中考数学复习 第三章函数及其图象 第14课 二次函数及其图象课件.ppt

第14课二次函数及其图象 1 定义 形如函数叫做二次函数 2 利用配方 可以把二次函数y ax2 bc c表示成 要点梳理 y ax2 bx c 其中a b c是常数 且a 0 y a2 3 图象与性质 二次函数的图象是抛物线 当时抛物线的开口 这时当时 y的值随x的增大而 当时 y的值随x的增大而 当x 时 y有 当时抛物线开口 这时当时 y的值随x的增大而 当时 y的值随x的增大而 当x 时 y有 抛物线的对称轴是直线x 抛物线的顶点是 a 0 向上 x 减小 x 增大 最小值 a 0 向下 x 增大 x 减小 最大值 4 图象的平移 1 正确理解并掌握二次函数的概念以及解析式的三种形式的转化根据定义可知 二次函数需满足两个条件 a 0 x的最高次数为2 一般式y ax2 bx c a 0 如果抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴有两个交点 x1 0 x2 0 则解析式可以写成交点式y a x x1 x x2 将解析式y ax2 bx c通过配方法可化成顶点式y a x h 2 k 将顶点式 交点式展开 合并同类项后 即可化成一般式y ax2 bx c 难点正本疑点清源 在已知抛物线上三个点的坐标时 我们通常设一般式 然后将三个点的坐标分别代入关系式中 解方程组 求出各系数 以确定函数关系式 在已知拋物线顶点坐标时 我们通常设顶点式 只要再找到一个条件 即可求此函数关系式 在已知抛物线与x轴两个交点坐标时 我们通常设交点式 再寻找一个条件即可求函数关系式 2 正确认识二次函数与二次方程间的关系已知二次函数y ax2 bx c的函数值为k 求自变量x的值 就是解一元二次方程ax2 bx c k 反过来 解一元二次方程ax2 bx c k 就是把二次函数y ax2 bx c k的函数值看做0 求自变量x的值 学习这部分知识 可以类比一次函数与一元一次方程的关系 抛物线y ax2 bx c与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 同样满足 x1 x2 x1x2 两交点间的距离 x1 x2 1 2011 北京 抛物线y x2 6x 5的顶点坐标为 a 3 4 b 3 4 c 3 4 d 3 4 解析 y x2 6x 5 x2 6x 9 4 x 3 2 4 则抛物线顶点坐标为 3 4 基础自测 a 2 2011 乐山 将抛物线y x2向左平移2个单位后 得到的抛物线的解析式是 a y x 2 2b y x2 2c y x 2 2d y x2 2解析 抛物线y x2向左平移2个单位 得y x 2 2 a 3 2011 重庆 已知抛物线y ax2 bx c a 0 在平面直角坐标系中的位置如图所示 则下列结论中正确的是 a a 0b b 0c c 0d a b c 0解析 当x 1时 对应的点 1 y 在第一象限内 y a b c 0 d 4 2011 威海 二次函数y x2 2x 3的图象如图所示 当y 0时 自变量x的取值范围是 a 1 x 3b x 1c x 3d x 3或x 3解析 如图 可知x 1或3时 y 0 当 1 x 3时 y 0 a 5 2011 孝感 如图 二次函数y ax2 bx c的图象与y轴正半轴相交 其顶点坐标为 下列结论 ac 0 a b 0 4ac b2 4a a b c 0 其中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 1 c 解析 根据图象可知 a 0 c 0 ac 0 正确 顶点坐标横坐标等于 a b 0正确 顶点坐标纵坐标为1 1 4ac b2 4a 正确 当x 1时 y a b c 0 错误 正确的有3个 故选c 题型一待定系数法确定二次函数的解析式 例1 已知一抛物线与x轴的交点是a 2 0 b 1 0 且经过c 2 8 1 求该抛物线的解析式 2 求该抛物线的顶点坐标 解 1 设y a x 2 x 1 又抛物线过c 2 8 8 a 2 2 2 1 a 2 y 2 x 2 x 1 2 x2 x 2 2x2 2x 4 2 x y 2 2 2 4 1 4 4 顶点坐标为 题型分类深度剖析 探究提高根据不同条件 选择不同设法 1 若已知图象上的三个点 则设所求的二次函数为一般式y ax2 bx c a 0 将已知条件代入 列方程组 求出a b c的值 2 若已知图象的顶点坐标或对称轴方程 函数最值 则设所求二次函数为顶点式y a x m 2 k a 0 将已知条件代入 求出待定系数 3 若已知抛物线与x轴的交点 则设抛物线的解析式为交点式y a x x1 x x2 a 0 再将另一条件代入 可求出a值 