2.2010年高考试题——(全国卷2)数学文(全解析).doc

绝密 启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 高考资源网制作高考资源网制作 本卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷第 1 页至第 2 页 第 卷 第 3 页至第 4 页 考试结束后 将本试卷和答题 交回 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第第 卷卷 选择题 选择题 共共 5050 分 分 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在 每小题给出的四个选项中 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 球的表面积公式 P A B P A P B S 4 R2 如果事件 A B 相互独立 那么 P A B P A P B 一 选择题 1 设全集 集合 A 1 3 B 3 5 则 6 UxNx U AB 5 不等式的解集为 3 0 2 x x 23 xx 2 x x 23 x xx 或 3 x x 3 已知 sin 则 cos 2 2 3 A B C D 5 3 1 9 1 9 5 3 4 函数的反函数是 1 ln 1 1 yxx A B 1 1 0 x yex 1 1 0 x yex C D 1 1 R x yex 1 1 R x yex 5 若变量满足约束条件则的最大值为 x y 1 325 x yx xy 2zxy A 1 B 2 C 3 D 4 6 如果等差数列中 那么 n a 345 12aaa 127 aaa A 14 B 21 C 28 D 35 7 若曲线在点 0 处的切线方程式 0 则 2 yxaxb b1xy A B 1a 1b 1a 1b C D 1a 1b 1a 1b 8 已知三棱锥中 底面 ABC 为变长等于 2 的等边三角形 SA 垂直于底面SABC ABC SA 3 那么直线 AB 与平面 SBC 所成的角 的正弦值为 A B C D 3 4 5 4 7 4 3 4 9 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡放入 3 个不同的信封中 若每个信封放 2 张 其中标号 为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的放法共有 A 12 种 B 18 种 C 36 种 D 54 种 10 中 点在上 平分 若 ABCVDABCDACB CBa uurr CAb uu rr 1a r 则2b r CD uuu r A B C D 12 33 ab rr 21 33 ab rr 34 55 ab rr 43 55 ab rr 11 与正方体 ABCD A1B1C1D1的三条棱AB CC1D所在直线的距离相等的点 1 A A 有且只有 1 个 B 有且只有 2 个 C 有且只有 3 个 D 有无数个 12 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 过右焦点 F 且斜率 2 2 a x 2 2 b y 2 3 k k 0 的直线与 C 相交于 A B 亮点 若 3 则 k AFFB A 1 B C D 223 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在答题卡上 13 已知是第二象限的角 tan 1 2 则 cos 14 的展开式中 3 的系数是 9 1 x x x 15 已知抛物线的准线为 过且斜率为的直线与 相 2 2 0 C ypx p l 1 0 M3l 交于点 与的一个交点为 若 则 ACBAMMB p 16 已知球的半径为 4 圆与圆为该球的两个小圆 为圆与圆的公共OMNABMN 弦 若 则两圆圆心的距离 4AB 3OMON MN 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 三角形 ABC 中 D 为边 BC 上的一点 BD 33 sinB cos adc 求 AD 18 本小题满分 12 分 已知 an 是各项均为正数的等比例数列 且 A1 a2 2 a2 a3 a4 64 求 an 的通项公式 设 Bn an 2 求数列 bn 的前 N 项和 Tn 19 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC AA1 AB D 为 BB1的中点 E 为 AB1上的一 点 AE 3EB1 证明 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 DE 为异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45o 求二面角 A1 AC1 B1的大小 20 本小题满分 12 分 如图 由 M 到 N 的电路中有 4 个元件 分别标为 T1 T2 T3 T4 电流能通过 T1 T2 T3的 概率都是 P 电流能通过 T4的概率是 0 9 电流能否通过各元件相互独立 已知 T1 T2 T3中 至少有一个能通过电流的概率为 0 999 求 P 求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 20 本小题满分 12 分 如图 由 M 到 N 的电路中有 4 各元件 分别为 T1T2T3T 4 电流通过 T1T2T3的概率是 P 