高考数学大一轮复习第十一章统计与统计案例11_3变量间的相关关系统计案例课件理北师大版

11 3变量间的相关关系 统计案例 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 相关性 知识梳理 1 通常将变量所对应的点描出来 这些点就组成了变量之间的一个图 通常称这种图为变量之间的 2 从散点图上可以看出 如果变量之间存在着某种关系 这些点会有一个集中的大致趋势 这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似 这样近似的过程称为 3 若两个变量x和y的散点图中 所有点看上去都在一条直线附近波动 则称变量间是的 若所有点看上去都在某条曲线 不是一条直线 附近波动 则称此相关是的 如果所有的点在散点图中没有显示任何关系 则称变量间是的 散点图 曲线拟合 线性相关 非线性相关 不相关 2 线性回归方程 1 最小二乘法如果有n个点 x1 y1 x2 y2 xn yn 可以用 y1 a bx1 2 y2 a bx2 2 yn a bxn 2来刻画这些点与直线y a bx的接近程度 使得上式达到最小值的直线y a bx就是所要求的直线 这种方法称为最小二乘法 2 线性回归方程方程y bx a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 的线性回归方程 其中a b是待定参数 3 回归分析 1 定义 对具有的两个变量进行统计分析的一种常用方法 2 样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据 x1 y1 x2 y2 xn yn 中 称为样本点的中心 相关关系 3 相关系数 当r 0时 表明两个变量 当r 0时 表明两个变量 当r 0时 表明两个变量 r 值越接近于1 表明两个变量之间的线性相关程度 r 值越接近于0 表明两个变量之间的线性相关程度越低 正相关 负相关 线性不相关 越高 4 独立性检验 构造一个统计量 2 利用统计量 2来判断 两个分类变量有关系 的方法称为独立性检验 当 2 2 706时 没有充分的证据判定变量A B有关联 可以认为变量A B是没有关联的 当 2 2 706时 有90 的把握判定变量A B有关联 当 2 3 841时 有95 的把握判定变量A B有关联 当 2 6 635时 有99 的把握判定变量A B有关联 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 相关关系与函数关系都是一种确定性的关系 也是一种因果关系 2 名师出高徒 可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系 3 只有两个变量有相关关系 所得到的回归模型才有预测价值 4 某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x 之间的关系 得回归方程y 2 352x 147 767 则气温为2 时 一定可卖出143杯热饮 5 事件X Y关系越密切 则由观测数据计算得到的 2越大 6 由独立性检验可知 有99 的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关 某人数学成绩优秀 则他有99 的可能物理优秀 考点自测 1 2015 湖北 已知变量x和y满足关系y 0 1x 1 变量y与z正相关 下列结论中正确的是A x与y正相关 x与z负相关B x与y正相关 x与z正相关C x与y负相关 x与z负相关D x与y负相关 x与z正相关 答案 解析 因为y 0 1x 1 0 10 所以z 0 1bx b a 0 1b 0 所以x与z负相关 故选C 2 教材改编 下面是2 2列联表 答案 解析 A 94 72B 52 50C 52 74D 74 52 a 21 73 a 52 又a 22 b b 74 则表中a b的值分别为 3 2016 河南八市质检 为了研究某大型超市当天销售额与开业天数的关系 随机抽取了5天 其当天销售额与开业天数的数据如下表所示 答案 解析 A 67B 68C 68 3D 71 根据上表提供的数据 求得y关于x的线性回归方程为y 0 67x 54 9 由于表中有一个数据模糊看不清 请你推断出该数据的值为 设表中模糊看不清的数据为m 4 2016 西安模拟 某产品在某零售摊位的零售价x 单位 元 与每天的销售量y 单位 个 的统计资料如下表所示 答案 解析 由上表可得线性回归方程y bx a中的b 4 据此模型预测零售价为15元时 每天的销售量为A 51个B 50个C 49个D 48个 a 109 109 15 4 49 故选C 5 2016 玉溪一中月考 利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否有关系 通过查阅下表来确定 X和Y有关系 的可信度 为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系 现从某地网民中抽取100位居民进行调查 经过计算得 2 3 855 那么就有 的把握认为用电脑时间与视力下降有关系 答案 解析 根据表格发现3 855 3 841 3 841对应的是0 05 所以根据独立性检验原理可知有95 的把握认为用电脑时间与视力下降有关系 95 题型分类深度剖析 题型一相关关系的判断 例1 1 四名同学根据各自的样本数据研究变量x y之间的相关关系 并求得线性回归方程 分别得到以下四个结论 y与x负相关且y 2 347x 6 423 y与x负相关且y 3 476x 5 648 y与x正相关且y 5 437x 8 493 y与x正相关且y 4 326x 4 578 其中一定不正确的结论的序号是A B C D 答案 解析 由线性回归方程y bx a知当b 0时 y与x正相关 当b 0时 y与x负相关 一定错误 2 x和y的散点图如图所示 