（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 课时分层作业 五十一 8.6 双曲线 文.doc

课时分层作业 五十一双曲线一、选择题(每小题5分,共35分)1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是()a.2b.2c.4d.4【解析】选c.因为双曲线的方程可化为-=1,所以实轴长为2a=4.【变式备选】已知双曲线c:-=1(a0,b0)的离心率e=,且其右焦点f2(5,0),则双曲线c的方程为()a.-=1b.-=1c.-=1d.-=1【解析】选b.因为所求双曲线的右焦点为f2(5,0)且离心率e=,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1.2.已知三个数2,m,8构成一个等比数列,则圆锥曲线+=1的离心率为()a.b.c.或d.或【解析】选c.因为三个数2,m,8构成一个等比数列,所以m2=28=16,即m=4.若m=4,则圆锥曲线方程为+=1,此时为椭圆,其中a2=4,b2=2,c2=4-2=2,所以a=2,c=,离心率e=.若m=-4,则圆锥曲线方程为-=1,此时为双曲线,其中a2=2,b2=4,c2=4+2=6,所以a=,c=,离心率e=.3.(2018温州模拟)已知f1,f2为双曲线ax2-by2=1的焦点,其顶点是线段f1f2的三等分点,则其渐近线的方程为()a.y=2xb.y=xc.y=xd.y=2x或y=x【解析】选d.因为顶点是线段f1f2的三等分点,所以c=3a,所以c2=9a2.又c2=a2+b2,所以=8,=2,=.所以其渐近线方程为y=2x或y=x.【易错提醒】(1)默认为双曲线焦点在x轴上,其渐近线为y=x,而错选为a.(2)把双曲线认为等轴双曲线而错选为c.(3)把双曲线中a,b,c的关系与椭圆中c2=a2-b2混淆致错.【方法技巧】(1)对于方程-=1(a0,b0)来说,求渐近线方程就相当于求的值,但要分焦点的位置是在x轴上还是在y轴上,此题没有给出焦点的位置,其渐近线斜率有四种情况.(2)渐近线为y=x所对应的双曲线为-=(0).当0时,焦点在x轴上,当0)的一条渐近线的倾斜角为30,则该双曲线的离心率为_.【解析】双曲线渐近线方程为y=,所以=tan 30a=c=2e=.答案:4.已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆c:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆c的圆心,则该双曲线的方程为()a.-=1b.-=1c.-=1d.-=1【解析】选a.因为圆心为,所以c=3,因为渐近线与圆相切,所以b=r=2,所以a2=5,所以双曲线的方程为-=1.5.(2017全国卷)若双曲线c:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2 +y2=4所截得的弦长为2,则c的离心率为()a.2b.c.d.【解析】选a.圆心到渐近线bxay=0的距离为=,所以=c=2ae=2.【变式备选】(2018济南模拟)已知f是双曲线c:x2-=1的右焦点,p是c的左支上一点,a(0,6).当apf周长最小时,该三角形的面积为_.【解析】设双曲线的左焦点为f1,由双曲线方程x2-=1可知,a=1,c=3,故f(3,0),f1(-3,0).当点p在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|pf|-|pf1|=2,所以|pf|=|pf1|+2,从而apf的周长为|ap|+|pf|+|af|=|ap|+|pf1|+2+|af|.因为|af|=15为定值,所以当(|ap|+|pf1|)最小时,apf的周长最小,即当a,p,f1三点共线时,|ap|+|pf1|最小,由题意可知直线af1的方程为y=2x+6,由得y2+6y-96=0,解得y=2或y=-8(舍去),所以sapf=-=66-62=12.答案:126.已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为f,离心率为.若经过f和p(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()a.-=1b.-=1c.-=1d.-=1【解析】选b.由题意得a=b,=1c=4,a=b=2-=1.7.(2018重庆模拟)设双曲线c的中心为点o,若有且只有一对相交于点o、所成的角为60的直线a1b1和a2b2,使|a1b1|=|a2b2|,其中a1,b1和a2,b2分别是这对直线与双曲线c的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()a.b.c.d.【解析】选a.由题意如图,当a1ox=30时,渐近线的斜率,当a1oy=30时,渐近线的斜率,所以双曲线的离心率的范围为e=【变式备选】已知双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为f,若过点f且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()a.(1,2b.(1,2)c.2,+)d.