2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第40讲曲线和方程(轨迹问题)(文).ppt

第四十讲曲线和方程 轨迹问题 文 回归课本1 曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中 如果某曲线C 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 纯粹性 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 完备性 那么 这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫做方程的曲线 图形 2 求曲线的方程的一般方法 五步法 求曲线 图形 的方程 一般有下面几个步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对例如 x y 表示曲线上任意一点M的坐标 2 写出适合条件p的点M的集合P M p M 3 用坐标表示条件p M 列出方程f x y 0 4 化方程f x y 0为最简形式 5 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 3 直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 这些条件简单明确 易于表述成含x y的等式 就得到轨迹方程 这种方法称之为直接法 用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点 列式 代换 化简 证明五个步骤 但最后的证明可以省略 4 定义法 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程 或从曲线定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 5 代入法 动点所满足的条件不易表述或求出 但形成轨迹的动点P x y 却随另一动点Q x y 的运动而有规律的运动 且动点Q的轨迹为给定或容易求得 则可先将x y 表示为关于x y的式子 再代入Q的轨迹方程 然后整理得P的轨迹方程 代入法也称相关点法 6 参数法 求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标 纵坐标之间的关系 则可借助中间变量 参数 使x y之间建立起联系 然后再从所求式子中消去参数 得出动点的轨迹方程 7 几何法 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质 发现动点运动规律和动点满足的条件 然后得出动点的轨迹方程 8 交轨法 求两动曲线交点轨迹时 可由方程直接消去参数 例如求两动直线的交点时常用此法 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系 然后消去参数得到轨迹方程 考点陪练1 曲线C上的点的坐标满足方程f x y 0 是正确的 则下列命题中正确的是 A f x y 0表示的曲线是CB 坐标满足f x y 0的点都在曲线C上C 曲线C的方程是f x y 0D 曲线C是方程f x y 0所表示的曲线的一部分或全部解析 通过本例可看出 一个方程称作曲线的方程或一条曲线称作方程的曲线 必须同时满足如下两个条件 1 曲线上点的坐标必须都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 答案 D 答案 C 3 动点A B在直线x 1上移动 设P 4 0 APB 60 则 APB的外心的轨迹是 A 直线B 椭圆C 双曲线D 抛物线答案 C 4 2010 湖南师大附中高三模拟 在正方体ABCD A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线AA1和BC的距离相等 则动点P的轨迹是 A 线段B 抛物线的一部分C 双曲线的一部分D 椭圆的一部分解析 在平面ABB1A1内点P到BC的距离实际就是点P到点B的距离 这样问题转化为求平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹 故选B 答案 B 5 到两定点的距离之比等于常数k k 0 的点的轨迹是 A 椭圆B 抛物线C 圆D 直线或圆答案 D 类型一对曲线与方程概念的理解解题准备 1 1 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点 也就是说曲线上所有点适合这个条件而毫无例外 纯粹性 2 以方程的解为坐标的点都在曲线上 阐明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 完备性 3 由 1 2 两个条件可知 曲线的点集与方程的解集之间是一一对应的 2 判断曲线与方程的对应关系有两种方法 等价转化和赋值讨论 它们使用的依据是曲线的纯粹性和完备性 因此 处理 曲线与方程 的概念题 可采用直接法 也可采用赋值法 典例1 如果命题 坐标满足方程F x y 0的点都在曲线C上 不正确 那么 以下正确的的命题是 A 曲线C上的点的坐标都满足方程F x y 0B 坐标满足方程F x y 0的点有些在曲线C上 有些不在曲线C上C 坐标满足方程F x y 0的点都不在曲线C上D 一定有不在曲线C上的点 并且其坐标满足方程F x y 0 答案 D 探究1 过点P 0 2 且平行于x轴的直线l与方程 y 2所表示的曲线间的关系是 解析 如下图 过P 0 2 且平行于x轴的直线l的方程为y 2 显然 直线l上任一点 x y 都满足 y 2 但以 y 2的解为坐标的点却不一定在直线l上 如 0 2 适合方程 y 2但不在l上 l只是方程 y 2所表示曲线的一部分 答案 l是方程 y 2所表示曲线的一部分 点评 一个方程称作曲线的方程或一条曲线称作方程的曲线 必须同时满足如下两个条件 