《数学建模入门》练习题 北石化版.doc

数学建模入门练习题 BIPT练习题1：发现新大陆！发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？(参考答案： 有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。) 练习题2：棋盘问题有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？练习题3：硬币游戏如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？ 答：首先将硬币放在长方形桌子的中心，然后根据对手所放的硬币，找一桌子中心为对称中心的位置，直至对方没有地方放硬币为止，由长方形的对称性，只有中心不存在对称位置，故先放者必定会赢。练习题4：高速问题 一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B 地，问他从 B 地回到 A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？答：模型假设：设AB相距S，B到A的速度为v，往返平均速度为v模型建立：A到B的时间为t1=s/30,B到A的时间为t2=s/v往返总时间为 t1+t2=s/30+s/v 平均速度为 v=2s/t1+t2=2s/(s/30+s/v)模型求解：令v=60,分析得，只有v趋于无穷大时，才能使v的极限值等于60练习题5：登山问题某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？答：假如我们换一种想法，把第二天的返回改成另一个人在同一时间由山顶开始下山，并且也在下午五点到达山下，这样，只要两人在途中相遇，该地点就是上山下山来回时刻相同的地点。练习题6：兄弟三人戴帽子问题 解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下： 兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。 只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！ (县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答吗？)答：县太爷共有7种带帽子的方法。练习题7：做出空间图形做出由曲面与相交的空间曲线和所围成的立体的图形。练习题8：之事，知多少？关于圆周率的事，你们知道多少？答：实际上=C/2R，式中圆的周长C是可以用圆内接正多边形的周长Pn来近似代替的，当圆内接正n边行的边数不断地成倍增大时，它的周长Pn就不断地增大，并且越来越接近圆的周长C，于是Pn/2R的值就越来越接近C/2R的值。练习题9：身高和年龄的关系你不认为“身高和年龄之间有关系吗？”请你们三个人分别按照每人从出生到现在每年的身高和对应的年龄记录下来（在你本人的宝宝成长纪念册中），制成表（注明：男生、女生，籍贯），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。891011121314151617181920王志响北京90cm95cm102cm110cm115cm121cm129cm140cm160cm170cm177cm177cm177cm张卓北京85cm90cm93cm99cm120cm153cm160cm163cm163cm163cm163cm163cm163cm张璐毅北京88cm92cm96cm101cm123cm150cm157cm159cm162cm162cm162cm162cm162cm练习题10：过三峡大坝请你说明船舶是如何从上游通过长江三峡大坝去下游的，又是如何从下游通过长江三峡大坝去上游的。 答： 上下游各有一个闸门，中间形成一个闭合河道AB 上游到下游，打开上游的闸门，使得AB段与上游的水位一样，船舶驶入，后关上上游闸门，打开下游闸门，使得AB段与下游水位一样，驶出，进入下游。 下游到上游，关闭闸门顺序相反。换句话说，船舶是如何通过长江三峡大坝的。 练习题11：你如何解释？首都博物馆里有一个展品是一个出土的石盒子容器（见下图），它的外侧表面的石刻画中，有一个佛的头像是一个方形的洞，这如何解释呢？答：仔细看那几个佛像的头部，好象和身体并不是一体雕刻成的，也就是说头部是单独雕刻然后安装上去的，那么这个洞就是安装佛头用的，现在这个佛头丢失了，就露出了这个洞。如果把其它几个佛像(特别是头部后面带圆圈的那几个佛像)的头也去悼，后现很可能也会有洞。练习题12：海盗分金币有五个海盗在海上抢得了100枚金币，上岸后他们要分赃。 他们五个人排了个顺序，第一个人先制定一个分配方案，如果第一个人的方案被通过并执行，此次分金币的事结束，如果第一个人的方案被否决，把第一个人杀掉。 100枚金币由其余的四个人分，再由第二个人制定一个分配方案，依次类推，直到金币被分完。 请你替第一个人制定一个合适的分配方案。（注：分配方案被通过是指同意的人数大于反对的人数，否则方案被否决。）答：1号海盗分给3号1枚金币，4号或5号2枚金币，自己则独得97枚金币，及分配方案为（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）理由：5号想前面的人都死光，就可以得到100枚金币。4号不管怎样都会被杀掉，所以4号支持3号。3号可以提出（100，0，0）来得到4号和自己的两票。2号可以提出（98，0，1，1）方案来得到三票。