第8章而由于.doc

14（2） 例8-11图8-38a所示结构，杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积均为A，梁BD为刚体，载荷F=50kN，许用拉应力6t=160MPa，许用压应力6c=120MPa，试确定各杆的横截面面积。ll45l2l2CllBD1CDF45l1CCBDCFFN245FN1解：（1）问题分析：未知轴力与支反力戈薇两个，即未知力共四个，但是，由于有效平衡方程只有三个，故为一度静不定。 在载荷F的作用下，梁BD将绕B点沿顺时针方向做微小转动，杆1缩短，杆2伸长。与此相应，杆1受压，杆2受拉，梁BD的受力如图所示。（2）建立平衡方程由平衡方程 得：（3）建立补充方程由变形图可以看出，即变形协调方程为：根据胡克定律： 将上述关系代入式（b），得补充方程为：（4）轴力计算与截面设计联立求解平衡方程（2）与补方程(c), 得:FN2 l2EAFN2 l2EAFN2 l2EAFN2 l2EAFN1 l 1EA2FN2 l 1EA2FN2 l 1EA2FN2 l 1EAFN2 l2EAFN2 l2EAFN2 l2EAFN2 l2EAFN1 l 1EA2FN2 l 1EA由此可得出杆1和杆2所需之截面积分别为：FN1 l 1EAFN1 l 1EA FN1 l 1EA但是，由于已选定，且上述轴力正是在此条件下所求得，因此，应取否则，各杆的轴力及应力将随之改变。例8-9 （a）图所示桁架，在节点A点处承受铅垂载荷F的作用，试求该节点的位移。已知：杆1用钢制成，弹性模量E1=200Gpa,横截面面积A1=100mm2,杆长l1=1m；杆2用硬铝制成，弹性模量E2=70Gpa,横截面面积A2=250mm2,杆长l2=707mm;载荷F=10KN. BA3AC12FA1A2A450(a)A3A5A4A1L1L2A2450(b)解：计算杆件的轴向变形首先，根据节点A的平衡条件，求得杆1与杆2的轴力分别为 Fn1=2F= 2(10103N)=1.414104N(拉力) FN2=F=1.0104N（压力）设杆1的伸长为L1，并用AA1表示，杆2的缩短为L2，并用AA2表示，则由胡克定律可知： L1=FN1L1E1A1=(1.4141O4N)(1.0m)（200109Pa）（10010-6m2=7.0710 -4m=0.707mmL2 =FN2L2E2A2=1.0104N)(1.0cos450m) (70109Pa)(25010-6m2)=4.0410-4m=0.404mm(2)确定节点A位移后的位置 加载前，杆1与杆2在节点A相连；加载后，各杆的长度虽然改变，但仍连接在一起。因此，为了节点A位移后的位置，可以B与C为圆心，并分别以BA1与CA2为半径做圆弧(图a)，其交点A即为节点A的新位置。 通常，杆的变形均很小，弧线A1A与A2A必很短，因而可近似地用其切线代替。于是，过A1与A2分别作BA1与CA2的垂线（图b），其交点A3亦可视为节点A的新位置。（3）计算节点A的新位移 由图可知，节点A的水平与铅垂位移分别为Ax=AA2=L2=0.404mm Ay=AA4+A4A5=L1sin450+L2tan450=1.404mm（4）讨论 与结构原尺寸相比为很小的变形，称为小变形。在小变形的条件下，通常即可按结构原有几何形状与尺寸计算约束反力与内力，并可采用上述以切线代替圆弧的方法确定位移。因此，小变形为一重要概念，利用此概念，可使许多问题的分析计算大为简化。L2L1例810 图（a）所示杆AB，两端固定，在横截面C处承受轴向额支反力载荷F作用。设拉压刚度EA为常数，试求杆端的支反力。FACBACB(a)(b)解：（1）静力学方面 在载荷F作用下，AC段伸长，CB段缩短，杆端支反力FAX与FBX的方向将如图(b)所示，并与载荷F组成一共线力系，其平衡方程为 Fx=0，F-Fax-FBx=0两个未知力，一个平衡方程，故为一度静不定。 （2）几何方面 根据杆端的约束条件可知，受力后各杆段虽然变形，但杆的总长不变，所以，如果将AC与CB段的轴向变形分别用LAC于LCB表示，则变形协调方程为 LAC+LCB=0 (3)物理方面 由图（b）可以看出，AC与CB段的轴力分别为 FN1=Fax (a) FN2=-FBx (b)故由胡克定律可知，上述二杆段的轴向变形分别为 LAC=FAxL1EA (c) LCB=(-FBx)L2 EA (d） (4)支反力计算将式（c）与（d）代入式（b），即得补充方程为 FaxL1-FBxL2=0 (e)最后，联立求解平衡方程(a)与补充方程（e）,于是得 Fax=FL2(L1+L2) FBx=FL1(L1+L2)a12aBCD8-27 图示结构，梁BD为刚体，杆1与杆2用同一种材料制成，横截面面积均为A=300mm2，许用应力=160MPa,载荷F=50kN，试校核杆的强度。