数学：数列中由递推关系求数列的通项题型归类.doc

数列中由递推关系求数列的通项题型归类新教材明确指出：数列可以由其递推关系式及前几项给定。根据递推关系求解通项，除用计算-猜想-证明的思路外，通常还可以对某些递推关系式进行变换，从而转化成等差、等比数列或易于求出通项的数列的问题来解决。下面分类说明这些常见的递推关系的类型及其解法。1类型一： （其中d是常数）显然，由知是等差数列，则2类型二：（其中q是不为0的常数）显然，则知是等比数列，于是3类型三：，方法：叠加法例1、在数列中，且，求.解：由得， 由上面等式叠加得，故。4类型四：，方法：叠乘法例2、在数列中，且，求.解：由已知得，则有，这（）个等式叠乘得，则。5类型五：（其中p，q是常数，且）方法：参数法例3、已知数列满足，且，求.解：引入参数c，令，即，与已知比较知c=1，于是有，即数列1是以为首项，3为公比的等比数列，则，故6类型六：（1）若（其中k,b是常数，且）方法：升降足标法例4、在数列中，且满足，求. 解：，两式相减得，令，则，利用类型五的方法知，即，再利用类型三的方法知，；亦可联立、解出。（2）若（其中r是常数，且）方法：两边同乘例5、在数列中，且满足，求.解：将已知的两边同乘，得，令，则，利用类型五的方法知，则。7类型七：（其中p，q是不为0的常数）方法：倒数法例6、数列中，若，求. 解：，即数列是以为首项，为公差的等差数列，则，即。变式：若类型七变为的结构时，仍可使用倒数法。例7、在数列中，若，求.解：，令，则，利用类型五知，则。8类型八：（其中p，r为常数，且）方法：对数法例8、在数列中，若，求.解：由，知，对两边取以3为底的对数得，则数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即。9类型九：（其中p，q为常数，且）方法：转化法例9、数列中，若，且满足，求.解：把变形为，则数列是以为首项，3为公比的等比数列，则利用类型三的方法可得，。变式：若结构变为（其中p，q为常数，且满足）方法：待定系数法例10、已知数列满足，且，求.解：令，即，与已知比较，则有，故或下面我们取其中一组来运算（另一组同学们自己练习），即有，则数列是以为首项，3为公比的等比数列，故，即，利用类型六（2）的方法，可得。十类型十：递推关系由与的关系给出方法：运用互化解决例11、已知数列的前n项的和为，且满足，又，求.解：时，有，由，得即，亦即，故数列是以为首项，2为公差的等差数列，则故当时，显然上式对时不成立，则十一其它类型例12、数列中，求.解：由知，即有，故数列是以为首项，为公差的等差数列，从而，则评注：方法是配方法。例13、设数列是首项为1的正项数列，且满足，求.解：原递推式可以分解为由于，则有，故知，利用类型四的方法可解出。评注：方法是因式分解法。 例14、已知数列中，数列中，且当时，求，. 解：由于，两式相加得再由两式相减得，这表明数列是以为首项，为公比的等比数列，则联立、，解之得：，评注：方法是加减法。例15、已知数列中，（其中），求.解：由知，再由知，于是，则于是综上可知：当时， 当时，评注：方法是奇偶分类法。总之，由递推关系求数列的通项，核心是把