(2,+)【解析】选c.因为渐近线l1:y=x与过焦点f的直线l平行,或渐近线l1从该位置绕原点按逆时针旋转时,直线l与双曲线的右支交于一个点.所以,即c2=a2+b24a2,所以e2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=_.【解析】c=,因为双曲线的离心率为,所以=,解得m=2.答案:29.(2018沈阳模拟)直线l:y=2x+10过双曲线-=1(a0,b0)一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线方程为_.【解析】由题意得一个焦点为f(-5,0),c=5,=2,所以a2=5,b2=20,所以双曲线方程为-=1.答案:-=1【变式备选】设椭圆c1:+=1(ab0)的左右焦点分别为f1,f2,离心率为,双曲线c2:-=1(c0,d0)的渐近线交椭圆c1于p,pf1pf2,则双曲线c2的离心率是()a.b.c.d.【解析】选b.由已知得双曲线的一条渐近线方程为y=x,与椭圆方程联立解得x2=,因为pf1pf2,所以点p满足方程x2+y2=a2-b2,所以x2=,所以=,因为椭圆的离心率为,所以=,代入上式解得=,所以双曲线的离心率为=.10.(2017全国卷)已知双曲线c:-=1(a0,b0)的右顶点为a,以a为圆心,b为半径作圆a,圆a与双曲线c的一条渐近线交于m,n两点.若man=60,则c的离心率为_.【解析】如图,=a,=b,因为man=60,所以=b,=,所以tan =,又因为tan =,所以=,解得a2=3b2,e=.答案:1.(5分)(2017全国卷)已知f是双曲线c:x2-=1的右焦点,p是c上一点,且pf与x轴垂直,点a的坐标是(1,3).则apf的面积为 ()a.b.c.d.【解析】选d.由c2=a2+b2=4得c=2,所以f(2,0),将x=2代入x2-=1,得y=3,所以|pf|=3,又a的坐标是(1,3),故apf的面积为3(2-1)=.【一题多解】选d.如图,因为pf与x轴垂直,所以p(2,3),所以apf为直角三角形,所以面积为s=13=.【变式备选】(2017全国卷)已知双曲线c:-=1 (a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则c的方程为()a.-=1b.-=1c.-=1d.-=1【解析】选b.双曲线c:-=1 (a0,b0)的渐近线方程为y=x,椭圆中a2=12,b2=3,所以c2=a2-b2=9,c=3,椭圆即双曲线的焦点为(3,0),据此可得双曲线中的方程组:解得:a2=4,b2=5,则双曲线c 的方程为-=1.2.(5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为f1,f2,过点f1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于a,b两点,af2,bf2分别交y轴于p,q两点,若pqf2的周长为12,则ab取得最大值时该双曲线的离心率为 ()a.b.c.2d.【解析】选d.不妨设a(-c,y0),y00,则-=1y0=,由中位线长得|po|=y0,则|pf2|=,pqf2的周长:+=12c2=6a.(ab)2=a2(c2-a2)=6a3-a4,记f(a)=6a3-a4,由c2=6aa20a0;a,f(a)0,b0),则a2+b2=9,又点(,4)在双曲线上,所以-=1,解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的方程为-=1.答案:-=1【一题多解】设双曲线的方程为+=1(2736),由于双曲线过点(,4),故+=1,解得1=32,2=0(舍去).故所求双曲线方程为-=1.答案:-=14.(12分)(2017江苏高考改编)在平面直角坐标系xoy中,直线x=与双曲线-y2=1的两条渐近线分别交于点p,q,双曲线的焦点是f1,f2,求四边形f1pf2q的面积.【解析】双曲线的焦点坐标为f1(-2,0),f2(2,0),所以焦距为|f1f2|=4,渐近线方程为y=x,由方程组 解得p,同理可得q,所以|pq|=,所以四边形f1pf2q的面积是|f1f2|pq| =2.5.(13分)已知双曲线c:-=1的左、右焦点分别为f1,f2,离心率为3,直线y=2与c的两个交点间的距离为.(1)求a,b.(2)设过f2的直线l与c的左,右两支分别相交于a,b两点,且|af1|=|bf1|,证明:|af2|,|ab|,|bf2|成等比数列.【解析】(1)由题设知=3,即=9,故b2=8a2.所以c的方程为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,求得,x=.由题设知,2=,解得,a2=1.所以a=1,b=2.(2)由(1)知,f1(-3,0),f2(3,0),c的方程为8x2-y2=8. 由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|2,代入并化简得, (k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则 x1-1,x21,x1+x2=,x1x2=.于是 |af1 | = = =-(3x1 + 1), |bf1 | = = = 3x2 + 1 由|a