概率论与数理统计.doc

习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A，B满足关系,则下列表述正确的是( ). (A) 若A发生, 则B必发生. (B) A , B同时发生. (C) 若A发生, 则B必不发生. (D) 若A不发生，则B一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件表示( ).(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B表示“甲种商品畅销”，C表示“乙种商品滞销”，根据公式, 本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色;(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) 黑球,白球； (2) 黑黑,黑白,白黑,白白； (3) 0,1,2；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n件不合格品，则样本空间为.3. 设A, B, C是三个随机事件, 试以A, B, C的运算关系来表示下列各事件：(1) 仅有A发生；(2) A, B, C中至少有一个发生;(3) A, B, C中恰有一个发生;(4) A, B, C中最多有一个发生;(5) A, B, C都不发生;(6) A不发生, B, C中至少有一个发生. 解 (1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) ; (6) .4. 事件Ai表示某射手第i次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：(1) A1A2; (2) A1A2A3; (3); (4) A2A3; (5)； (6).解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A). (B).(C). (D). 解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件. (C) AB未必是不可能事件. (D) P(A)=0或P(B)=0.解 本题答案应选(C). 2. 设P(AB)=P(), 且P(A)p，求P(B). 解 因 ,故. 于是3. 已知, 求. 解 由公式知. 于是4. 设A, B为随机事件, 求.解 由公式可知,. 于是.5. 设A, B是两个事件, 且, .问:(1) 在什么条件下取到最大值, 最大值是多少？(2) 在什么条件下取到最小值, 最小值是多少？解 =1.3.(1) 如果, 即当时, =0.7, 则有最大值是0.6 .(2) 如果=1，或者时, 有最小值是0.3 .6. 已知, , 求A, B, C全不发生的概率.解 因为,所以=0, 即有=0.由概率一般加法公式得 由对立事件的概率性质知A ,B, C全不发生的概率是.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( ) (A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为, 没有一等品的概率为, 将两者加起即为0.7. 答案为（D）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是; (3 )至少有1件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是+; (5) 至少有2件次品的概率是+.3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是白球的概率是;(2) 两球中一黑一白的概率是;(3) 至少有一个黑球的概率是1.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于;(2) 两数之积小于;(3)以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于的概率.解 设X, Y为所取的两个数, 则样本空间S = (X, Y)|0X, Y1.,(1) PX+Y=;(2) PXY=;(3) PX+Y, XY=0.593.(4) 解 设x, y为所取的两个数, 则样本空间 = (x, y)|0x, y1, 记A = (x, y)|(x, y)S, |x-y|0, P(B)0, 则下列关系成立的是( ). (A)A, B相互独立. (B)A, B不相互独立. (C)A, B互为对立事件. (D)A, B不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A与B独立, 则下面的说法中错误的是( ). (A) 与独立. (B) 与独立.(C) . (D) A与B一定互斥. 解 因事件A与B独立, 故,A与及与B也相互独立. 因此本题应选(D).(3) 设事件A与 B相互独立, 且0P(B)1, 则下列说法错误的是( ). (A) . (B) .(C) A与B一定互斥. (D) .解 因事件A与B独立, 故也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2设A, B是任意两个事件, 其中A的概率不等于0和1, 证明P(B|A)=是事件A与B独立的充分必要条件.证 由于的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A与B独立, 知事件与B也独立, 因此,从而 .必要性. 已知, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到,移项得 化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此A和B独立.3. