傅科摆的轨迹探究 肖洪 2014141221087.doc

傅科摆的轨迹探究论文傅科摆的轨迹探究肖洪 四川大学2014级物理学类力学研讨第十二小组组员：李清扬 向荣涛 李凌宇 宋茜茜 高竞 肖洪摘要傅科摆实验是证明地球自转的一个非常重要的实验，傅科摆运动方程的求解很烦琐，其运动轨道也非常复杂。本文首先对傅科摆的运动轨迹进行了理论分析，然后利用MATLAB软件对在不同初始条件下、以及处于不同纬度的傅科摆的运动轨迹进行了模拟和分析，理论分析和计算机模拟得到相同的结论：傅科摆的运动轨迹的形状与初始条件，与纬度无关；傅科摆的摆动平面的摆动速度由纬度决定，与初始条件无关。关键字傅科摆 理论分析 轨迹探究 matlab模拟1引言傅科摆实验是证明地球自转的一个非常重要的实验。1851年法国物理学家傅科在巴黎万圣殿内的拱顶上悬挂了一个摆长67m，摆锤质量为28kg的单摆，该单摆摆动周期约为16 s，实验发现该单摆平面绕竖直轴作顺时针转动(由上向下看)，转动周期约为32 h，这就是著名的傅科摆实验这个实验无需依赖地球以外的物体，就能直观地展示地球自转的存在，因此它可以很好地说明地球的自转本文对傅科摆的运动进行了理论分析，然后利用MATLAB软件对在各种初始条件下、以及处于不同纬度的傅科摆的运动轨迹进行了模拟和分析。2 傅科摆的轨迹理论分析1 建立坐标系如图：悬点处为原点O， X轴向南（i向量） Y轴向东（j向量） Z轴为球半径方向向外（k向量） 为地球角速度 为纬度2 列出动力学方程： 联立（1）（2）（3)（4)得: 得 联立解得微分方程：3 傅科摆轨迹的计算机模拟与分析3.1 程序的编写 rk43.m（龙格库塔算法：龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。）function x=rk43(t,x,h) K1=flight3(t,x); K2=flight3(t+h/2,x+h/2*K1); K3=flight3(t+h/2,x+h/2*K2); K4=flight3(t+h,x+h*K3); x=x+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); ndy.mfunction ndy(x)h=0.1;%选择步长t=200;%为运行时间可以改x=5,0,5,0;%给定的迭代数据初值n=fix(t/h);%对t/h取整% 主程序for i=1:nzhz3(:,i)=x;%将迭代值存入zhzx=rk43(h*i,x,h);%数据进行迭代endsave zhz3.txt -ascii zhz3;%将矩阵 zhz保存为zhz.txtplot(zhz3(1,:),zhz3(3,:),Linewidth,1)%画曲线title(曲线,FontSize,15);ylim(100 100);xlabel(x/m,FontSize,15),ylabel(y/m,FontSize,15)gridprint(gcf,-dtiff,曲线.jpg);%figure(2)plot(0:h:(n-1)*h,zhz3(1,:),Linewidth,1)%x随时间变化曲线title(x曲线,FontSize,15);xlabel(t/s,FontSize,15),ylabel(m,FontSize,15)gridprint(gcf,-dtiff,x曲线.jpg);%figure(3)plot(0:h:(n-1)*h,zhz3(3,:),Linewidth,1)%y随时间变化曲线title(y曲线,FontSize,15);xlabel(t/s,FontSize,15),ylabel(m,FontSize,15)gridprint(gcf,-dtiff,y曲线.jpg); flight3.m function Fl=flight3(,x) w=2*pi/100;%地球自转角速度，可改变参数g=9.8;l=67; ld=40/57.3;Fl(1)=x(2);Fl(2)=2*w*sin(ld)*x(4)-(g/l)*x(1);Fl(3)=x(4); Fl(4)=-2*w*sin(ld)*x(2)-(g/l)*x(3); 将以上三个程序编写成m文件，保存于同一目录下，点击运行即可的到t=200s内的运行图形，可更改不同参数得到不同情况下的图形。3.2 轨迹图形分析 由于地球自转角速度太小，不便于观察，故以下模拟均将角速度放大为 2*/100. 探究一 相同纬度不同初始条件纬度40 参数5 1 0 0 纬度40 参数5 5 0 0 纬度40 参数5 0 0 0 纬度40 参数5 0 5 0纬度40 参数5 0 0 1 纬度40 参数5 0 0 9由图可以看出：上图为相同纬度不同初始条件下的轨迹。不同初始条件下，傅科摆的运动轨迹不同。所以，傅科摆的运动轨迹的形状与初始条件有关。但各图反映出不同初始条件，摆动平面的摆动速度（可由200s内摆的周期基本不变，摆动幅度有变化看出）有变化，可见摆动平面的运动与初始条件无关。 探究二 相同初始条件，不同纬度纬度0 参数5 5 0 0 纬度10 参数5 5 0 0纬度20参数5 5 0 0 纬度30参数5 5 0 0纬度40参数5 5 0 0 纬度50参数5 5 0 0纬度60参数5 5 0 0 纬度70参数5 5 0 0纬度80参数5 5 0 0 纬度90参数5 5 0 0由图可以看出：相同初始条件、不同纬度傅科摆的运动轨迹是相同的，所以傅科摆的运动轨迹的形状与纬度无关。 三 探究地球自转角速度对轨迹的影响=0.0000729（为地球自转角速度）=0.000729=0.00729 =0.0729=0，729 =7.29对上图分析知地球自转角速度影响傅科摆的轨迹4 分析得出结论由以上图形分析知，傅科摆的轨迹受地球自转角速度影响最大，地球自转角速度越大，轨迹的偏转幅度越大，而初始条件，纬度等对轨迹偏转幅度影响不大。另：为了验证推导与模拟的正确性，由于实验室傅科摆周期较长，不便于观察，故以matlab模拟图形与巴黎傅科摆拟合，与巴黎傅科摆参数相印证。在巴黎地理位置北纬48度52分处，摆在200s内转动约12个周期，Y方向偏转约0.01m（r=1m），则一个大周期可偏转2/0.01=628个200s，用时200*628/3600=34.8889h，与巴黎傅科摆约31h相比较，在误差范围内。故推导正确。5