角平分线专题.docx

第一章 遇到角平分线常加的辅助线第一节 点在线 垂两边解题方法技巧过角平分线上一点向角的两边做垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质来证明问题。例：如图，在中，=,AB=3，M为边BC上的点，连接AM，如果将沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 练习1 已知：在中，=，AD平分，CD=1.5，BD=2.5，求AC。2.已知：如图，=,=,求证：AP平分.第二节 角边等 造全等解题方法技巧 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形如图，如取OE=OF,并连接DE,DF，则有,从而为我们证题创造了线段，角相等的条件。另外，将角的一边以角平分线为轴翻转后与另一边重合，用这种方法可构造全等三角形，使条件与结论的关系明朗化。如图，AB为的角平分线，将以直线AB为轴翻转，使C点落在C（即在AN上截取AC=AC）处，使得. 例 如图，AB/CD,BE平分，CE平分，点E在AD上，求证：BC=AB+CD. 练习 1. 如图，在中，BD平分，若AD=6。则CD= 2.如图，=，AD垂直平分线段BC于点D,的角平分线BE交AD于点E,连接EC,则的度数是 3.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( ) A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm 第三节 角平分 等腰呈解题方法技巧 1 有角平分线时，常过角平分线上一点做角的另一边的平行线，从而构造等腰三角形如图，AC/OB.则有，故，从而有AO=AC. 2 有角平分线时，也可以过角的一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，从而构造等腰三角形如图，OC/DE，故由 OC/DE 例 已知：如图，在中（ABAC）,D,E在 BC , 且DE=EC, 过D 作DF/BA 交AE 于点 F,DF=AC. 求证： AE 平分练习 1 如图，已知在 中，AD平分 ，BD AD,DE/AC,求证：BE=AE.2 如图，在 中，AB=AC,BD,AM分别是 的平分线，DN BC,GF BD. 求证： MN= BF.3 已知：如图，过 的边BC的中点D作 的角平分线AG的平行线，交AB,BC及CA的延长线于点E,D,F.求证：BE=CF第四节 角分垂 等腰归 解题方法技巧 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用等腰三角形“三线合一”的性质（若题目条件中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段止于角的另一边）。另外，利用所作的垂直还能够造一对全等的直角三角形 如图，于E,如延长DE交OB 于F,则,有DE=EF=DF,OD=OF,等结论。 例1 如图，已知在中，求证：AC-AB=2BE.例2 已知：如图，在 中，AD平分交AD的延长线于M，求证：AM= (AB+AC)练习 1 已知：在中，AB=5，AC=3，D 是BC中点 ,AE是的平分线, 且于 E, 连接DE. 求DE.2 已知：在中，BD,CE是的角平分线，于F，于G，连接FG.求证：FG/BC3 已知：如图，于F, 于E,G 为BC中点，连接GE,GF.求证：GF=GE第五节 加等角 相似找解题方法技巧 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形如图，已知，若过AO上一点C作于D,过OB上一点E作于F,则有. 如图，已知若分别过ON上点C,E作于D,于F,则有如图，已知若作，则例 已知：如图，1与2外切于点P,直线O1O2交1于点A,交2于点D，点C在2上，连接AC交1于点B，且PC平分求证:PC2=PBPD 练习 1 已知在中，,AD平分，交BC于D,CD:BD=3:5，AB=10，求BC的长。2 已知：如图，,OE平分，直线PRQ分别交OX,OE,OY于点P,R,Q.求证：第六节 等角现 连对弦解题方法技巧 有圆周角（或圆心角）平分线时：（1） 连等角对的弦，利用圆中的有关定理得相等线段 如图，若PM平分，ON平分，则连接AM,BM,CN,DN,可得AM=BM,CN=DN（2） 连等角对的弧所对的其他圆周角（圆心角），利用圆周角定理及其推论得角的相等关系如图，若PM平分，连接OM,OB,则。若在上另取一点C，连接MC,BC,则 （3） 连接圆心与角平分线和圆的交点，利用垂径定理得线段的垂直平分线如图，连接OM,AB,则有OM垂直平分AB.这样可得线段相等，角相等和垂直，为我们证明创造必要的条件。例1 已知：如图，内接于，AD为的高，AM平分。求证：（1）ABAC=2ADAO (2)AM平分例2 已知：如图，内接于，AD平分，交BC于点D,AD的延长线交于点M,过M作PQ/BC分别交AB,AC的延长线于点P,Q.求证：PQ是的切线。练习 1 已