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件：, 且,求.解 根据一般加法公式有.由题设可知 A, B和C 两两相互独立, , 因此有 从而,于是或, 再根据题设, 故.4 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为p(0p0为未知参数, 又为来自总体X的样本, 则的矩估计量是( ) . (A) . (B) . (C) . (D) .解 选(B).2. 设总体X的分布律为X-215P其中00.25为未知参数, X1, X2, , Xn为来自总体X的样本, 试求的矩估计量. 解 因为E(X)=(-2)3+1(1-4)+5=1-5, 令得到的矩估计量为.3. 设总体的概率密度为其中-1是未知参数, X1,X2,Xn 是来自的容量为n的简单随机样本, 求: (1) 的矩估计量；(2) 的极大似然估计量.解 总体 X 的数学期望为.令, 即, 得参数的矩估计量为.设x1, x2, x n是相应于样本X1, X 2, , X n的一组观测值, 则似然函数为当0xi0且 ,令 =0, 得的极大似然估计值为 ,而的极大似然估计量为 .4. 设总体服从参数为的指数分布, 即的概率密度为其中为未知参数, X1, X2, , Xn为来自总体X的样本, 试求未知参数的矩估计量与极大似然估计量. 解 因为E(X)= =, 所以的矩估计量为. 设x1, x2, x n是相应于样本X1, X 2, ,X n的一组观测值, 则似然函数,取对数 .令 得的极大似然估计值为,的极大似然估计量为.5. 设总体的概率密度为其中（01）是未知参数. X1, X2, , Xn为来自总体的简单随机样本, 记N为样本值中小于1的个数. 求: (1) 的矩估计量; (2) 的极大似然估计量. 解 (1) , 所以. (2) 设样本按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下关系:x(1) x(2) x(N) 1 x(N+1) x(N+2)x(n) .似然函数为考虑似然函数非零部分, 得到ln L( ) = N ln + (n N) ln(1 ),令, 解得的极大似然估计值为.习题7-21. 选择题: 设总体的均值与方差都存在但未知, 而为的样本, 则无论总体服从什么分布, ( )是和的无偏估计量.(A) 和. (B) 和.(C) 和. (D) 和.解 选(D).2. 若,为来自总体的样本, 且为的无偏估计量, 问等于多少?解 要求, 解之, k=.3. 设总体的均值为0, 方差存在但未知, 又为来自总体的样本, 试证：为的无偏估计. 证 因为,所以为的无偏估计.习题7-31. 选择题(1) 总体未知参数的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值. (C) 未知参数有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数的真值.解 选(D).(2) 对于置信水平1-(01), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大.(B) 如果越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低.(C) 如果1-越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低.(D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-越小.解 选（C）习题7-41. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试, 取得数据如下(单位:小时):1050, 1100, 1080, 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200设灯泡寿命服从正态分布N(, 902), 取置信度为0.95, 试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间. 解 计算得到 2 =902. 对于 = 0.05, 查表可得.所求置信区间为2. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为元, 样本标准差元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间. 解 计算可得 s2 =282.对于 = 0.05, 查表可得.所求的置信区间为=(96.045, 113.955).3. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8支为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为18.6毫克, 样本标准差s=2.4毫克. 试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间解 已知n=8, s2 =2.42, = 0.01, 查表可得, , 所以方差 2的置信区间为=(1.988, 40.768).4. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样本:X1,X2,X12及Y1,Y2,Y17, 算出. 假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 其均值分别为. 又设两总体方差. 求置信水平为0.95的置信区间, 并说明该置信区间的实际意义. 