电流能通过 T 4的概率是 0 9 电流量通过各元件相互独立 已知 T1T2T3中至少有一 个能通过电源的概率为 0 999 1 求 P 2 求电源能在 M 与 N 之间的概率 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x x3 3ax2 3x 1 1 设 a 2 求 f x 的单调区间 2 设 f x 在区间 2 3 中至少有一个极致点 求 a 的取值范围 22 本小题满分 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 设 设在区间 2 3 中至少有一个极值点 求 a 的取值范围 22 本小题满分 12 分 已知斜率为 1 的直线与双曲线相交于 B D 两点 且 BD 的中点为 求 C 的离心率 设 C 的右顶点为 A 右焦点为 F 证明 过 A B D 三点的 圆与 x 轴相切 x y O 15 3 2 5 A 1 1 2010 年高考试题年高考试题 全国卷 全国卷 2 数学文解析 数学文解析 一 选择题 一 选择题 1 答案 C 命题立意 本题考查了集合的并集与补集运算 属基础概念题 解题思路 由已知条件可得 1 2 3 4 5 U 1 3 5 AB 故应选 C 2 4 U AB 2 答案 A 命题立意 本题考查了分式不等式的求解问题 考查分类讨论思想方法 解题思路 由可得 故应选 A 3 0 2 x x 2 3 x 3 答案 B 命题立意 本题考查了余弦二倍角公式及诱导公式 属基础公式应用题型 解题思路 sin cos 2 2 3 22 21 cos22sin12 1 39 故应选 B 4 答案 D 命题立意 本题考查了反函数的求解问题 属基础运算题型 解题思路 由可得且 1 ln 1 1 yxx yR 1 1 y xe 即可得函数的反函数是 故应选 D 1 ln 1 1 yxx 1 1 R x yex 易错点 反求解析式时容易忽视原函数值域的判断或判断出错 5 答案 C 命题立意 本题考查了线性规划问题 考查数形结合思想的应用 解题思路 不等式组 1 325 x yx xy 所表示的可行域如右图所示 当平行直线系过点 A 1 1 时 2xyz 目标函数取得最大值 2zxy 故应选 C max 2 1 13z 题眼 将目标函数所代表的平行直线系在可行域的边界上平移是找出最值最优解的关键 6 答案 C 命题立意 本题考查了等差数列的性质及其基本量的运算 考查函数与方程思想 解题思路 是等差数列 即得 n a 3454 312aaaa 4 4a S A B C M N A B B D C EF 故应选 C 17 1274 7 728 2 aa aaaa 题眼 利用好等差中项是此题速解的关键 7 答案 A 命题立意 本题考查了导数的概念及其几何意义 属数形结合的应用问题 解题思路 由可得在点 0 处切线的斜率 2yxa b1ka 又由 0 在切线上可得 故应选 A b1xy 1b 8 答案 D 命题立意 本题考查了直线与平面所成角问题 考查空间想象能力 解题思路 如右图所示 取 BC 边中点 M 连 结 AM SM 过点 A 作 AN SM 于点 N 连结 BN 由 BC AM BC SA 可得 BC 平面 SAM 则 BC AN 又由 AN SM 可得 AN 平面 SBC 即得 ABN 就是直线 AB 与平面 SBC 所成的角 由 可得 3 3AMSA 2 3SM 故应选 D 3 2 SAAM AN SM 3 sin 4 AN ABN AB 题眼 此题可以作出点到平面的距离 其关键在于找到线面垂直的中面的垂线 另外 利用 体积法求点到平面的距离也是一种以算代证的好方法 9 答案 B 命题立意 本题考查了排列组合方法解决分组与分配问题 考查逻辑推理能力及分类讨 论思想 解题思路 先将标号为 1 2 的卡片放入同一信封 有种放法 再将剩下的四份试卷平 1 3 C 均放入另两个信封中 共有种放法 由分步乘法原理可得不同的方法共有 22 42 C C 种 故应选 B 122 342 18C C C 易错点 重复计算或遗漏其中的一类是此类问题解决中常出现的错点 10 答案 B 命题立意 本题考查了平面向量的基本定理及平面几何图形的性质探究 考查数形结合思 想方法的应用 解题思路 如右图所示 分别过点 D 作 DE BC 交 AC 于点 E DF AC 交 BC 于点 F 由平分 可得 CDACB 1 2 CBBD CADA 则 21 33 CFDEDACEDFBD CBBCABCAACBA 故应选 B 2121 3333 CDCFCECBCAab 题眼 利用平面几何的图形信息特别是角平分线的性质转化 可以将问题转化为平行性 分线段成比例的性质进行研究 x y O 1 F F A B C D E 11 答案 D 命题立意 本题考查了空间点到直线的距离问题 考查空间想象能力 解题思路 在正方体的对角线上所有的点到三条棱 1111 ABCDABC D 1 DBAB 所在直线的距离都相等 故应选 D 1 CC 11 AD 易错点 考生多将问题想象特殊化为正方体的中心点 属于对空间几何模型认识的思维定 势 12 答案 B 命题立意 本题考查了直线与椭圆的位置关系 考查数形结合思想的应用 解题思路 如右图所示 分别过点 A B 作椭圆右准线 的垂线段 AD BC 过点 B 作 BE AD 于点 E 由椭圆的第二定义可得 BFAF BCAD ee 2AFBFBF AEADBC eee 则 故 2 11 cos 423 BF AE e BAE ABBFe 2 sin 3 BAE tan2kBAE 应选 B 题眼 若直接利用直线与椭圆的位置关系代入椭圆方程求解 计算量太大 而利用椭圆的第 