全国高考数学复习第八篇圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明专题习题理.docx

第二课时最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题4,7范围问题1,2,6,8证明问题3,51.(2017重庆一中月考)已知椭圆+=1(ab0)的两个焦点为F1,F2,椭圆上一点M(,)满足=0.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:y=kx+与椭圆有不同交点A,B,且1(O为坐标原点),求实数k的取值范围.解:(1)设F1(-c,0),F2(c,0),=(-c-,-),=(c-,-),因为=0,所以-c2+=0,所以c2=3.所以a2-b2=3,又点M在椭圆上,所以+=1.将代入得+=1,整理为a4-6a2+8=0,所以a2=2或a2=4,因为a23,所以a2=4,b2=1.所以椭圆方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y解得(+k2)x2+2kx+1=0.x1+x2=-,x1x2=,0.则=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+2=1.所以k20得k2,所以k2b0)与双曲线-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求OMN面积的取值范围.解:(1)因为双曲线的离心率为,所以椭圆的离心率e=,又因为直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,右顶点为(2,0),即a=2,所以c=,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意可设直线l的方程为y=kx+m(k0,m0),M(x1,y1),N(x2,y2),联立消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则x1+x2=-,x1x2=,于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列所以=k2-+m2=0.由m0得k2=,k=.又由=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0,得0m2b0)的短轴长为2,点M(2,1)在C上,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A,B.(1)求椭圆C的方程;(2)证明:直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.(1)解:依题意2b=2,所以b=,所以椭圆C的方程为+=1,将M(2,1)代入,得+=1,解得a2=8,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,A(x1,y1),B(x2,y2),l:y=x+m,则k1=,k2=,所以k1+k2=+=,(*)由得x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,代入(*)式,得k1+k2=0.所以直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.4.(2015浙江卷)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称. (1)求实数m的取值范围;(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).解:(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得(+)x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以=-2b2+2+0, 将线段AB中点M(,)代入直线方程y=mx+,解得b=-.由得m.(2)令t=(-,0)(0,),则|AB|=,且O到直线AB的距离为d=.设AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|d=.当且仅当t2=时,等号成立.故AOB面积的最大值为.5.导学号 18702508已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于M点,若=1,=2,求证:1+2为定值.(1)解:设椭圆C的方程为+=1(ab0),因为抛物线y=x2的焦点坐标是(0,1),所以b=1.又有=,即=,所以a2=5.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设A,B,M点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0).易知右焦点F的坐标为(2,0).因为=1,所以(x1,y1-y0)=1(2-x1,-y1).即x1=,y1=.将A点坐标代入到椭圆方程中,得()2+()2=1.去分母整理得+101+5-5=0.同理,由=2可得+102+5-5=0.所以1,2是方程x2+10x+5-5=0的两个根,所以1+2=-10为定值.6.已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为4,且与椭圆x2+=1有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同的两点A,B.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.解:(1)因为椭圆C的焦距为4,所以c=2.又因为椭圆x2+=1的离心率为,所以椭圆C的离心率e=,所以a=2,b=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2+4kx-6=0,所以x1+x2=,x1x2=.由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0),因为右焦点F在圆的内部,所以0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y20,即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+10,所以(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=(1+k2)+(k-2)+5=0,所以k.经检验,当kb0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点,且长轴长为4.(1)求椭圆E的方程;(2)若A是椭圆E的左顶点,经过左焦点F的直线l与椭圆E交于C,D两点,求OAD与OAC的面积之差的绝对值的最大值.(O为坐标原点)解:(1)由题意得=,又2a=4,则a=2,所以c=1.又b2=a2-c2=4-1=3,故椭圆E的方程为+=1.(2)设OAD的面积为S1,OAC的面积为S2.当直线l斜率不存在时,直线方程为x=-1,此时不妨设D(-1,),C(-1,-),且OAD,OAC面积相等,|S1-S2|=0.当直线l斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k0),设C(x1,y1),D(x2,y2),和椭圆方程联立得消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.显然0,方程有根,且x1+x2=-.此时|S1-S2|=2|y2|-|y1|=|y2+y1|=|k(x2+1)+k(x1+1)|=|k(x2+x1)+2k|=.因为k0,所以上式=(k=时等号成立).所以|S1-S2|的最大值为.8.导学号 18702510已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为2,且过点(1,),右焦点为F.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点. (1)求椭圆C的方程;(2)求的取值范围.解:(1)因为焦距为2,所以a2-b2=1.因为椭圆C过点(1,),所以+=1.故a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题意知,当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-,此时P(-,0),Q(,0),又F(1,0),得=-1.当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k0),M(-,m)(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1,y1+y2=2m.由得(x1+x2)+2(y1+y2)=0,则-1+4mk=0,故k=.此时,直线PQ斜率为k1=-4m,直线PQ的方程为y-m=-4m(x+).即y=-4mx-m.联立整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.设P(x3,y3),Q(x4,y4),所以x3+x