高考数学二轮专题复习 几何证明选讲课件 新人教版选修41.ppt

1 相似三角形的判定及有关性质 1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 2 相似三角形的判定判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似 判定定理2 两边对应成比例 并且夹角相等的两个三角形相似 判定定理3 三边对应成比例的两个三角形相似 3 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 2 直角三角形的射影定理及逆定理 1 射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 2 射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项 那么这个三角形是直角三角形 3 圆周角与圆心角定理 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 3 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 4 圆内接四边形的性质与判定定理 1 判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 2 性质定理 圆的内接四边形的对角互补 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 5 圆的切线的判定及性质 1 圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 3 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 6 直线与圆位置关系的 四定理 1 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 2 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 3 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 4 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 如图 abc的角平分线ad的延长线交它的外接圆于点e 1 证明 abe adc 判定两个三角形相似要注意结合图形的特点灵活选择判定定理 1 证明三角形相似 往往可以转化为证明角相等 而证明角相等的方法有 弦切角 圆周角 圆心角等相关结论 2 证明三角形相似时也可以转化为证明线段成比例 而证明线段成比例的方法有射影定理 相交弦定理 割线定理 切割线定理等 1 如右图 在梯形abcd中 ab cd 且ab 2cd e f分别是ab bc的中点 ef与bd相交于点m 1 求证 edm fbm 2 若db 9 求bm 2011 新课标全国卷 如图 d e分别为 abc的边ab ac上的点 且不与 abc的顶点重合 已知ae的长为m ac的长为n ad ab的长是关于x的方程x2 14x mn 0的两个根 1 证明 c b d e四点共圆 2 若 a 90 且m 4 n 6 求c b d e所在圆的半径 证明四点共圆的主要方法有以下四种 1 如果四点与一定点距离相等 那么这四点共圆 2 如果四边形的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 3 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 4 如果两个三角形有公共边 公共边所对的角相等 且在公共边的同侧 那么这两个三角形的四个顶点共圆 2 如图 在 abc中 c为钝角 点e h分别是边ab上的点 点k和m分别是边ac和bc上的点 且ah ac eb bc ae ak bh bm 1 求证 e h m k四点共圆 2 若ke eh ce 3 求线段km的长 2 解析 1 证明 连接ch ac ah ak ae 四边形chek为等腰梯形 注意到等腰梯形的对角互补 故c h e k四点共圆 同理c e h m四点共圆 即e h m k均在点c e h所确定的圆上 即e h m k四点共圆 2 连接em 由 1 得e h m c k五点共圆 cehm为等腰梯形 em hc 故 mke ceh 由ke eh可得 kme ech 故 mke ceh 即km ec 3 如图 ab是 o的直径 c f为 o上的点 ca是 baf的平分线 过点c作cd af交af的延长线于d点 cm ab 垂足为点m 1 求证 dc是 o的切线 2 求证 am mb df da 证明 1 连接oc oa oc oca oac 又 ca是 baf的平分线 dac oac dac oca ad oc 又cd ad oc cd 即dc是 o的切线 2 ca是 baf的平分线 cda cma 90 cd cm 由 1 知dc2 df da 又cm2 am mb am mb df da 1 判定切线通常有三种方法 和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线 和圆心距离等于半径的直线是圆的切线 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 2 已知圆的切线时 第一要考虑过切点和圆心的连线得直角 第二应考虑弦切角定理 第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理 3 如图所示 o1与 o2相交于a b两点 过点a作 o1的切线交 o2于点c 过点b作两圆的割线 分别交 o1 o2于点d e de与ac相交于点p 1 求证 ad ec 2 若ad是 o2的切线 且pa 6 pc 2 bd 9 求ad的长 解析 1 证明 连接ab ac是 o1的切线 bac d 又 bac e d e