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文档简介

一、计算函数的上界、下界和准确界，并给出证明：1、指数函数f(n)=52n+n2。解：令n0=0，当n=n0时，有c1=5，g(n)=2n，使得：f(n)52n=c1g(n)所以，f(n)=（g(n)）=(2n)。令n0=4，当nn0时，有：c2=6，g(n)=2nf(n)52n+2n62n=c2(g(n)所以，f(n)=O(g(n)=O(2n)。同时，有：c1g(n)f(n)c2(n)所以，f(n)=(2n)。2、 对数函数f(n)=log2n2。因为：log2n2=2lon2n令n0=1，c1=1,c2=3,g(n)=log2n,有：c1g(n)2lon2nc2g(n)所以：log2n2=(log2n)。3、 函数f(n)=log2j因为：log2jlog2n=nlog2n令n0=1,c1=1,g(n)=nlog2n,有：log2jc1g(n)所以，log2j=0（g(n)）=O(nlog2n)另一方面，假定n是偶数，log2jlog2=log2=(log2n-1)=(log2n+log2n-2)因此，令n0=4,c2=，g(n)=nlog2n,对所有的nn0,都有：log2jnlog2n=c2g(n)所以，log2j=(g(n)=(nlog2n)同时，有：c2g(n)log2jc1g(n)所以，log2j=（g(n)）=(nlog2n)由此，可以证明：log2n！=(nlog2n)。2、 用递推法求解递归方程。1、 汉诺塔的递归方程为：h(n)=2h(n-1)+1h(1)=1解：h(n)=2h(n-1)+1=22h(n-2)+1+1=4h(n-2)+3 =42h(n-3)+1+3=8h(n-3)+7 =82h(n-4)+1+7=16h(n-4)+15 =2n-22hn-(n-1)+1+2n-2-1=2n-1h(1)+2n-1-1 =2n-12、 解如下递归函数：f(n)=nf(n-1)f(0)=1解：f(n)=nf(n-1)=n(n-1)f(n-2)=n(n-2)(n-3)f(n-4) =n(n-2)(n-3)n-(n-1)f(n-n) =n(n-2)(n-3)1f(0) =n!3、 解如下的递归函数：f(n)=nf(n-1)+n!f(0)=0解：f(n)=nf(n-1)+n!=n(n-1)f(n-2)+(n-1)!+n! =n(n-1)f(n-2)+2n!=n(n-1)(n-2)f(n-3)+(n-2)!+2n! =n(n-1)(n-2)f(n-3)+3n!= =n(n-1)(n-2)n-(n-1)f(n-n)+nn! =n!f(0)+nn!=0+nn! =nn!4、解如下的递归方程：f(n)=2f(n-1)+nf(0)=0解：f(n)=2f(n-1)+nf(n)+n+2=2f(n-1)+(n-1)+2=22f(n-2)+(n-2)+2=4f(n-2)+(n-2)+2=42f(n-3)+(n-3)+2=8f(n-3)+(n-3
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