解 由题设所求置信区间为=(-0.40,2.60).结论“的置信水平为0.95 的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际意义是：在两总体方差相等时, 第一个正态总体的均值比第二个正态总体均值大-0.402.60，此结论的可靠性达到95%.5. 某商场为了了解居民对某种商品的需求, 调查了100户, 得出每户月平均需求量为10公斤, 方差为9 . 如果这种商品供应10000户, 取置信水平为0.99.(1) 取置信度为0.99,试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计;(2) 问最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需要？解 (1) 每户居民的需求量的置信区间为10000户居民对此种商品月需求量的置信度为0.99的置信区间为(92275,107725)；（2）最少要准备92275公斤商品才能以99%的概率满足需要.习题6-11. 若总体, 从总体X中抽出样本X1, X2, 问3X1-2X2服从什么分布?解 3X1-2X2N(2, 117).2. 设X1, X2, , Xn是取自参数为p的两点分布的总体X的样本, 问X1, X2, , Xn的联合分布是什么?解 因为总体X的分布律为PX=k= pk(1-p)1-k, k=0,1,所以样本X1, X2, , Xn的联合分布为习题6-21. 选择题 (1) 下面关于统计量的说法不正确的是( ).(A) 统计量与总体同分布. (B) 统计量是随机变量. (C) 统计量是样本的函数. (D) 统计量不含未知参数. 解 选(A).(2) 已知X1,X2,Xn是来自总体的样本, 则下列关系中正确的是( ).(A) (B) (C) (D) 解 选(C).(3) 设随机变量X与Y都服从标准正态分布, 则( ).(A)X+Y服从正态分布. (B) X2+Y2服从分布.(C)X2和Y2都服从分布. (D) 服从F分布.解因为随机变量X与Y都服从标准正态分布, 但X与Y不一定相互独立,所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C).2. 设X1,X2,Xn是来自总体X的样本, 总体X的均值已知,方差2未知. 在样本函数, , , n(+)中, 哪些不是统计量?解 不是统计量.3. 设总体X服从正态分布, 总体Y服从正态分布,和 分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 求 解 因为 , 习题6-31填空题(1) 设总体,是从该总体中抽取的容量为n的样本, 则 ; ; 统计量 .解 因为总体, 而是从该总体中抽出的简单随机样本, 由正态分布的性质知, 样本均值也服从正态分布, 又因为,而.所以 . (2) 设总体X服从正态分布,是来自X的简单随机样本, 则统计量服从 分布; 服从 分布; 服从 分布; 服从 分布.解 由抽样分布定理知, . 再由正态分布的标准化公式 , 服从标准正态分布.由抽样分布定理知, 服从自由度为n-1的t分布.由抽样分布定理知, 服从自由度为n-1的分布. 由题设, 所以再由分布的定义知, 服从自由度为n的分布.(3) 设,是来自正态总体的容量为n+m的样本, 则统计量服从的分布是 .解 因为=, 而,.由F分布的定义, 得到.2. 选择题(1) 设随机变量, 则下列关系中正确的是( ). (A) . (B) . (C) . (D) 解 由题设知, 其中, 于是=,这里, 根据F分布的定义知故应选(C).(2) 设,(n),分别是标准正态分布N(0,1)、(n)分布、分布和分布的上分位点, 在下列结论中错误的是( ). (A) . (B) (n)=1-(n). (C) . (D) .解 应选(B).3. 在总体中随机抽取一个容量为36的样本, 求样本均值落在50.8到53.8 之间的概率.解 因为,所以.于是, 标准化随机变量 .因此 .4. 已知是来自正态总体的样本, 求概率.解 由定理1知, 因此 ,所以 习题2-21. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0p1). 定义随机变量写出随机变量X的分布律.解 PX=1=p, PX=0=1-p.或者X0 1 P1-p p 2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c, 并计算条件概率.解 由离散型随机变量的分布律的性质知，所以.所求概率为 PX1| X =.3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若, 求.解 注意px=k=,由题设故. 从而4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为, 求每次试验成功的概率.解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是. 即, 故 =.5. 若X服从参数为的泊松分布, 且, 求参数. 解 由泊松分布的分布律可知.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X的分布律.解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X表示3个数中的最大值，X的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有种取法.X=3表示取出的3个数以3为最大值，PX=3=;X=4表示取出的3个数以4为最大值，PX=4=;X=5表示取出的3个数以5为最大值，PX=5=.X的分布律是X3 4 5P 习题2-31. 