2011年数学文（全国）

欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 2011年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 （ 必修 +选修 II） 本试卷分第卷 （ 选择题 ） 和第卷 （ 非选择题 ） 两部分。第卷 1至 2页。第卷 3至 4页。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号， 在试题卷上作答无 效。 3第卷共 l2小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 1 设集合 U= 1,2,3,4 , 1, 2, 3 ,M 2, 3, 4 ,N 则 =（ MN） A 12， B 23， C 2， 4 D 1， 4 2 函数 2 ( 0 )y x x 的反函数为 A 2 ()4xy x RB 2 ( 0 )4xyx C 24yx ()xR D 24 ( 0 )y x x 3 权向量 a,b满足 1| | | | 1 ,2a b a b ,则 2ab A 2 B 3 C 5 D 7 4 若变量 x、 y满足约束条件 6321xyxyx ，则 23z x y的最小值 为 A 17 B 14 C 5 D 3 5 下面四个条件中，使 ab 成立的充分而不必要的条件是 A 1ab B 1ab C 22ab D 33ab 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 6设nS为等 差数列 na的前 n项和，若1 1a，公差为22 , 2 4kkd S S ，则 k= A 8 B 7 C 6 D 5 7 设函数 ( ) c o s ( 0 )f x x ，将 ()y f x 的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于 A 13B 3 C 6 D 9 8已知二面角 l ，点 ,A A C lC 为垂足，点 ,B B D l， D 为垂足，若 AB=2，AC=BD=1，则 CD= A 2 B 3 C 2 D 1 9 4位同学每人从甲、乙、丙 3门课程中选修 1门，则恰有 2人选修课程甲的不同选法共有 A 12种 B 24种 C 30种 D 36种 10 设 ()fx是周期为 2的奇函数，当 0 x 1时， ()fx= 2 (1 )xx ，则 5()2f = A -12B 1 4C 14D 1211 设两圆1C、2C都和两坐标轴相切，且都过点（ 4， 1），则两圆心的距离12CC= A 4 B 42 C 8 D 82 12 已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 060 ，二面角的平面 截该球面得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M的面积为 4 ，则圆 N的面积为 A 7 B 9 C 11 D 13 第卷 注意事项： 1 答题前，考生先在答题卡上用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。 2 第卷共 2 页，请用直径 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷 上作答无效。 3 第卷共 l0小题，共 90分。 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把答案填在题中横线上 （ 注意： 在试卷上作答 无效 ） 13 （ 1- x ） 10的二项展开式中， x的系数与 x9的系数之差为 : 14 已知 a （ 3,2） ， t a n 2 , c o s 则 = 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 15 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为 C1D1的中点， 则异面直线 AE与 BC所成角的余弦值为 。 16 已知 F1、 F2分别为双曲线 C: 29x- 227y=1 的左、右焦点，点 A C，点 M 的坐标为 （ 2， 0） ，AM为 F1AF2的平分线则 |AF2| = 三 、 解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （ 本小题满分 l0分 ）（ 注意： 在试题卷上作答无效 ） 设 等比 数列 na的前 n项和为nS,已知2 6,a 136 3 0,aa求na和nS18 （本小题满分 2分）（注意： 在试题卷上作答无效 ） ABC的内角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c 己知 s i n c s i n 2 s i n s i n ,a A C a C b B （ ） 求 B； （）若 07 5 , 2 ,A b a c 求 与 19 （本小题满分 l2分）（注意： 在试题卷上作答无效 ） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立。 （ I） 求该地 1位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1种概率； （ II） 求该地的 3位车主中恰有 1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。 20 （本小题满分 l2分）（注意： 在试题卷上作答无效 ） 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 如图，四棱锥 S ABCD 中， AB CDP , BC CD ，侧面 SAB 为等边三角形， 2 , 1A B B C C D S D （ I）证明： SD 平面 SAB； （ II）求 AB与平面 SBC所成的角的大小。 21 （本小题满分 l2分）（注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知函数 32( ) 3 ( 3 6 ) 1 2 4f x x a x a x a a R （ I）证明：曲线 ( ) 0y f x x在 处的切线过点（ 2， 2）； （ II）若0()f x x x在处取得极小值，0 (1,3)x ，求 a的取值范围。 22 （本小题满分 l2分）（注意： 在试题卷上作答无效 ） 已知 O为坐标原点， F为椭圆 22:12yCx在 y轴正半轴上的焦点 ，过 F且斜率为 -2的直线 l 与 C交与 A、 B两点，点 P满足 0.O A O B O P uuur uuur uuur （ ） 证明：点 P在 C上； （ II） 设点 P关于 O的对称点为 Q，证明： A、 P、 B、 Q四点在同一圆上。 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 参考答案 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2对计 算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给力，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数，选择题不给中间分。 