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装 订 线2010-2011学年第2学期教育学院期末考试卷数学简史 学号:200971010223 姓名: 刘博静 班级: 09级数学与应用数学二班 成绩：韩信点兵与中国剩余定理学号:200971010223 姓名: 刘博静 班级: 09级数学与应用数学二班摘要：在我国古代劳动人民中流传着 “秦王暗点兵”数学游戏，南北朝时期的数学著作孙子算经中记录着“物不知数”，其计算方法即：一次同余式解法。南宋时期的秦九韶提出了数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。中国古代数学的这一创造受到各国学者的瞩目，并在西方数学史著作中被称为“中国剩余定理”。关键词：韩信点兵；中国剩余定理；大衍求一术韩信点兵的故事在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：秦朝末年，楚汉相争。韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是，韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军向来信服自己的统帅，认为韩信“神机妙算”，于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步逼近，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。孙子定理的提出最早记叙上述数学问题的是南北朝时期的数学著作孙子算经。孙子算经卷下第二十六题是：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何?”用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被3除余2，被5除余3，被7除余2。孙子算经给出了这道题目的解法和答案， “答曰：二十三。”物不知数”题的术文指出解题的方法是：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是： N=703+218+1522105。 其中70、21、15和105这四个数是关键，明代著名的大数学家程大位，在他所著的算法统宗中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰孙子歌： 三人同行七十稀， 五树梅花一枝； 七子团圆正半月， 除百零五便得知。 这一首“孙子歌”甚至远渡重洋，输入日本。歌诀中的每一句话，都指出了一步解题方法： “三（3）人同行七十（70）稀”除以3所得的余数，要用“70”去乘它； “五（5）树梅花廿一（21）枝”除以5所得的余数，要用“21”去乘它； “七（7）子团圆正半月（15）”“半月”是一个月30天的一半，即15日，这是说，除以 7所得的余数，要用“ 15”去乘它； “除百零五（105）便得知”要把上面所乘得的三个数相加，加得的和如果大于105，便应减去105，或者减去105的倍数。运用这一歌诀来解答这道“物不知数”问题，即：270+321+215=140+63+30=233 233-105-105=23可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形，即： （中国剩余定理CRT）设m1,m2,.,mk是两两互素的正整数，即gcd(mi, mj) =1, ij, i,j = 1,2,.,k 则同余方程组： xb1 （mod m1） xb2 （mod m2） . xbk （mod mk) 模m1,m2,.,mk有唯一解，即在 m1,m2,.,mk的意义下，存在唯一的x,满足： xbi mod m1,m2,.,mk, i = 1,2,.,k秦九韶与“大衍求一术”从完整的计算程序和理论上解决这个问题的是南宋时期的数学家秦九韶（字道古，汉族，今山东曲阜人）。秦九韶在他的数书九章中提出了数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。秦九韶把一般的一次同余问题归结为满足条件的一组数K i叫“乘率”。 如果Gi=ai，秦九韶首先令ai除Gi，求得余数giGigi（mod ai） 于是kiGiKigi（mod ai）， 又因为kiGi1（mod ai）， 所以问题归结为求ki使适合kigi1（mod ai）。秦九韶把ai叫“定数”，gi叫“奇数”，他的“大衍求一术”， 秦九韶指出，当rn1而n是偶数的时候，最后得到的cn就是所求乘率ki。如果r11而n是奇数，那么把rn-1和rn相除，形式上令qn1rn-11，那么余数rn1仍旧是1，再作cn+1=qn+1Cn+Cn-1，这时n1是偶数，cn1就是所求的ki。不论哪种情形，最后一步都出现余数1，整个计算到此终止，秦九韶因此把他的方法叫做“求一术”（至于“大衍”的意思，秦九韶本人在数书九章序中把它和周易“大衍之数”相附会）。秦九韶在一个小方盘上，右上布置奇数g，右下布置定数a，左上置1（他叫它做“天元1”），然后在右行上下交互以少除多，所得商数和左上（或下）相乘并入左下（或上），直到右上方出现1为止。右边是一个数字例子。用现代语言解释，实际就是把奇数gi和定数ai辗转相除，相继得商数q1、q2、qn和余数r1、r2、rn，在辗转相除的时候，随即算出右列的c值。举例如右图。在实际问题中，模数ai并不总是两两互素的整数。秦九韶区分了“元数”（ai是整数）、“收数”（ai是小数）、“通数”（ai是分数）等不同情形，并且对每种情形给出了处理方法。“大衍总术”把“收数”和“通数”化成“元数”的情形来计算，而对于元数不两两互素的情形，给出了可靠的程序，适当选取那些元数的因子作定数而把问题归结为两两互素的情形。 “大衍求一术”似乎没有为他同时代的人所充分理解。明中叶以后几乎失传。一直到清代，“大衍求一术”又重新被发掘出来，引起了许多学者（张敦仁、李锐、骆腾凤、黄宗宪等）的兴趣。他们对“大衍求一术”进行了解释、改进和简化，其中黄宗宪求一术通解对模数非两两互素的情形给出了更加简明的方法，但是时代已是晚清。中国古代数学家对一次同余论的研究有明显的独创性和继承性，“大衍求一术”在世界数学史上的崇高地位是毋容置疑的，正因为这样，在西方数学史著作中，一直公正地称求解一次同余组的剩余定理为“中国剩余定理”。国外发展及对“大衍求一术”的评价在欧洲，最早接触一次同余式的，是和秦九韶同时代的意大利数学家裴波那契（11701250），他在算法之书中给出了两个一次同余问题，但是没有一般的算法。这两个问题从形式到数据都和孙子物不知数题相仿，整个水平没有超过孙子算经。直到十八、十九世纪，大数学家欧拉（17071783）于公元1743年、高斯（17771855）于公元1801年对一般一次同余式进行了详细研究，才重新获得和秦九韶“大衍求一术”相同的定理，并且对模数两两互素的情形给出了严格证明。公元1852年英国传教士伟烈亚力（18151887）发表中国科学摘记，介绍了孙子算经物不知数题和秦九韶的解法，引起了欧洲学者的重视。1876年，德国马蒂生（18301906）首先指出孙子问题的解法和西方世纪高斯算术探究中关于一次同余式组的解法完全一致。从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。当时德国著名数学史家康托（18291920）看到马蒂生的文章以后，高度评价了“大衍术”，并且称赞发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”。1973年，美国出版的一部数学史专著十三世纪的中国数学中，系统介绍了中国学者在一次同余论方面的成就，作者力勃雷希（比利时人）在评论秦九韶的贡献的时候说道：“秦九韶在不定分析方面的著作时代颇早，考虑到这一点，我们就会看到，萨顿称秦九韶为他那个民族、他那个时代、并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一，是毫不夸张的。” 印度学者对一次同余论也有过重要贡献。从公元六世纪到十二世纪，他们发展了一种称为“库塔卡”的算法，用来求解和一次同余式等价的不定方程组。印度数学家婆罗门笈多（七世纪）、摩柯吠罗（九世纪）等人的著作中，都有和物不知数题相同的一次同余问题。从孙子算经“物不知数”题到秦九韶的“大衍求一术”，我国古代数学家对一次同余式的研究，不仅在中国数学史上而且在世界数学史上占有光荣的地位。参考文献1 李俨，杜石然.中国古代数学简史M.北京市：中华书局,1963.210-216.2 张红.数学简史M.北京市：科学出版社,2007.158-162.3 徐品方.数学简明史M.北京市：学苑出版社, 1992.174-178.