知能迁移1已知二次函数y x2 bx c图象如图所示 它与x轴交点坐标为 1 0 与y轴的交点坐标为 0 3 1 求出b c的值 并写出此二次函数的解析式 2 根据图象 写出函数的值y为正数时 自变量x的取值范围 解 1 由题意 得解之得 y x2 2x 3 2 令y 0 得 x2 2x 3 0 解之得x1 1 x2 3 当y 0时 x的取值范围是 1 x 3 题型二利用二次函数的性质解答 例2 已知点a 1 1 在二次函数y x2 2ax b的图象上 1 用含a的代数式表示b 2 如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点 求这个二次函数的图象的顶点坐标 解 1 点a 1 1 在抛物线y x2 2ax b上 1 1 2a b b 2a 2 抛物线y x2 2ax 2a与x轴只有一个交点 2a 2 4 1 2a 0 4a2 8a 0 4a a 2 0 a 0 a 2 0 a 2 y x2 4x 4 x 2 2 顶点坐标为 2 0 探究提高某点在函数图象上 该点的横坐标 纵坐标满足函数解析式 函数y x2 2ax b的图象与x轴只有一个公共点 可知关于x的方程x2 2ax b 0有两个相等的实数根 根据此两个条件可列出关于a b的二元一次方程 解之即得函数的解析式 知能迁移2 1 抛物线y a x 1 x 3 a 0 的对称轴是 a 直线x 1b 直线x 1c 直线x 3d 直线x 3解析 令y 0 可得x1 1 x2 3 所以对称轴是直线x 1 选a a 2 二次函数y x 1 2 2的图象上最低点的坐标是 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 解析 因为a 1 0 抛物线有最低点 其坐标为 1 2 选b b 题型三利用二次函数解决实际应用题 例3 我市某大型酒店有包房100间 在每天晚餐营业时间 每间包房收包房费100元时 包房便可全部租出 若每间包房收费提高20元 则减少10间包房租出 若每间包房收费再提高20元 则再减少10间包房租出 以每次提高20元的这种方法变化下去 1 设每间包房收费提高x 元 则每间包房的收入为y1 元 但会减少y2间包房租出 请分别写出y1 y2与x之间的函数关系式 2 为了投资少而利润大 每间包房提高x 元 后 设酒店老板每天晚餐包房总收入为y 元 请写出y与x之间的函数关系式 求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入 并说明理由 解 1 y1 100 x y2 x 2 y 100 x 100 x x2 50 x 10000 x 50 2 11250 因为提价前包房费总收入为100 100 10000 当x 50时 可获得最大包房收入11250元 因为11250 10000 又因为每次提价为20元 所以每间房费应提高40元或60元 所以为了投资少而利润大 每间房费应提高60元 探究提高解决最值问题的关键是根据已知条件建立二次函数模型 利用二次函数的最大值或最小值来解 知能迁移3某商品的进价为每件40元 售价为每件50元 每个月可卖出210件 如果每件商品的售价每上涨1元 则每个月少卖10件 每件售价不能高于65元 设每件商品的售价上涨x元 x为正整数 每个月的销售利润为y元 1 求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围 2 每件商品的售价定为多少元时 每个月可获得最大利润 最大的月利润是多少元 3 每件商品的售价定为多少元时 每个月的利润恰为2200元 根据以上结论 请你直接写出售价在什么范围时 每个月的利润不低于2200元 解 1 y 210 10 x 50 x 40 10 x2 110 x 2100 0 x 15 且x为整数 2 y 10 x 5 5 2 2402 5 a 10 0 当x 5 5时 y有最大值2402 5 0 x 15 且x为整数 当x 5时 50 x 55 y 2400 当x 6时 50 x 56 y 2400 当售价定为每件55元或56元 每个月的利润最大 最大利润是2400元 3 当y 2200时 10 x2 110 x 2100 2200 x2 11x 10 0 解之得x1 1 x2 10 当x 1时 50 x 51 当x 10时 50 x 60 当售价定为每件51元或60元时 每个月的利润为2200元 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时 每个月的利润不低于2200元 或当售价分别为51 52 53 54 55 56 57 58 59 60元时 每个月的利润不低于2200元 题型四结合几何图形的函数综合题 