一、选择题 1 6 DBBCAD 7 12 CCBACD 二、填空题 13 0 14 5515 2316 6 三、解答题 17解：设 na的公比为 q，由题设得 12116,6 3 0 .aqa a q 3分 解得 113 , 2 ,2 , 3 .aaqq或 6分 当 11 3 , 2 , 3 2 , 3 ( 2 1 ) ;nnnna q a S 时当 11 2 , 3 , 2 3 , 3 1 .nnnna q a S 时 10分 18解： （ I）由正弦定理得 2 2 22.a c a c b 3分 由余弦定理得 2 2 2 2 c o s .b a c a c B 故 2c o s , 4 5 .2BB 因 此 6分 （ II） s i n s i n ( 3 0 4 5 )A s i n 3 0 c o s 4 5 c o s 3 0 s i n 4 526 .4 8分 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 故 s i n 2 6 1 3 ,s i n 2AabB s i n s i n 6 02 6 .s i n s i n 4 5Ccb B 12分 19解：记 A表示事件：该地的 1位车主 购买甲种保险； B表示事件：该地的 1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的 1位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1种； D表示事件：该地的 1位车主甲、乙两种保险都不购买； E表示事件：该地的 3位 车主中恰有 1位车主甲、乙两种保险都不购买。 （ I） ( ) 0 . 5 , ( ) 0 . 3 , ,P A P B C A B 3分 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 8 .P C P A B P A P B 6分 （ II） , ( ) 1 ( ) 1 0 . 8 0 . 2 ,D C P D P C ur 9分 123( ) 0 . 2 0 . 8 0 . 3 8 4 .P E C 12分 20解法一： （ I）取 AB中点 E，连结 DE，则四边形 BCDE为矩形， DE=CB=2， 连结 SE，则 , 3 .S E A B S E 又 SD=1，故 2 2 2E D S E S D， 所以 DSE 为直角。 3分 由 ,A B D E A B S E D E S E E I， 得 AB 平面 SDE，所以 AB SD 。 SD与两条相交直线 AB、 SE都垂直。 所以 SD 平面 SAB。 6分 （ II）由 AB 平面 SDE知， 平面 ABCD 平面 SED。 作 ,SF DE 垂足为 F，则 SF 平面 ABCD， 3 .2S D S ESF DE作 FG BC ，垂足为 G，则 FG=DC=1。 连结 SG，则 SG BC ， 又 ,B C F G S G F G GI， 故 BC 平面 SFG，平面 SBC 平面 SFG。 9分 作 FH SG ， H为垂足，则 FH 平面 SBC。 37S F F GFHSG，即 F到平面 SBC的距离为 21.7 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 由于 ED/BC，所以 ED/平面 SBC， E到平面 SBC的距离 d也有 21.7设 AB与平面 SBC所成的角为， 则 2 1 2 1s i n , a r c s i n .77dEB 12分 解法二： 以 C为坐标原点，射线 CD为 x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz。 设 D（ 1， 0， 0），则 A（ 2， 2， 0）、 B（ 0， 2， 0）。 又设 ( , , ) , 0 , 0 , 0 .S x y z x y z 则 （ I） ( 2 , 2 , ) , ( , 2 , )A S x y z B S x y z u u ur u u ur， ( 1, , )D S x y zuuur ， 由 | | | |AS BSuuur uuur 得 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ,x y z x y z 故 x=1。 由 22| | 1 1 ,D S y z uuur 得 又由 2 2 2| | 2 ( 2 ) 4 ,B S x y z u uur 得 即 22 134 1 0 , , .22y z y y z 故 3分 于是 1 3 3 3 3 3(1 , , ) , ( 1 , , ) , (1 , , )2 2 2 2 2 2S A S B S u u ur u u ur， 13( 0 , , ) , 0 , 0 .22D S D S A S D S B S u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur 故 , , ,D S A D D S B S A S B S S I又 所以 SD 平面 SAB。 （ II） 设平 面 SBC的法向量 ( , , )a m n p ， 则 , , 0 , 0 .a B S a C B a B S a C B u u ur u u ur u u ur u u ur 又 33(1 , , ) , ( 0 , 2 , 0 ) ,22B S C B u uur u u ur 故 33 0,222 0 .m n pn 9分 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 欢迎访问豆丁网：免费文档下载 取 p=2得 ( 3 , 0 , 2 ) , ( 2 , 0 , 0 )a A B u u ur又。 21c o s , .7| | | |A B aA B aA B au u uru u uru u ur 故 AB与平面 SBC所成的角为 21arcsin .721解：（ I） 2( ) 3 6 3 6 .f x x a x a 2分 由 ( 0 ) 1 2 4 , ( 0 ) 3 6f a f a 得曲线 ( ) 0y f x x在 处的切线方程为 由此知曲线 ( ) 0y f x x在 处的切线过点（ 2， 2） 6分 （ II）由 2( ) 0 2 1 2 0 .f x x a x a 得 （ i）当 2 1 2 1 , ( )a f x 时没有极小值； （ ii）当 2 1 2 1 , ( ) 0a a f x 或 时 由得 22122 1 , 2 1 ,x a a a x a a a 故02.xx由题设知 21 2 1 3 .a a a 当 21a 时，不等式 21 2 1 3a a a 无解。 当 21a 时，解不等式 2 51 2 1 3 2 1 .2a a a a 得综合（ i）（ ii）得 a的取值范围是 5( , 2 1).2 12分 22解 ：（ I） F（ 0， 1）， l 的方程为 21yx ， 代入 22 12yx 并化简得 24 2 2 1 0 .xx 2分 设1 1 2 2 3 3(