【优化方案】2013届高考数学(文)一轮复习课件(苏教版)：2.10 导数与函数的单调性、极值和最值.ppt

第10课时导数与函数的单调性 极值和最值 第二章基本初等函数 导数及其应用 基础梳理1 函数的单调性与导数 思考探究1 若函数f x 在区间 a b 内单调递增 则f x 0 这种说法是否正确 提示 不正确 函数f x 在区间 a b 内单调递增 则f x 0 此处f x 0 并不是指x在 a b 内处处有f x 0 可能只在某些具体的点处f x 0 即f x 不恒等于0 2 函数的极值 1 函数的极值的概念 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点 极大值点统称为 极大值和极小值统称为 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 2 求函数极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 检查方程根左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取 如果左负右正 那么f x 在这个根处取 极大值 极小值 思考探究2 方程f x 0的根就是函数y f x 的极值点是否正确 提示 不正确 方程f x 0的根未必都是极值点 3 函数的最大值与最小值在闭区间 a b 上连续 在 a b 内可导 f x 在 a b 上求最大值与最小值的步骤 1 求f x 在 a b 内的 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 极值 最大值 最小值 4 生活中的优化问题利用导数解决实际问题中的最值问题应注意 1 在求实际问题中的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 不符合实际问题的值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 那么不与端点值比较 也可知道这就是最大 小 值 3 在解决实际优化问题时 不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示 还应确定函数关系式中自变量的定义区间 课前热身1 函数f x x lnx的单调减区间是 答案 0 1 2 函数y 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值 最小值分别是 答案 5 15 3 2011 高考广东卷 函数f x x3 3x2 1在x 处取得极小值 解析 由f x 3x2 6x 3x x 2 当x 0 2 时 f x 0 故f x 在 0 和 2 上为增函数 当x 2时 函数f x 取得极小值 答案 2 4 函数y ax3 x在 上是减函数 则a的取值范围是 答案 0 考点1导数与函数的单调性利用导数判断函数单调性的步骤 1 求导数f x 2 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0或f x 0 3 根据 2 的结果确定函数f x 的单调区间 思路分析 1 求f x 及f 2 2 求f x 转化为研究二次函数的问题 对a分类讨论 名师点评 常见的分类讨论原因有函数的类型不确定及求的根大小不确定等 与求导后所得的函数类型有关 讨论的关键是要理清线索 做到不重不漏 备选例题 教师用书独具 变式训练1 1 若函数f x 3x3 ax2 x 5在区间 1 2 上单调递增 则a的取值范围是 答案 5 2 若函数f x 3x3 2x2 1在 m 0 上为减函数 则m的取值范围是 考点2导数与函数的极 最 值利用导数求函数极 最 值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 4 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 思路分析 先求出函数f x 的导函数f x 再令导函数f x 0 并求出其根 然后对a分a 0 a 0两种情况 列表讨论f x 与f x 的变化情况 最后由f x 与f x 的变化情况确定出函数的极值 名师点评 本题是三次函数的极值点问题 三次函数求导后 导函数为二次函数 因而讨论时可结合二次函数的知识 尤其是应用二次函数的图象来研究 备选例题 教师用书独具 2012 淮安调研 已知t为常数 函数f x x3 3x t 1 在区间 2 1 上的最大值为2 则实数t 解析 令g x x3 3x t 1 则g x 3x2 3 0 得x 1或1 所以g x 在 2 1 上单调递增 在 1 1 上单调递减 则f x 在 2 1 的最大值为f 1 t 1 或f 1 3 t 或f 2 t 1 当 t 1 2时 t 1或 3 当 3 t 2时 t 1或5 经检验得t 1 答案 1 变式训练2 函数f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 既有极大值又有极小值 则a的取值范围是 解析 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 f x 3x2 6ax 3 a 2 f x 既有极大值又有极小值 f x 0有两个不相等的实数根 36a2 36 a 2 0 即a2 a 2 0 a 2或a2或a 1 考点3导数与不等式 名师点评 导数与不等式结合的题目要注意转化与化归思想及分类讨论思想的综合运用 分类讨论时要做到不重不漏 变式训练3 已知函数f x x 1 lnx x 1 1 若xf x x2 ax 1 求a的取值范围 2 证明 x 1 f x 0 考点4导数在实际问题中的应用 1 分析实际问题中各变量之间的关系 建立实际问题的数学模型 写出相应的函数关系式y f x 2 求导数f x 解方程f x 0 3 判断使f x 0的点是极大值还是极小值点 4 确定函数的最大值或最小值 还原到实际问题中作答 一般地 对于实际问题 若函数在给定的定义域内只有一个极值点 那么该点也是最值点 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 从而f x 30 x 4 x 6 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表可知x 4是f x 在 3 6 上的极大值点也就是最大值点 当x 4时 f x 取得最大值等于42 即当销售价为4元 千克时 每日销售该商品所获利润最大 名师点评 实际应用问题中的导数模型 主要是利用导数求最值 一旦在题中建立了函数关系 就转化成了函数求导问题 因而准确建立函数关系是解题的关键 变式训练4 如图 某地有三家工厂 分别位于矩形ABCD的两个顶点A B及CD的中点P处 AB 20km BC 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在该矩形区域上 含边界 且与A B等距离的一点O处 建造一个污水处理厂 并铺设三条排污管道AO BO PO 设排污管道的总长度为ykm 1 按下列要求建立函数关系 设 BAO rad 将y表示为 的函数 设PO x km 将y表示成x的函数 2 请你选用 1 中的一个函数关系 确定污水处理厂的位置 使铺设的排污管道的总长度最短 方法技巧1 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便 但应注意f x 0 或f x 0 仅是f x 在某个区间上为增函数 或减函数 的充分条件 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这就是说 函数f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f x0 0 甚至可以在无穷多个点处f x0 0 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 因此 在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立理论求解 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 2 证明不等式f x g x 通常转化为证明F x f x g x 0 也就是证明F x min 0 因此可利用导数求F x min 3 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的 函数的极值可以有多有少 但最值只有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值可能成为最值 最值只要不在端点必定是极值 失误防范1 利用导数求解函数的单调区间时 忽视定义域常造成单调区间错误 2 在已知函数的单调性求某些字母的取值范围时 常转化为f x 0或f x 0恒成立的问题 此处易忘掉对 的考虑 即问题考虑不严谨 3 有关函数f x 与f x 的图象 在判断时 f x 的符号反映f x 的单调性 易错认为f x 的图象的单调趋向就是f x 的单调趋向 命题预测1 高考试题对本节知识的考查主要有三种形式 其一是利用导数来研究不含参数的函数性质 其二是利用导数研究含参数的函数的性质 其三是利用导数来研究实际应用问题中的函数 2 热点预测 2013年高考对本节知识的考查可能仍将突出导数的工具性 重点考查利用导数研究函数极值 最值及单调性等问题 其中蕴含对转化与化归 分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查 3 趋势分析 在2013年高考中应关注导数方法在实际应用题中的应用 典例透析 2011 高考江苏卷 在平面直角