则下列说法中所有正确命题的序号为 答案 解析 显然正确 由散点图知 用y c1拟合的效果比用y bx a拟合的效果要好 故 正确 x y之间能建立线性回归方程 只不过预报精度不高 故 不正确 判定两个变量正 负相关性的方法 1 画散点图 点的分布从左下角到右上角 两个变量正相关 点的分布从左上角到右下角 两个变量负相关 2 相关系数 r 0时 正相关 r0时 正相关 b 0时 负相关 思维升华 跟踪训练1 1 在一组样本数据 x1 y1 x2 y2 xn yn n 2 x1 x2 xn不全相等 的散点图中 若所有样本点 xi yi i 1 2 n 都在直线y x 1上 则这组样本数据的样本相关系数为 所有点均在直线上 则样本相关系数最大 即为1 故选D 答案 解析 2 变量X与Y相对应的一组数据为 10 1 11 3 2 11 8 3 12 5 4 13 5 变量U与V相对应的一组数据为 10 5 11 3 4 11 8 3 12 5 2 13 1 r1表示变量Y与X之间的线性相关系数 r2表示变量V与U之间的线性相关系数 则A r2 r1 0B 0 r2 r1C r2 0 r1D r2 r1 对于变量Y与X而言 Y随X的增大而增大 故Y与X正相关 即r1 0 对于变量V与U而言 V随U的增大而减小 故V与U负相关 即r2 0 故选C 答案 解析 题型二线性回归分析 例2 2016 全国丙卷 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量 单位 亿吨 的折线图 1 由折线图看出 可用线性回归模型拟合y与t的关系 请用相关系数加以说明 注 年份代码17分别对应年份2008 2014 解答 由折线图中数据和附注中参考数据得 因为y与t的相关系数近似为0 99 说明y与t的线性相关程度相当高 从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系 40 17 4 9 32 2 89 2 建立y关于t的回归方程 系数精确到0 01 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量 附注 解答 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1 82亿吨 线性回归分析问题的类型及解题方法 1 求线性回归方程 利用公式 求出回归系数b a 待定系数法 利用回归直线过样本点的中心求系数 2 利用回归方程进行预测 把线性回归方程看作一次函数 求函数值 3 利用回归直线判断正 负相关 决定正相关还是负相关的是系数b 4 回归方程的拟合效果 可以利用相关系数判断 当 r 越趋近于1时 两变量的线性相关性越强 思维升华 跟踪训练2 2015 课标全国 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费x 单位 千元 对年销售量y 单位 t 和年利润z 单位 千元 的影响 对近8年的年宣传费xi和年销售量yi i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 解答 2 根据 1 的判断结果及表中数据 建立y关于x的回归方程 解答 3 已知这种产品的年利润z与x y的关系为z 0 2y x 根据 2 的结果回答下列问题 年宣传费x 49时 年销售量及年利润的预报值是多少 解答 由 2 知 当x 49时 年宣传费x为何值时 年利润的预报值最大 解答 根据 2 的结果知 年利润z的预报值 故年宣传费为46 24千元时 年利润的预报值最大 题型三独立性检验 例3 2016 福建厦门三中模拟 某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作的积极性和对待企业改革的态度的关系 随机抽取了100名员工进行调查 其中支持企业改革的调查者中 工作积极的有46人 工作一般的有35人 而不太赞成企业改革的调查者中 工作积极的有4人 工作一般的有15人 1 根据以上数据建立一个2 2列联表 解答 根据题设条件 得2 2列联表如下 2 对于人力资源部的研究项目 根据以上数据是否可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关系 解答 提出假设 企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关 根据 1 中的数据 可以求得 1 比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 通过计算 2的大小判断 2越大 两变量有关联的可能性越大 通过计算 ad bc 的大小判断 ad bc 越大 两变量有关联的可能性越大 2 独立性检验的一般步骤 根据样本数据制成2 2列联表 思维升华 比较 2与临界值的大小关系 作出统计推断 跟踪训练3 2016 衡阳联考 2016年9月20日是第28个全国爱牙日 为了迎接此节日 某地区卫生部门成立了调查小组 调查 常吃零食与患龋齿的关系 对该地区小学六年级800名学生进行检查 按患龋齿和不患龋齿分类 并汇总数据 不常吃零食且不患龋齿的学生有60名 常吃零食但不患龋齿的学生有100名 不常吃零食但患龋齿的学生有140名 1 能否在犯错误的概率不超过0 001的前提下 认为该地区学生常吃零食与患龋齿有关系 解答 由题意可得2 2列联表如下 根据2 2列联表中数据 得 能在犯错误的概率不超过0 001的前提下 认为该地区学生常吃零食与患龋齿有关系 2 4名卫生部门的工作人员随机分成两组 每组2人 一组负责数据收集 另一组负责数据处理 求工作人员甲分到收集数据组 工作人员乙分到处理数据组的概率 解答 设其他工作人员为丙和丁 4人分组的所有情况如下表 典例 12分 某地最近十年粮食需求量逐年上升 下表是部分统计数据 思想方法指导 规范解答 求线性回归方程的方法技巧 思想与方法系列24 1 