设X的分布律为X-1 0 1P0.15 0.20 0.65求分布函数F(x), 并计算概率PX0, PX2, P-2X1.解 (1) F(x)= (2) PX0=PX=-1=0.15; (3) PX2= PX=-1+PX=0+PX=1=1; (4) P-2x1=PX=-1+PX =0=0.35.2. 设随机变量X的分布函数为F(x) = A+Barctanx -x+.试求: (1) 常数A与B; (2) X落在(-1, 1内的概率.解 (1) 由于F(-) = 0, F(+) = 1, 可知于是 (2) 3. 设随机变量X的分布函数为F(x)=求PX-1, P0.3 X0.7, P0X2.解 PX, P0.3X0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2, P0X2=F(2)-F(0)=1.5. 假设随机变量X的绝对值不大于1; ; 在事件出现的条件下, X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求的分布函数x; (2) 求X取负值的概率p.解 (1) 由条件可知, 当时, ;当时, ;当时, F(1)=PX1=P(S)=1.所以 易见, 在X的值属于的条件下, 事件的条件概率为,取x=1得到 1=k(1+1), 所以k=. 因此 .于是, 对于, 有对于1, 有 从而(2) X取负值的概率习题2-41. 选择题(1) 设 如果c=( ), 则是某一随机变量的概率密度函数. (A) . (B) . (C) 1. (D) .解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题应选(C ).(2) 设又常数c满足, 则c等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) . (D) -1.解 因为, 所以,即, 从而,即, 得c=0. 因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) (B) (C) (D) 解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D). (4) 设随机变量, , , 则( ).(A) 对任意的实数. (B) 对任意的实数.(C) 只对实数的个别值, 有. (D) 对任意的实数.解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有.因此本题应选(A). (5) 设随机变量X的概率密度为, 且, 又F(x)为分布函数, 则对任意实数, 有( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6) 设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且 则下式中成立的是( ).(A) 1 2. (C) 1 2. 解 对12时, 答案是(A).(7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数, 数满足, 若, 则等于( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 答案是(C).2. 设连续型随机变量X服从参数为的指数分布, 要使成立, 应当怎样选择数k?解 因为随机变量X服从参数为的指数分布, 其分布函数为由题意可知.于是 .3. 设随机变量X有概率密度要使(其中a0)成立, 应当怎样选择数?解 由条件变形,得到,可知, 于是, 因此.4. 设连续型随机变量X的分布函数为求: (1) X的概率密度; (2).解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系,可得 (2) .5. 设随机变量X的概率密度为f(x) 求PX与P2.解 ;.6. 设连续型随机变量X具有概率密度函数求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x).解 (1) 由概率密度的性质可得,于是 ；(2) 由公式可得当x0时, ;当1时, ;当2时, ;当x2时, .所以 7. 设随机变量X的概率密度为对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解 根据概率密度与分布函数的关系式,可得.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为.8. 设, 求关于x的方程有实根的概率.解 随机变量X的概率密度为若方程有实根, 则 0, 于是2. 故方程有实根的概率为P2=.9. 设随机变量. (1) 计算, , , ； (2) 确定c使得(3) 设d满足, 问d至多为多少？解 (1) 由Paxb=P公式, 得到P2X5=,P-40. 对于=0.1, 选取检验统计量, 拒绝域为t=t0.1(29)=1.3114.代入数据n=30, =2280, s=476, 得到1.3114.所以拒绝原假设, 可以认为该种职业家庭人均年收入高于市人均年收入.3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量, 算得平均值11958, 样本标准差设发热量服从正态分布. 取显著性水平=0.05, 问是否可认为该试验物发热量的期望值为12100?解 提出假设 H0: =0=12100; H1:0 .对于=0.05, 选取检验统计量, 拒绝域为|t|=t0.025(23)=2.0687代入数据n=24, =11958, s=316, 得到2.0687.所以拒绝原假设, 不能认为该试验物发热量的期望值为12100.4从某锌矿的东西两支矿脉中, 各抽取容量分别为9和8的样品, 计算其样本含锌量(%