例4 如图 已知直线y x 1交坐标轴于a b两点 以线段ab为边向上作正方形abcd 过点a d c的抛物线与直线另一个交点为e 1 请直接写出点c d的坐标 2 求抛物线的解析式 3 若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线ab下滑 直至顶点d落在x轴上时停止 设正方形落在x轴下方部分的面积为s 求s关于滑行时间t的函数关系式 并写出相应自变量t的取值范围 4 在 3 的条件下 抛物线与正方形一起平移 同时d落在x轴上时停止 求抛物线上c e两点间的抛物线弧所扫过的面积 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 1 c 3 2 d 1 3 2分 2 设抛物线为y ax2 bx c 抛物线过 0 1 3 2 1 3 解得 y x2 x 1 6分 3 当点a运动到点f时 t 1 当0 t 1时 如图1 ofa gfb tan ofa tan gfb gb t s fb g fb gb t t2 8分 图1 当点c运动到x轴上时 t 2 当1 t 2时 如图2 a b ab a f t a g b h s梯形a b hg a g b h a b t 10分 图2 当点d运动到x轴上时 t 3 当2 t 3时 如图3 a g gd s aof 1 2 1 oa 1 aof gd h 2 s gd h 2 s五边形ga b c h 2 2 t2 t 12分 图3 4 t 3 bb aa 3 s阴影 s矩形bb c c s矩形aa d d ad aa 3 15 14分 探究提高二次函数知识常与方程 不等式 三角函数 几何图形等知识综合考查 这类问题综合性强 应用知识较多 思维能力强 本题的难点在第 3 小题 解决的关键要进行分类讨论 知能迁移4 2011 桂林 已知二次函数y x2 x的图象如图 1 求它的对称轴与x轴交点d的坐标 2 将该抛物线沿它的对称轴向上平移 设平移后的抛物线与x轴 y轴的交点分别为a b c三点 若 acb 90 求此时抛物线的解析式 3 设 2 中平移后的抛物线的顶点为m 以ab为直径 d为圆心作 d 试判断直线cm与 d的位置关系 并说明理由 1 由y x2 x得x 3 d 3 0 解 2 如图1 设平移后的抛物线的解析式为y x2 x k 则c 0 k oc k 令y 0 即 x2 x k 0 得x1 3 x2 3 a 3 0 b 3 0 ab2 3 3 2 16k 36 ac2 bc2 k2 3 2 k2 3 2 2k2 8k 36 ac2 bc2 ab2 即2k2 8k 36 16k 36 得k1 4 k2 0 舍去 抛物线的解析式为y x2 x 4 图1 3 如图2 由抛物线的解析式y x2 x 4可得a 2 0 b 8 0 c 0 4 m 3 过c m作直线 连结cd 过m作mh垂直y轴于h 则mh 3 cm2 mh2 ch2 32 4 2 在rt cod中 cd 5 ad 点c在 d上 dm2 2 cd2 cm2 52 dm2 cm2 cd2 cdm是直角三角形 cd cm 直线cm与 d相切 图2 6 二次函数错例分析考题再现1 用配方法求二次函数y x2 x 图象的顶点坐标及对称轴 2 已知函数y 3x2 4x 1 当0 x 4时 求y的变化范围 学生作答1 解 y x2 x x2 4x 3 x 2 2 1 该函数图象的顶点坐标是 2 1 对称轴是直线x 2 2 解 当x 0时 y 3x2 4x 1 3 02 4 0 1 1 当x 4时 y 3 42 4 4 1 33 当0 x 4时 y的变化范围是1 y 33 易错警示 规范解答1 解 y x2 x x2 4x 3 x 2 2 1 x 2 2 该函数图象的顶点坐标是 2 对称轴是直线x 2 2 解 y 3x2 4x 1 抛物线的对称轴是直线x 当x y最小值 当x 0时 y 1 当x 4时 y 33 于是当0 x 时 y 1 当 x 4时 y 33 综上 当0 x 4时 y 33 老师忠告1 配方法是重要的数学方法 必须熟练掌握二次函数y ax2 bx c可配方写成y a x m 2 k 后者图象的顶点坐标是 m k 对称轴是直线x m 须牢记 2 求二次函数值的范围 理解二次函数y ax2 bx c有最大值或最小值的条件 当a 0时 函数图象开口向上 当x 时 函数有最小值y 当a 0时 函数图象开口向下 当x 时 函数有最大值y 当涉及到实际问题时 一定要符合实际问题的意义和条件要求 方法与技巧1 对于二次函数的解析式 要根据不同条件选用不同形式的解析式 1 已知图象上三点 选一般式 y ax2 bx c a 0 2 已知顶点或对称轴 选顶点式 y a x h 2 k