北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(理)试题.doc

海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科）一、选择题：（1）复数 ( )（A） （B） （C） （D）（2）如图，正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点.那么（A） （B） （C）（D）（3）若数列满足：，则数列的前项和数值最大时，的值是 （A）6 （B）7 （C）8 （D）9（4）已知平面，直线，若，则 （A）垂直于平面的平面一定平行于平面 （B）垂直于直线的直线一定垂直于平面（C）垂直于平面的平面一定平行于直线 （D）垂直于直线的平面一定与平面,都垂直（5）函数的部分图象如图所示，那么 （ ）开始i=1,s=0s=s+2 i -1is100i= i +1输出i结束是否（A） （B） （C） （D）（6）执行如图所示的程序框图，输出的值为 ( ）（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（7）已知函数，那么下列命题中假命题是 ( ) （A）既不是奇函数也不是偶函数 （B）在上恰有一个零点 （C）是周期函数 （D）在上是增函数（8）点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 （ ）（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）直线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）的展开式中的系数是 . （用数字作答）21世纪教育网（10）若实数满足则的最大值为 . （11）抛物线过点，则点到此抛物线的焦点的距离为 . （12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_，气温波动较大的城市是_.甲城市 乙城市 908773124722047（13）已知圆：，过点的直线将圆分成弧长之比为的两段圆弧，则直线的方程为 . （14）已知正三棱柱的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设的中心分别是，现将此三棱柱绕直线旋转，射线旋转所成的角为弧度（可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为，则函数的最大值为 ；最小正周期为 . 说明：“三棱柱绕直线旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在中，角，所对的边分别为， ，.（）求及的值；（）若，求的面积.(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为，求的分布列和数学期望. (17)（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是直角梯形，平面平面.（）求证：平面； （）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；（）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. (18)（本小题满分13分）已知函数，其中是常数.()当时，求曲线在点处的切线方程；（）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围. (19)（本小题满分14分）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.（）求椭圆的标准方程；（）已知过点的直线与椭圆交于，两点.（）若直线垂直于轴，求的大小;（）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.来源:21世纪教育网(20)（本小题满分14分）已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.（）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ，；，.（）若集合是集合的一个元基底，证明：；（）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底. 海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 20120121世纪教育网一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADBD来源:21世纪教育网CA BD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9） （10） （11） （12）乙，乙 （13）或 （14）；注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（）因为，所以. 2分因为，所以. 3分由题意可知，.所以. 5分因为.6分所以 . 8分（）因为， 10分所以. 所以. 11分所以. 13分(16)（本小题满分13分）解：（）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，则. 4分所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为.5分（）随机变量的可能取值为. 6分，. 10分随机变量的分布列为：因为 ，所以 随机变量的数学期望为. 13分(17)（本小题满分14分）（）证明：因为 ，所以 . 1分因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 3分（）解：取的中点，连接.因为， 所以 .因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 4分如图，以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系不妨设.由直角梯形中可得，.所以 ，.设平面的法向量.因为 所以 即令，则.所以 . 7分取平面的一个法向量n.所以 .所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小为. 9分（）解：在棱上存在点使得平面，此时. 理由如下： 10分取的中点，连接，.来源:21世纪教育网则 ，.因为 ，所以 .因为 ，所以 四边形是平行四边形.所以 .因为 ，所以 平面平面. 13分因为 平面，所以 平面. 14分 (18)（本小题满分13分）解：()由可得 . 2分当时, ,. 4分所以 曲线在点处的切线方程为，即. 5分（） 令，解得或. 6分当，即时，在区间上，所以是上的增函数.所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根. 8分当，即时，随的变化情况如下表来源:21世纪教育网 由上表可知函数在上的最小值为. 10分因为 函数是上的减函数，是上的增函数，且当时，有. 11分所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是. 13分(19)（本小题满分13分）解：（）设椭圆的标准方程为，且.21世纪教育网由题意可知：，. 2分所以. 所以，椭圆的标准方程为. 3分（）由（）得.设.（）当直线垂直于轴时，直线的方程为.由 解得：或即（不妨设点在轴上方）.5分则直线的斜率，直线的斜率.因为 ，所以 .所以 . 6分（）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.由消去得：.因为 点在椭圆的内部，显然. 8分因为 ，所以 .所以 . 所以 为直角三角形. 11分假设存在直线使得为等腰三角形，则.取的中点，连接，则.记点为.另一方面，点的横坐标，所以 点的纵坐标. 所以 .所以 与不垂直，矛盾.所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.13分(20)（本小题满分14分）解：（）不是的一个二元基底.理由是 ； 是的一个二元基底. 理由是 ， .21世纪教育网 3分来源:21世纪教育网（）不妨设，则形如的正整数共有个；形如的正整数共有个；形如的正整数至多有个；形如的正整数至多有个.又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.故，即. 8分（）由（）可知，所以.当时，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设为的一个4元基底，不妨设，则.当时，有，这时或.如果，则由，与结论*矛盾.如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，这时，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，易知不是的4元基底，矛盾.当时，有，易知