几何第01讲 几何的有名定理(1).doc

第一讲 几何的有名定理（1）一 梅涅劳斯定理Menelaus(公元98年左右)，希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作球论里梅涅劳斯定理 设ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线交于P、Q、R三点，则 梅涅劳斯定理逆定理 设P、Q、R分别是AB的三边BC、CA、AB上或它们延长线上三点，若有则P、Q、R 三点在同一直线上例题选讲例1 过ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。求证：。证 连AG,交BC于M, DEF截ABMDEF截AMC故 评注 也可以添加辅助线证明：过A、B、C之一作DF的平行线。 例2. 设ABC的A 的外角平分线与B的延长线交于P， B的平分线与A交于Q, C的平分线和AB交于R(图15-7).求证P、Q、R三点共线.分析 要证P、 Q、R三点共线，只需证明，利用三角形内角及外角平分线的性质不难得到.例3. 莱莫恩(Lemoine)线如图，过ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延线交于P、Q、R求证P、Q、R三点共线 分析 欲证P、Q、R三点共线，只须证明证明 因AP为圆的切线，所以ACP ABP，从而有 两式相乘得同理可得由梅涅劳斯定理的逆定理得，P、Q、R三点共线，例4戴沙格（Desargues）定理 设ABC和ABC对应顶点的连线AA，BB，CC交于一点S，这时如果对应边BC和BC、CA和CA、AB和AB（或它们的延长线）相交，则它们的交点D、E、F在同一直线上 分析 由于D、E、F三点分别在ABC三边延长线上，要证三点共线，只须证明 注意图中多个三角形被多条直线所截；反复利用梅涅劳斯定理，即可得证证明 因直线FAB截SAB，由梅涅劳斯定理，有同理，直线BCA截SAC，有 直线DCB截SBC，有三式相乘，得, 由梅涅劳斯定理逆定理，D、E、F三点共线. 注 戴沙格定理是射影几何中的一个重要定理.例5. 牛顿（Newton）线设四边形ABCD的一组对边AB和CD的延长线交于点E，另一组对边AD和B的延长线交于F，则AC中点L、BD中点M及EF中点N三点共线.分析 为了证明L、M、N共线，可考虑L、M、N三点是否分别在一个三角形的边或延长线上由它们分别是AC、BD、E的中点，设EBC三边中点为P、R、Q，则显然有M在P上，L在R上，N在P延长线上再利用梅涅劳斯定理不难得到证明 证明 设P、R、Q分别为EB、BC、CE中点，因为L、Q、R分别是CA、CE,CB的中点，所以它们在同一直线上，且有同理，M、R、P三点在同一直线上，且N、P、Q三点在同一直线上，且三式相乘得但因直线AD切割EBC由梅涅劳斯定理，有 因L、M、N三点分别在PQ三边或其延长线上，故由梅涅劳斯定理逆定理，L、M、N三点共线， 注 直线LMN叫做四边形ABCD的牛顿线。 例6. 若在直角ABC中，CK是斜边上的高CE是ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，则BFCE证 在EBC中，作的平分线BH 即 从而可知EBC为等腰三角形 作腰BC上的高EP，则CK=EP把梅涅劳斯定理用于ACK和三点D、E、F，则得于是即利用分比定理得从而 故得例7(1996年全国高中数学联赛题)如图,圆O1和圆O2与DABC的三边所在的三条直线都相切,E、F、G、H为切点,并且EG, FH的延长线交于P点,求证直线PA与BC垂直. 分析：要证PABC只要证明PAO1E证明：延长PA交EF于D,直线PGE与ADC的三边延长线都相交,直线PHF与ABD的三边延长线都相交,由梅尼劳斯定理, ， ,HB=BF,EC=CG, 连接O1G,O1E,O1A,O2A,O2H,O2F,则O1、A、O2三点共线,以及O1EEF,O2FEF, O1EFO2为直角梯形, 又O1AGO2AH, ,ADO1E,故ADEF即PAEF.课外练习题1设平行四边形ABCD内一点E，过E引AB的平行线与AD、BC交于K、G过E引AD的平行线与AB、CD交于F、H，则FK、BD、GH 互相平行或交于一点证明设BD与FK交点为O OKF截ABD, G、H、O在同一直线上， 即FK,BD,GH交于一点。2一条直线与三角形三边或其延长线交于L、M、N 三点，若L、M、N点与L、M、N关于三边的中点对称，求证L、M、N三点也共线证明由梅涅劳斯定理有又由于M、N、L分别与M、N、L关于三边中点对称，所以AN=BN, BN=AN，BL= CL, CL=BL，AM=CM，CM=AM。代入上式得 L、M、L三点共线3设四边形,ABCD外切于 O切点分别为E、F、G、H ，则HE、DB、GF交于一点（或GH、CA、EF交于一点） 证明设HE与BD交于M，则HEM截ABD, 又设GF与DB交于M，则由上两式得 , M、M重合4. 从点K引四条直线，另两条直线分别交这四条直线于A、B、C、D和A1, B1,C1 , D1， 试证：证明： 5. 设不等腰ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则EF与BC，FD与CA，DE与AB的交点X、Y、Z 在 同一条直线上；6. 