车灯线光源的优化设计.doc

车灯线光源的优化设计1 问题重述安装在汽车头部的车灯，形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，经过车灯的焦点，在与对称轴垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范在简化后可描述如下：在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取点B和点C，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍。请解决下列问题：1） 求在该设计规范标准下计算线光源长度，使线光源的功率最小；2） 得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区；3） 讨论该设计规范的合理性。2 模型假设1) 将线光源看作是只有长度而没有“直径”的发光体，从而可将其理解成一组点光源的集合。2) 均匀分布的线光源的发光强度在每一点恒定，线光源的功率与其长度成正比。3) 光线射到测试屏上的途径只考虑直射和一次反射两种。 4)光在传播过程中与介质的相互作用未改变光的物理特性。3 问题分析这是一个关于车灯线光源的优化设计问题。根据题意，线光源通过直射和反射（一次反射）至测试屏，由于光的物理特性和车灯结构使得屏上的光照强度因位置的不同而不同。根据实际需要，车灯前方较亮的区域只需集中于某一适当范围内。问题要求车灯设计既能满足实际需要，又不会浪费能源（功率最小）。我们采用光照强度的概念，根据物理学知识可知：被照射物体的亮度依赖于它与光源之间的距离和光线的投射角度。光线强度I只与光源的亮度P和光源与被照射点的距离r有关，即，但车灯的照明效果是通过照在物体上的实际效果来衡量，这个代表实际效果的量即光照强度C，光照强度C还与光线的投射角度有关，如图所示，P为光源的光亮度，r为光源到被照射点x的距离，为光线的投射角度,则光照强度.图1. 光照强度求解示意 4 模型的建立与求解4.1建模初探： 光亮度可以通过照射到的光线的疏密来简单表示。我们用计算机作出模拟，为方便后面对问题的分析。首先，点光源射到一反射面上的反射光线与测试屏的交点容易求得（*）。简化为数学问题，已知：点 O,点A,直线OM的斜率，求直线OA的对称直线与某一平面的交点。根据假设1)，将线光源离散化为点光源，反射镜（即旋转抛物面）离散化为小反射平面镜，再根据上面所述，我们可求得一个疏密分布的光照图。具体算法：1） 根据推测的线光源长度l，取特定的l长如l=2mm，3mm，4mm，5mm，6mm。在线光源上均匀取k个点PPP。2） 用垂直于Y轴的等距平面切抛物面得到n个圆，在每个圆上取m个点，要求每两个相临点之间的弧所对的圆心角相等，得到nm个小反射面，取每个小反射面的中心代表这个小平面作为一个点。3） 根据（*），我们可求得每个点光源经过每个小反射面反射在测试屏上的交点，从而得到反射光线射到测试屏的大致范围及以线条疏密反映的亮度差异。我们在MATLAB上实现（程序见附录1），画出图形 （见下面特别选取的三张图形）。 a) b)c) 图2:测试屏上的光亮区: a) l=4mm, b) l=2mm, c) l=6mm观察图形，我们可以得到有明显差异的光照分布情况。容易发现当l=4mm时，测试屏上的强度在1.3m及2.6m处发生明显的变化。虽然不能说此时在B点的光照强度大于等于C点的二倍，但根据问题特点图形特性及实际情况，作为一种推测，可猜想光源长度l=4mm。当然猜想终归是猜想，这并不能作为解决问题的方法，但作为对问题特征的探求，仍不失为一个良好尝试。4.2建立模型： 设旋转抛物面方程F(x,y,z)=，焦点为F(0,0,p)，如图: 图3:旋转抛物面根据模型假设，光学及解析几何知识，分析容易知道在测试屏中某一点（如B处）的光照强度是线光源长度的函数。设B处光照强度为，同样可设在C点为。又不妨设线光源上任一点G(t,0,p)经反射而到达B.C点的光照强度分别为=，=,则，同理可得。此时，可建立优化模型,形式如下： 目标函数：min s.t.其中为某一额定值数学关系：任取旋转抛物面上任一点，作过M的切平面 ，平面方程为 。求线光源上任意一点关于平面的对称点,过点与平面的垂线为 ,由两式得与的中点,则有,。作直线：，若点在这条直线上，则点光源在的反射光线射到。具体推导可通过一般式和参数式两种方法，同样得到两种编程方式。现用参数式推导如下：过光源G经过M反射到测试屏的反射直线方程可通过抛物面的光学性质获得，设抛物面的参数方程为 ； 过抛物面上任意一点M的参数形式为M，其法方向为:，切平面为:，设G关于的对称点为G，则GM为反射光的路径。又由GG以及GG的中点在切平面上两条件可求得： ；其中从而可得GG的方程为：，令z=25000,得GG与测试屏的交点Q为。在此具体问题中，关于Q点的光照强度的解析式很复杂，故我们用计算机通过离散化方法来模拟出测试屏上各点的光照强度。4.3 模型求解通过以上分析，我们得到对模型的具体实现算法：1) 同4.1模型初探算法1,2进行离散化处理.2) 应用前面分析,求解点光源发出的光经小平面镜反射到达测试屏的光程 ,并相应于抛物面旋转轴之夹角.用公式 计算光照强度. I 为常数,不妨设为10000. 根据以上算法得到不同l值时，整个测试屏上均匀分布的点的光照强度，取出A，B，C水平线上的一些点的光照强度值。用多项式进行拟合并且对要拟合值进行标识。容易发现当l= l =4mm时，B点光照强度均略大于C点2倍，如表列出几个例值：l长度4mm4.1mm5mm10mm16mm光照强度之比2.0112.1472.0532.1122.080拟合多项式的次数6891424 表1 问题要求线光源功率最小（由假设即线光源长度尽可能小），所以由以上分析我们得到3.94L=4mm，我们作出l=4mm时的反射光的亮区(见图6)，以及反映反射光亮区的光照强度对比分布图(见图5)。a)b) c)图4: a)l=3.8mm b)l=4mm c)l=4.5mm图5:光照强度对比图图6:反射光亮区(l=4mm)6 模型的评价推广及设计规范合理性的讨论1）评价推广：对于建模初探的结果比较粗糙，且不具有通用性，但其研究问题，处理问题的过程正体现了研究问题中的思维过程从简单推测猜想到论证求解的过程，具有一定的启发性。对于优化模型，理论充分，实现原理简单，但计算量较大。模型的思想仍可推广到同类问题的解答中去。2）设计规范合理性：（1）从建模初探的简单图示和优化模型的照明强度图中可以看出，测试屏上沿直线AB两相对方向上宽度为1.32m的范围内的照明强度是较为均匀的（这是汽车道路照明非常重要的指标）。 （2）图形同时说明在测试屏上沿直线AB两相对方向上宽度为2.62m的范围以外，光照强度极小，比较节省能源且对