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文档简介

第五节方向导数与梯度 一方向导数二梯度 1 实例 一块长方形的金属板 四个顶点的坐标是 1 1 5 1 1 3 5 3 在坐标原点处有一个火焰 它使金属板受热 假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比 在 3 2 处有一个蚂蚁 问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点 问题的实质 应沿由热变冷变化最骤烈的方向 即梯度方向 爬行 1问题的提出 一方向导数 2 讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题 2方向导数的定义 3 当沿着趋于时 是否存在 4 记为 5 证明 由于函数可微 则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 6 解 如果记 为 到 方向的转角 则方向导数的计算 公式为 7 解 方向的逆时针转角 故 例2求函数 在点 1 1 处 沿任何一方向l的方向导数 并问在怎样的方向上此方 向导数有 1 最大值 2 最小值 3 等于零 设 为 轴到 则 8 推广可得三元函数方向导数的定义 9 解 令 故 方向余弦为 10 故 11 例4设函数 求函数在点 M 1 1 1 处沿曲线 在该点切线方向 的方向导数 解曲线 在点M 1 1 1 处切线的方向 向量为 12 二梯度 1场的概念 定义 当对应的物理量为数量时 则称为数量场 当对 应的物理量为向量时 则称为向量场 上的数量场 区域 上的数量函数 上的向量场 区域 上的向量函数 在空间直角坐标系下 数量函数可以表示为 向量函数可以表示为 13 由方向导数公式 令向量 方向导数取最大值 2梯度的概念 14 这说明 方向 f变化率最大的方向 模 f的最大变化率之值 定义 其模恰为这个最大变化率的数值 15 当 且 一阶偏导数连续时 说明 引入哈密尔顿微分算子 则梯度可以表示为 16 函数在一点的梯度垂直于该点等值面 或等值线 指向函数增大的方向 另一方面 函数 在点P处沿梯度方向 的方向导数是最大的 从而沿梯度方向函数值是增加 的 所以 3梯度的几何意义 函数 过点 当各偏导数不同时为零时 其上点P处的法向量为 有等值 量 面 17 解 由梯度计算公式得 故 18 例6求数量场 在点 处 沿曲面 的内法向的方向导数 分析 曲面 在点 处的等值面 为函数 其内法向 u的函数值增大的 方向 根据梯度的几何意义 数量场u为在点M处的梯 度为函数u过点M的等值面的法向 且指向u函数值增 加一方 因此 在点 处的内法向 为数量场u在点 处梯度的方向 再由梯度的定义 数量场u沿梯度方向的方向导数最大 最大的方向导数 为梯度的模 19
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