解：(1)以BC为研究对象，受力如图8-27(1)列平衡方程MB = 0N1 a + N2 2a F 2a = 0 (a)图8-27(2)变形图如图8-27(2)，则21 = 2 (b)N2N18-27(1)F列补充方程XBDCB 1 = N11 (EA) (c)YB 2 = N22 (EA) (d)DFN1N21BC由(a)、(b)、(c)和(d)式解得8-27(2) N1 = 20 kN2 N2 = 40 kN1 = N1 A = 20 (30010-6) = 66.7 MPa 2 = N2 A = 40 (30010-6) = 133.3 MPa （例81）如图所示右端固定阶梯形杆，承受轴向载荷F1与F2作用，已知F1=20kN（千牛顿），F2=50kN，试画杆的轴力图，并求出最大轴力值。解：（1）计算支反力设杆右端的约束力或支反力为FR，则由整个杆的平衡方程Fx=0，F2-F1-FR=0得FR=F2-F1=50kN-20kN=30kN(2)分段计算轴力C(a)d2d1FR2F1F2A 1 B 1 2F1FN2FRFN1 A 1 2 C(c)2(b) 1O(d)FN20kN30kNX 设AB与BC段的轴力均为拉力，并分别用FN1与FN2表示，则由图（b）与（c）可知，FN1=F1=20kNFN2=-FR=-30kN所得FN2为负，说明BC段轴力的实际方向与所设方向相反，即应为压力。 （3）画轴力图根据上述轴力值，画轴力图如（d）所示。可见，轴力的最大绝对值为 FNmax =30kN（例86）如图a所示桁架，由杆1与杆2组成，在节点B承受载荷F作用。试计算载荷F的最大允许值即所谓许用载荷F。已知杆1与杆2的横截面面积均为a=100 mm2，许用拉应力t=200 Mpa,许用压应力为c=150 Mpa。FN1FN2FB45145BF2（b)（a)解：（1）轴力分析设杆轴力受拉，杆2轴向受压，杆1与2的轴力分别为FN1与FN2 (图b)，则根据节点b的平衡方程Fx=0，FN2-FN1cos45=0Fy=0 , FN1sin45-F=0得FN1=(拉力)FN2=F (压力)（2） 确定F的许用值杆1的强度条件t-662由此得104N杆2的强度条件为t由此得t=(10010-6m2)(150106Pa)=1.50104 N可见，桁架所能承受的最大载荷即许用载荷为F=14.14 kN例8-10 图8-37a所示杆AB，两端固定，在横截面C出承受轴向载荷F作用。舍拉压刚度EA为常数，试求杆端的支反力。解：静力学方面ABCF12(a)(b)FBxFFAxACB图8-37 在载荷F作用下，AC段伸长，CB段缩短，杆端支反力FAx与FBx的方向将如图8-37b所示，并与载荷F组成一共线力系，其平衡方程为 Fx=0,F-FAx-FBx=0两个未知力，一个平衡方程，故为一度静不定。集合方面根据杆端的约束条件可知，受力后各杆段虽然变形，但干的总长不便，所以，如果将AC与CB段的轴向变形分别用AC与CB表示，则变形协调方程为 AC+CB =0物理方面由图8-37b可以看出，AC与CB段的轴力分别为FN1=FAx FN2=- FBx故由胡克定律可知，上述二杆段的轴向变形分别为AC = FAx1EA CB = -FBx2EA 支反力计算将式（c）与（d）代入式（b），即得补充方程为FAx1 -FBx2=0最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（e），于是得 FAx = F 2(1+ 2) FBx = F 1(1+ 2) 所得结果均为正，说明关于杆端支反力方向的假设是正确2. 图示阶梯形杆AC，F=10 kN，l1= l2=400 mm，A1=2A2=100 mm2，E=200GPa，试计算杆AC的轴向变形l。2FFFl1l2ACB解：(1) 用截面法求AB、BC段的轴力；(2) 分段计算个杆的轴向变形； 1 试求图示杆的轴力，并指出轴力的最大值。FF解：(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2截面；FF1122(2) 取1-1截面的左段；FFN111(3) 取2-2截面的右段；22FN2(4) 轴力最大值：2试画出1所示各杆的轴力图。解：FFNx(+)1 图示阶梯形杆AC，F=10 kN，l1= l2=400 mm，A1=2A2=100 mm2，E=200GPa，试计算杆AC的轴向变形l。2FFFl1l2ACB解：(1) 用截面法求AB、BC段的轴力；(2) 分段计算个杆的轴向变形； AC杆缩短。2图示桁架，杆1与杆2的横截面均为圆形，直径分别为d1=30 mm与d2=20 mm，两杆材料相同，许用应力=160MPa 。该桁架在节点A处承受铅直方向的载荷F=80KN作用，试校核桁架的强度。FABC30045012xFAy300450FACFAB图a解： 对节点A受力分析如图a列平衡方程 解得： 分别对两杆进行