二定义将问题转化为平面几何图形的性质进行探究 则可使问题的解决非常直观清晰 二 填空题 二 填空题 13 答案 2 5 5 命题立意 本题考查了同角三角函数关系 属基础公式应用题型 解题思路 是第二象限的角 tan a 1 2 2 112 5 cos 51 1tan 1 4 14 答案 84 命题立意 本题考查了二项式定理及其通项公式的应用 属基础公式应用问题 解题思路 二项式的展开式的通项公式为 9 1 x x 99 2 99 1 rrrrr CxCx x 令可得 则的系数是84 923r 3r 3 x 3 9 C 易错点 要注意二项式展开式通项公式中上标数据计算的正确性 15 答案 2 命题立意 本题考查了直线与抛物线的位置关系 考查数形结合思想及分析问题解决问题 的能力 x y O M B A l O M N O CCA B 解题思路 由题意可得过点 M 的直线方程为 3 1 yx 将代入可得点 A 的坐标为 2 p x 3 2 22 pp 由可得点 B 的坐标为 AMMB 3 2 2 22 pp 代入可得 解之得 舍去 或 2 2ypx 2 3 2 2 2 42 pp p 6p 2p 题眼 条件可以直接理解为中点坐标的应用 这相可以简化直线方程与抛物线AMMB 方程联立带来的复杂运算 16 答案 3 命题立意 本题考查了球面上的截面的性质及棱面圆的性质 考查空间想象能力 解题思路 如右图所示 取 AB 中点 C 由4AB 可得 OC 又由 22 2 3OBBC 3OMON 可得 即得 3 cos 2 NO NOC OC 0 30NOCMOC 是等边三角形 即得 MN ON 3 MON 题眼 球面截面相交问题及其相交的弦需要作出两个辅助图形 其处处体现了化归意识的 应用 解题时不急于作出整个的球体直观图 直接化归即可 全卷分析 全卷分析 试卷亮点 2010 年高考数学全国二卷与 2009 年高考试卷的题型和分数比例完全一致 难度稳中有升 其更加注重知识的综合力度 对运算的能力要求相对提高 突出了对学生数 学能力和数学思想方法的考察 虽然题型仍然常规 但灵活多变 能力题及创新题有效地 拉开了考生的差距 复习使用指导 高三复习中要正确处理课本与教辅之间的关系 对课本要做到 梳理教 材知识结构 提炼结构组块 立足教材基本例题 习题 搞好变式研究 对教辅要做到 精 心选择 精心取舍 精讲精练 减轻学生负担 避免 题海战 切忌不加思考 不及时总 结与反馈 2010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考文科数学试题参考答案和评分参考 三 解答题三 解答题 17 解 解 由 3 cos0 52 ADCB 知 由已知得 124 cos sin 135 BADC 从而 sinsin BADADCB sincoscossinADCBADCB 41235 513513 33 65 由正弦定理得 AD sinsin BD BBAD 所以 sin AD sin BDB BAD 5 33 13 25 33 65 18 解 解 设公比为 q 则 由已知有 1 1 n n aa q 11 11 234 111 234 111 11 2 111 64 aa q aa q a qa qa q a qa qa q 化简得 2 1 26 1 2 64 a q a q 19 解法一 解法一 连结 记与的交点为 F 因为面 1 A B 1 A B 1 AB 为正方形 故 且 又 11 AA BB 11 A BAB 1 AF FB 所以 又 D 为的中点 故 1 AE 3EB 1 FE EB 1 BB 1 DEBFDEAB 作 G 为垂足 由 AC BC 知 G 为 AB 中点 CGAB 又由底面面 得 ABC 11 AA B BCG 11 AA B B 连结 DG 则 故 由三垂线定理 得 1 DGAB DEDG DECD 所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线 1 AB 因为 故为异面直线与的夹角 1 DGAB CDG 1 ABCDCDG 45 设 AB 2 则 1 AB2 2 DG 2CG 2AC 3 作 H 为垂足 因为底面 故 111 B HA C 11111 A B CAAC C 面 111 B HAAC C 面 又作 K 为垂足 连结 由三垂线定理 得 因此为 1 HKAC 1 B K 11 B KAC 1 B KH 解法二 解法二 以 B 为坐标原点 射线 BA 为轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系x Bxyz 设 AB 2 则 A 2 0 0 D 0 1 0 1 B 0 2 0 1 3 E 0 2 2 又设C 1 0 c 则 1 1 1 DE0B A 2 2 0 DC 1 1 c 2 2 于是 1 DE B A 0 DE DC 0 AA 故 1 DEB ADEDC 所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线 1 AB 因为等于异面直线与 CD 的夹角 1 B A DC 1 AB 故 11 cos45B A DCB A DC AA 即 2 2 2 224 2 c 解得 故 2c AC 22 1 又 11 AA BB 0 2 0 所以 11 AC AC AA 1 22 所以 1 cos 15 m n m n m n A 由于等于二面角的平面角 m n 111 A AC B 所以二面角的大小为 111 A AC B 15 arccos 15 2020 解 解 记表示事件 电流能通过 1 AT 1 2 3 4 i i A 表示事件 中至少