曲线上的点的坐标都必须是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 本例只满足 不满足 所以l不能作方程 y 2的曲线 类型二用直接法求轨迹解题准备 1 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系 或这些几何条件简单明了且易于表达 我们只需把这种关系 翻译 成含x y的等式就得到曲线的轨迹方程 由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤 也不需要特殊的技巧 所以称之为直接法 2 当题目中的条件有明显的等量关系 或者可以利用平面几何知识推出等量关系时 求方程可用直接法 典例2 ABC的顶点A固定 点A的对边BC的长是2a 边BC上的高为b 边BC沿一条定直线移动 求 ABC的外心的轨迹方程 解析 如图 以BC所在的直线为x轴 过点A作x轴的垂线为y轴 建立直角坐标系 则A点的坐标为 0 b 设 ABC的外心为M x y 作MN BC于点N 则MN是BC的垂直平分线 BC 2a BN a MN y 探究2 设直线y ax b与双曲线3x2 y2 1交于A B两点 以AB为直径的圆过原点 求点P a b 的轨迹方程 点评 如果题目中的条件有明显的等量关系 或者可利用平面几何知识推出等量关系 求方程可以用直接法 如本题中 OA OB推出x1x2 y1y2 0 从而利用根与系数的关系建立方程 类型三定义法求轨迹方程解题准备 1 若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义 则可根据定义直接求出动点的轨迹方程 2 用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义 如椭圆 双曲线 抛物线 圆等 灵活应用定义 典例3 已知圆C1 x 3 2 y2 1和圆C2 x 3 2 y2 9 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切 求动圆圆心M的轨迹方程 解析 如图 设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B 根据两圆外切的充要条件 得 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB MA MB MC1 AC1 MC2 BC2 即 MC2 MC1 BC2 AC1 3 1 2 点评 当题设条件符合椭圆 双曲线 抛物线的定义时 可直接写方程 类型四用相关点法 代入法 求轨迹方程解题准备 1 有些问题中 其动点满足的条件不便用等式列出 但动点是随着另一动点 称之为相关点 的运动而运动的 如果相关点所满足的条件是明显的 或是可分析的 这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标 根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法叫做相关点法或坐标代换法 2 用相关点法 代入法 求轨迹的关键是寻找关系式 x f x y y g x y 然后代入已知曲线 而求对称曲线 轴对称 中心对称等 的方程实质上也是用代入法 相关点法 解题 典例4 自双曲线x2 y2 1上一动点Q引直线x y 2的垂线 垂足为M 求线段QM中点的轨迹方程 探究4 M是抛物线y2 x上一动点 以OM为一边 O为原点 作正方形MNPO 求动点P的轨迹方程 点评 体会相关点求轨迹方程的实质 就是用所求动点P的坐标表达式 即含有x y的表达式 表示已知动点M的坐标 x0 y0 即得到x0 f x y y0 g x y 再将x0 y0的表达式代入点M的方程F x0 y0 0中 即得所求 类型五用参数法求轨迹方程解题准备 1 有时求动点应满足的几何条件不易得出 也无明显的相关点 但却较易发现 或经分析可发现 这个动点的运动常常受到另一个变量 角度 斜率 比值 截距或时间等 的制约 即动点坐标 x y 中的x y分别随另一变量的变化而变化 我们可称这个变量为参数 建立轨迹的参数方程 这种方法叫参数法 如果需要得到轨迹的普通方程 只要消去参数即可 2 在选择参数时 选用的参变量可以具有某种物理或几何的性质 如时间 速度 距离 角度 有向线段的数量 直线的斜率 点的横 纵坐标等 也可以没有具体的意义 选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 3 求轨迹方程与求轨迹是有不同要求的 若是求轨迹则不仅要求出方程 而且还需说明和讨论所求轨迹是什么样的图形 位置如何等 典例5 过抛物线y2 2px p 0 的顶点O作两条互相垂直的弦OA OB 再以OA OB为邻边作矩形AOBM 如图 求点M的轨迹方程 探究5 过抛物线y2 4x的顶点作两条相互垂直的弦OA OB 以OA OB为直径各作一圆 求两圆的另一个交点P的轨迹方程 分析 求出OA OB的方程分别与抛物线联立得解 类型六用交轨法求轨迹方程解题准备 1 在求动点轨迹时 有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题 此类问题常常通过方程组得出交点 含参数 的坐标 再消去参数求出所求轨迹的方程 该法经常与参数法并用 2 无论用哪种方法求轨迹方程 都应注意轨迹方程的完备性与纯粹性 求出的轨迹方程中若有的解不合轨迹条件 从而使轨迹图形上有不合轨迹条件的点存在 则该方程及其曲线不满足纯粹性 求出的轨迹方程所表示的曲线若不是所有适合条件的点的集合 即曲线之外还有适合条件的点存在 则该方程及其曲线不满足完备性 求解轨迹问题时要避免轨迹方程不满足纯粹性和完备性的错误 典例6 分析 点P是A1M与A2N的交点 故可写出A1M A2N的方程 求其交点 由 消去参数t得x2 y2 2x 2y 8 0 当t 2时 PA的方程为x 2QB的方程为3x y 2 0 此时的交点为M 2 4 当t 1时 QB的方程为x 0PA的方程为3x y 4 0 此时的交点为M 0 4 经验证 点 2 4 和 0 4 均满足方程 故点M的轨迹方程为x2 y2 2