由于1号的分配方案是（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）对于3号与4号或5号来说，相比2号的方案可以获得更多的利益，那么他们将会投票支持1号，再加上1号自身的1票，97枚金币就可以轻松得到。练习题13：学会管理工作你的公司需要确定五名员工值一个月（30天）的班，每天只需要安排这五名员工中的二名值班。请你们安排一个公平、合理、科学的值班表。答：第一周：AB;BC;CD;DE;EA;AB;BC第二周：BC;CD;DE;EA;AB;BC;CD第三周：CD;DE;EA;AB;BC;CD;DE第四周：DE;EA;AB;BC;CD;DE;EA第五周：EA;AB.每个人一个月都值12天。练习题14：身高和鞋码的关系你不认为“身高和鞋码之间有关系吗？”请把你们三个班同学的身高和对应的鞋码记录下来，制成表（男生、女生分开），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。男生身高174177177175173171175173175177178175170178172172鞋码424443434241434243434443414441421801701881931751681651731751751761701681771851751734542464542404042424143414043444242女生身高165155156167163174155158163155170158162171158160鞋码3935373938403636373839373839363717016015016216516717239173637383939练习题15：近几年北京市空气质量好多了!你不认为“近几年北京市空气质量好多了吗？”请你们寻找近几年北京市空气质量的数据，并用得到的数据找出年份和对应的蓝天数之间的关系，用数学模型的方法表示出来。再用你们建立的数学模型预测今年、明年北京市空气质量(主要指蓝天数)。再用你们建立的数学模型预测一下，到那年北京市空气质量全达标(主要指蓝天数等于全年的天数)。练习题16：为什么要更改名字？我校为了庆祝建校30周年，在校园内立了几个雕塑，其中一个（见下图）刚立时名字叫“麦比乌斯环”，可是过了一段时间后就把名字改了，为什么要更改名字呢？答：麦比乌斯环有三个特征，一、麦比乌斯环只存在一个面。 二、如果沿着麦比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环，而不是形成两个麦比乌斯环或两个其它形式的环。 三生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。与图中雕塑不符。故要换名。练习题17：学习查资料请你们查找历年全国大学生数学建模竞赛的题目并制成一张表。请你们查找历年参加全国大学生数学建模竞赛的学校数和队数并制成一张表。请你们查找我校历年参加全国大学生数学建模竞赛的队数和获奖情况并制成一张表。练习题18：典型的数学建模例子请你们阐述一下数学模型的概念，并提供一个在你们的专业课学习中遇到的“典型的数学建模例子”。答：概念：根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法。用以描述和研究客观现象的运动规律。典型例子：如图，用一水平力F使质量为m的物体静止于倾角为的斜面，已知斜面对物体的最大静摩擦力为他们接触面间压力的倍，求水平力F的大小。分析：物体恰向上滑，受力如图b，恰向下滑，受力如图c, 不论向上还是向下，物体与斜面间的压力都为 N=mgcos+Fsin要想物体不上滑：Fcos mgsin求解：Fmg练习题19：椅子能在不平的地面上放稳吗？考虑椅子的四脚呈长方形的情形。答：记四边形四顶点为ABCD,对角线交点为O,当凳子放在地面时最少有三只脚与地面接触,以O为转轴,AC初始位置为极轴,当AC转过角时,记A,C两点与地面距离之和为f(),BD两点与地面距离之和g(),由于任意位置都有三只脚与地面接触,所以总有f()*g()=0,记F()=f()-g(),显然F()是连续的,对于初始位置,不妨设f(0)=0,g(0)0,那么F(0)=-g(0).当凳子从D点转到A点时,由对称性知g()=f(0)=0,所以f()0,那么F()=f()0所以F()*F(0)=-g(0)*f()0,由连续函数介值定理知在0,上最少有一点使得F(x)=0,即f(x)=g(x)=0,所以长方形凳子总能放稳练习题20：商人们怎样安全过河？四名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢?答：模型构成：记第k次渡河前此岸的商人数为Xk，随从书为Yk（k=1，2）Xk，Yk=0，1，2，3.将二维向量Sk=（Xk，Yk）定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S。不难写出S=(X,Y)|X=0,Y=0,1,2,3;X=3,Y=0,1,2,3;X=Y=1,2记第 k 次渡船上的商人数为Uk，随从数为Vk 将二维向量dk=(Uk,Vk) 定义为决策.允许决策集合记作D，由小船的容量可知D=(U,V)|U+V=1,2.因为 k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船由彼岸驶回此岸(见下表)此岸彼岸S1=(3,3)(0,0)S2=(3,1)(0,2)S3=(3,2)(0,1)S4=(3,0)(0,3)S5=(3,1)(0,2)S6=(1,1)(2,2)S7=(2,2)(1,1)S8=(0,2)(3,1)S9=(0,3)(3,2)S10=(0,1)(3,2)S11=(0,2)(3,1)S12=(0,0)(3,3)练习题21：学习检验问题在第