利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y bx a 2 利用 1 中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法 主要解决 1 确定特定量之间是否有相关关系 如果有就找出它们之间贴近的数学表达式 2 根据一组统计数据 预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势 3 求出线性回归方程 返回 解 1 由所给数据看出 年需求量与年份之间近似直线上升 下面来求线性回归方程 先将数据处理如下表 由上述计算结果 知所求线性回归方程为 2 利用所求得的线性回归方程 可预测2016年的粮食需求量大约为6 5 2016 2010 260 2 6 5 6 260 2 299 2 万吨 12分 返回 y 257 6 5 x 2010 3 2 即y 6 5 x 2010 260 2 8分 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 2 2017 武汉质检 根据如下样本数据 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析 得到的回归方程为y bx a 则 A a 0 b 0B a 0 b0D a 0 b 0 作出散点图如右 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 观察图像可知 回归直线y bx a的斜率b 0 当x 0时 y a 0 故a 0 b 0 3 2017 泰安质检 为了普及环保知识 增强环保意识 某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试 统计得到成绩与专业的列联表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 附 参考公式及数据 2 独立性检验的临界值表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则下列说法正确的是A 有99 的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B 有99 的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C 有95 的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D 有95 的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 答案 解析 3 841 2 6 635 所以有95 的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 已知x与y之间的几组数据如下表 假设根据上表数据所得线性回归方程为y bx a 若某同学根据上表中的前两组数据 1 0 和 2 2 求得的直线方程为y b x a 则以下结论正确的是A b b a a B b b aa D b b a a 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 有甲 乙两个班级进行数学考试 按照大于等于85分为优秀 85分以下为非优秀统计成绩 得到如下所示的列联表 附 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 列联表中c的值为30 b的值为35B 列联表中c的值为15 b的值为50C 根据列联表中的数据 若按97 5 的可靠性要求 能认为 成绩与班级有关系 D 根据列联表中的数据 若按97 5 的可靠性要求 不能认为 成绩与班级有关系 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意知 成绩优秀的学生数是30 成绩非优秀的学生数是75 所以c 20 b 45 选项A B错误 根据列联表中的数据 因此有97 5 的把握认为 成绩与班级有关系 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 2016 合肥二模 某市居民2010 2014年家庭年平均收入x 单位 万元 与年平均支出y 单位 万元 的统计资料如下表所示 根据统计资料 居民家庭年平均收入的中位数是 家庭年平均收入与年平均支出有 相关关系 填 正 或 负 中位数是13 由相关性知识 根据统计资料可以看出 当年平均收入增多时 年平均支出也增多 因此两者之间具有正相关关系 答案 解析 13 正 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 以下四个命题 其中正确的序号是 从匀速传递的产品生产流水线上 质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测 这样的抽样是分层抽样 两个随机变量相关性越强 则相关系数的绝对值越接近于1 在线性回归方程y 0 2x 12中 当解释变量x每增加一个单位时 预报变量y平均增加0 2个单位 对分类变量X与Y的统计量 2来说 2越小 X与Y有关系 的把握程度越大 答案 解析 是系统抽样 对于 统计量 2越小 说明两个相关变量有关系的把握程度越小 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 2016 长春模拟 在一次考试中 5名学生的数学和物理成绩如下表 已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系 现已知其线性回归方程为y 0 36x a 则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为