已知直线AA1，BB1，CC1相交于D，直线AB和A1B1的交点为C2，直线BC与B1C1的交点是A2，直线AC与A1C1的交点是B2，试证：A2、B2、C2三点共线；7. ABC的内切圆分别切三边BC，CA，AB于点D，E，F，点X是ABC的一个内点，XBC的内切圆也在D点与BC边相切，并与CX，XB分别相切于点Y，Z证明：EFZY是圆内接四边形 分析：若BC与EF交于P,且 DEPF=PYPZ，则本题获证 略证：如果EFBC，则AB=AC，AD是EFZY的对称轴，因而EFZY是圆内接四边形 如果EF不平行于BC，可假定BC与EF的延长线相交于P，由梅涅劳斯定理，有由圆幂定理，有, 由梅涅劳斯定理的逆定理，知P，Y，Z三点共线，于是，PEPF= PD2=PYPZ.所以，EFZY是圆内接四边形评述：本题证明除应用了梅涅劳斯定理及其逆定理，还多次应用了圆幂定理。二 塞瓦（Ceva）定理GCeva（1647年1743年），意大利著名数学家 塞瓦定理 设S为ABC边所在直线外一点，连接AS、BS、CS分别和ABC之边或三边延长线交于P、Q、R，则塞瓦定理逆定理设P、Q、R为ABC的三边或其延长线上的三点（P、Q、R都在三边上或只有其中之一在边上），如果有 则三直线AP、BQ、CR交于一点或互相平行.例题选讲例1ABC中，内切圆O与各边BC、CA、AB相切于D、E、F，求证AD、BE、CF交于一点.证明： 由巳知有BD=BF，CD=CE，AE=AF, AD, BE, CF三线共点。例2 证明：锐角三角形的高交于一点。例3已知AD是ABC的边B上的高，P为AD上任意一点，直线BP、CP分别交AC、AB于E、F.求证FDA= ADE证明：过A作BC的平行线交DF、DE的延长线于F、E由塞瓦定理有而代入上式得AF=AE.例4. 设A、B、C分别为ABC三边BC,CA,AB的中点，P为ABCC内一点，AP、BP、CP分别交BC、CA、AB.于L、M、N,求证：AL,BM,CN三线共点 分析 要由一组三线共点推出另一组三线共点，考虑到A、B、C分别为ABC三边的中点，不难利用塞瓦定理得到证明 证明 AL、BM、CN三线共点，设AL、BM、CN分别交BC、CA、AB于点L、M 、N， BC、 分别为AC、AB的中点， 同理 由塞瓦定理的逆定理，AL、BM、CN三线共点，即AL、BM、CN三线共点. 例5 如图，设P是ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BA、CA、AB交于D 、E、F，过D、E、F三点作圆，与三边又交于D、E、F求证AD 、BE 、CF三线交一 点分析 要证AD、BE、CF三线共点，考虑到AD、BE、CF 三线共点显然可利用塞瓦定理又考虑到D、E、F、D、E、F六点共圆，因此可利用圆幂定理将等式转换证明 AD，BE、CF三线共点，由塞瓦定理得但D、E、F和D，E、F共圆，所以 三式相乘得: 即 因 所以由塞瓦定理逆定理可知，AD、BE、CF共点， 注 由本题可知，一个圆周与ABC交于六点D、D、E、E、F、F，若AD,BE,CF三线交于一点，则AD、BE、CF也相交于一点例6. 在锐角三角形ABC中，C的平分线交AB于L,从L作边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N, AN和BM交于P, 证明：CPAB. 证明 作于Q因为LMAC, LNBC，所以五点共圆，所以 AMAC=ALAQ, BNBC=BQBL,所以又由CL平分ACB得，所以即于是，所以 CM=CN故有 由塞瓦定理的逆定理得，AN,BM,CQ共点， 故C,P,Q共线，从而CP AB.例7. 以ABC各边为底边向外作相似的等腰三角形BCE,CAF,AGB求证AE,BF,CG相交于一点分析如图，要证AE、BF、DG三线共点，由塞瓦定理的逆定理，只需证即可，但是图中没有平行线，得不到比例关系，我们尝试通过三角形面积之比来转换，看能否得到要证的式子. 证明 设三个相似等腰三角形的底角为 ，AE、BF、CG分别交BC,CA，AB于L、M、N，则同理由塞瓦定理的逆定理，AE、BF、CG交于一点课外练习题1. 证明：三角形的三条中线、三条角平分线交于一点。证 （略）2. （2002年澳大利亚数学奥林匹克）已知过三角形的一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形，若这两个小三角形的周长相等，则称这条直线为“整分线”证明：ABC的三条“整分线”交于一点证明 设分别过顶点A、B、C的“整分线”与对边分别交于点A 、B、C; 设BC=a，CA=b，AB=c，又设BA= m，A C=n由已知条件，有c+m+AA = b+n+AA又因为 m+n=a, 所以 2m=a+b-c，2n=a+c-b所以,同理所以由塞瓦定理的逆定理得，AA、BB、CC三线交于一点3在ABC的边BC上任取一点D，设ADB和ADC的角平分线分别交AB、AC于F和E，求证AD、BE、CF交于一点解考虑到DF、DE分别是BDA和ADC的平分线， AD、BE、CF三线共点4在ABC中，AM为BC边上的中线，AD为 A的平分线，顶点B在AD上射影 为E，BE交AM于N，求证DN / AB证 延长AC与BE延长线交于F, 则ABF为等腰三角形延长EM交AB于L，则L为AB中点，在ABE中由塞瓦定理，有5 已知O是ABC的外接圆圆心，X、Y分别是AC、AB上的点，且使得BX和CY相交于O, 试求BAC的大小解 易知O在内部连接AO，并延长与BC相交于Z由塞瓦定理，有因为YX平分,所以YZ平分令则因为, 所以即得所以 B、Y、O、Z四点共圆, 所以又 的内角和是，的内角和是即，所以所以6. 在四边形ABCD中,对角线AC平分BAD,在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G, 求证：GAC=EAC分析：注意到BCD中有三线共点,由塞瓦定理可得比例关系,通过比例联系平行,构