且，所以线性无关.例 8 设V是数域F上的n维向量空间，则V的有限个真子空间不能覆盖V.证明：当n=1时，显然成立.设n1时，令是V的一个基，设，其中，为F中元素之集合.令，为单位向量.则易证是双射，从而S中有无穷多个不同的元素.设为V的真子空间，则S中的元素在中的个数小于n,否则，若则由，知系数行列式为非零的范德蒙行列式，故有，进而矛盾.从而S中只有有限多个元素在中，而S中有无穷多个元素，所以存在，但即V的有限个真子空间不能覆盖其自身.以上各段都是，只有例子，没有提升，升华到理论。4. 范德蒙行列式在微积分中的应用如果视多项式为实函数，则范德蒙行列式还可以应用到微积分领域.什么时候用，怎么用？例 9 确定常数使得当x0时为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式.解：对的各项利用泰勒公式，有当时，若最高阶无穷小在6阶以上，则有方程组其系数行列式为范德蒙行列式，由于，故以为未知数的方程组只有零解：从而，这显然不合题意，故以下考虑当时最高阶无穷小为6阶的情形.令等价于此时为未知数的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式方程组有唯一一组依赖于的解：从而在的领域内的最高阶无穷小有下述形式的表达式.这个符号不用5.范德蒙行列式在行列式计算中的应用范德蒙行列式的标准规范形式是：前边有了，不要重复。根据范德蒙行列式的特点，我们可利用行列式的性质或拆项，升降等方法，将给定行列式转化为范德蒙行列式的形式，从而利用其结果，求出原行列式的值，恰当灵活的运用范德蒙行列式会大大简化某些复杂行列式的计算。常见的化法有以下几种：例10 计算 .解 将原n阶行列式升阶为一个n+1阶行列式.然后将此n+1阶行列式第一行乘以加到第i+1行可得=-=例11 计算解 本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第列依次与上行交换直至第1行，第行依次与上行交换直至第2行第2行依次与上行交换直至第行，于是共经过次行的交换得到阶范德蒙行列式： 若的第行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且中含有由个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将的第行（列）乘以-1加到第行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式：例12 计算解 将的第一行乘以-1加到第二行得：再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：例13 计算有错误！解 作阶行列式：=由所作行列式可知的系数为，而由上式可知的系数为：通过比较系数得：例14 设，计算行列式解 利用乘积变换法例15 计算行列式解 将升阶为下面的阶行列式即插入一行与一列，使是关于的阶范德蒙行列式，此处是变数，于是故是一个关于的次多项式，它可以写成另一方面，将按其第行展开，即得比较中关于的系数，即得例题罗列。没有高度，深度。这是总的评价。也是修改方向。不要空出这么多，不用另起一页。参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研组：高等代数 北京，高等教育出版社，1988；2 闫晓红 ，高等代数 （第三版），北京:中国时代经济出版社，20063 王萼芳，石生明，高等代数（第三版），北京:高等教育出版社20034 同济大学数学系.线性代数（第五版）.北京：高等教育出版社.2007（9）5 北大数学系编.王萼芳等修订.高等代数.第三版.北京:高等教育社.2003(2).6 张禾瑞，郝炳新.高等代数M.北京:高等教育出版社.19997 白述伟.高等代数选讲M.哈