2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.3几个三角恒等式讲义苏教版必修4.docx

3.3几个三角恒等式学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能代换公式(重点)2.能利用所学公式进行三角恒等变换(重点、难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、降幂公式sin2，cos2，tan2.思考：如何用cos 表示sin2，cos2？提示sin2；cos2.二、积化和差与和差化积公式1思考辨析(1)sin(AB)sin(AB)2sin Acos B()(2)cos(AB)cos(AB)2sin Acos B()(3)cos()cos()cos2 cos2 .()解析(1)正确(2)cos(AB)cos(AB)2sin Asin B.(3)cos()cos()(cos 2cos 2)答案(1)(2)(3)2若cos ，且，则cos _.，cos.3若tan 3，则cos _.tan29，cos .4若tan 1，则tan _.1tan ，tan2 2tan 10，解得tan 1.应用和差化积或积化和差求值【例1】求sin220cos250sin 20cos 50 的值思路点拨：先降幂，再和差化积，或积化和差求解解原式(sin 70sin 30)1(cos 100cos 40)sin 70(2sin 70sin 30)sin 70sin 70sin 70.套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.1已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值解cos cos ，2sinsin.又sin sin ，2cossin.sin0，由，得tan，即tan.sin().万能代换公式的应用【例2】设tan t，求证：(t1)思路点拨：利用万能代换公式，分别用t表示sin ，cos ，代入待证等式的左端即可证明证明由sin 及cos ，得1sin ，1sin cos ，故(t1)在万能代换公式中不论的哪种三角函数(包括sin 与cos )都可以表示成的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.2已知cos ，且180270，求tan.解180270，90135，tan0.由cos ，得，解得tan24.又tan0，tan2.f(x)asin2xbsin xcos xccos2x的性质探究问题1要研究上述f(x)的性质必须把f(x)化成什么形式？提示：把f(x)化成Asin(x)B的形式2在上述转化过程中，要用到哪些公式？提示：降幂公式：sin2，cos2.辅助角公式：asin bcos sin()，其中tan .【例3】求函数f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x，x的最小值，并求其单调减区间思路点拨：解f(x)52sin 2x32cos 2x2sin 2x343434sin34sin，x，2x.sin.当2x，即x时，f(x)取最小值为32.ysin在上单调递增，f(x)在上单调递减1(变结论)本例中，试求函数f(x)的对称轴方程解f(x)34sin，令2xk，kZ，得x，kZ.所以函数f(x)的对称轴方程为x，kZ.2(变条件)本例中，函数解析式变为f(x)sin2sin2(xR)，求f(x)的单调递减区间解f(x)sin 21cos 2212sin1，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，f(x)的单调递减区间为，kZ.1研究函数性质的一般步骤：(1)对函数式化简；(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质2对三角函数式化简的常用方法：(1)降幂化倍角；(2)升幂角减半；(3)利用f(x)asin xbcos xsin(x)，化为“一个角”的函数教师独具1本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用2要掌握三角恒等变换的三个应用(1)求值问题；(2)化简问题；(3)三角恒等式的证明3对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos 的值及相应的条件，便可求出sin ，cos ，tan .(3)由于tan及tan不含被开方数，且不涉及符号问题所以求解关于tan 的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2，cos2求解1已知tan ，则sin 2()A.BC.DDsin 2.2sin 37.5cos 7.5_.原式sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30).3化简：_.tan 20原式tan 20.4已知函数f(x)2cos2x2sin xcos x3，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在上的最小值与最大值解(1)