直线与椭圆的位置关系(二).ppt

三 中点弦问题 弦中点问题的两种处理方法 1 联立方程组 消去一个未知数 利用韦达定理 2 设两端点坐标 代入曲线方程相减可求出弦的斜率 总结 练习 中心在原点一个焦点为的椭圆的截直线所得弦的中点横坐标为 求椭圆的方程 分析 根据题意可设椭圆的标准方程 与直线方程连里解方程组 利用中点公式求得弦的中点的横坐标 最后解关于的方程组即可 解 设所求椭圆的方程为由得 把直线方程代入椭圆方程 整理得设弦的两个端点为 则由根与系数的关系得又中点的横坐标为 由此得 解 得 例2 在椭圆x2 4y2 16中 求通过点M 2 1 且被这一点平分的弦所在的直线方程 解一 显然 只须求出这条直线的斜率即可 如果弦所在的直线的斜率不存在 即直线垂直于x轴 则点M 2 1 显然不可能是这条弦的中点 故可设弦所在的直线方程为y k x 2 1 代入椭圆方程得x2 4 k x 2 1 2 16即得 1 4k2 x2 16k2 8k x 16k2 16k 12 0 直线与椭圆有两个交点 故 16 k2 4k 3 0 又 两式联立解得k 直线方程为x 2y 4 0 评 本例在解题过程中 充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实 由此得出 16 k2 4k 3 0 又利用了中点坐标 列出了方程 从而使问题得到解决 这种方法是常用的方法 大家务必掌握 但是 这种解法显得较繁 特别是方程组16 0显得较繁 解二 设弦的两个端点分别为P x1 y1 Q x2 y2 则x1 x2 4 y1 y2 2 在P x1 y1 Q x2 y2 椭圆上 故有x12 4y12 16x22 4y22 16两式相减得 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 点M 2 1 是PQ的中点 故x1 x2 两边同除 x1 x2 得 即4 8k 0 k 弦所在的直线方程为y 1 x 2 即x 2y 4 0 评 本解法设了两个端点的坐标 而我们并没有真的求出它们 而是通过适当变形 得到了 从而揭示了弦所在的直线斜率k与弦中点坐标 x0 y0 之间在椭圆标准方程的前提下的关系 mx0 ny0k 0 显得很简便 但在解题过程中应注意考虑x1 x2的条件 如果有这种可能性 可采用讨论的方法 先给以解决 如果不可能有这种情况 则应先说明 例2 在椭圆x2 4y2 16中 求通过点M 2 1 且被这一点平分的弦所在的直线方程 练习 在椭圆中 求通过点M 1 1 且被这一点平分的弦所在的直线方程 综合 已知椭圆与直线相交于两点 是的中点 若 斜率为 为原点 求椭圆方程 分析 本例是一道综合性比较强的问题 求解本题要利用中点公式求出点坐标 从而得的斜率 另外还要用到弦长公式 解 由方程组 消去整理得 即 解 得 所求的椭圆方程为 四 椭圆中的最值问题 1 过椭圆的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A B两点 求弦长 AB 思考 最大的距离是多少 3 如果点 的坐标为 F1是椭圆的左焦点 点 是椭圆上的动点 求 1 PA PF1 的最小值 2 PA PF1 的最大值和最小值 2 设右焦点为 欲求的最大值 怎样使它与联系在一起呢 数形结合简便直观 4 5 设AB为过椭圆的中心的弦 F1是左焦点 求的面积的最大值 O A B F1 F2 3 弦中点问题的两种处理方法 1 联立方程组 消去一个未知数 利用韦达定理 2 设两端点坐标 代入曲线方程相减可求出弦的斜率 1 直线与椭圆的三种位置关系及等价条件 2 弦长的计算方法 1 垂径定理 AB 只适用于圆 2 弦长公式 AB 适用于任何曲线 小结 作业 1 K为何值时 直线y kx 2和曲线2x2 3y2 6有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 2 无论k为何值 直线y kx 2和曲线交点情况满足 A 没有公共点B 一个公共点C 两个公共点D 有公共点 3 y kx 1与椭圆恰有公共点 则m的范围 A 0 1 B 0 5 C 1 5 5 D 1 4 过椭圆x2 2y2 4的左焦点作倾斜角为300的直线 则弦长 AB 5 求椭圆被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长 7 中心在原点 一个焦点为F 0 的椭圆被直线y 3x 2所截得弦的中点横坐标是1 2 求椭圆方程 6 如果椭圆被的弦被 4 2 平分 那么这弦所在直线方程为 A x 2y 0B x 2y 4 0C 2x 3y 12 0D x 2y 8 0 作业 1 K为何值时 直线y kx 2和曲线2x2 3y2 6有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 2 无论k为何值 直线y kx 2和曲线交点情况满足 A 没有公共点B 一个公共点C 两个公共点D 有公共点 3 y kx 1与椭圆恰有公共点 则m的范围 A 0 1 B 0 5 C 1 5 5 D 1 4 过椭圆x2 2y2 4的左焦点作倾斜角为300的直线 则弦长 AB 5 求椭圆被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长 7 中心在原点 一个焦点为