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第二章习题解答 2011 概率论与数理统计习题集 第二章 1 3 5 7 9 11 1 一口袋中装有 a 个白球 b 个黑球 连续不返回地从袋中取球 直到取得黑球为止 以 X 表示取球的次数 求 X 的分布列 解 解 方法一 设 i W 为事件 第 i 次取得白球 i W 为 第 i 次取得黑球 1 2 iab 则 121 121121 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 kk kk P XkP WWW W P W P WWP WWWW aaakb ab ababkabk b a abkb abakb abk b ka ab b 方法二 连续不返回地从袋中取球的试验 相当于对 ab 个球随机地排列 共有 ab 种排法 以此 ab 种排法构成的集合作为样本空间 假定每种排法等概 率 事件 Xk 相当于在第 k 个位置上放一个黑球 在末 abk 个位置中选 取 1b 个位置放余下的 1b 个黑球 共包含 1 abk a b b 种排法 所以 11 1 2 1 abkabk a b bb P Xkka abab b 3 一口袋中装有 3 个白球 2 个黑球 采用有放回方式连续取球 直至接连两次取到同颜 色的球为止 以 X 表示所需的取球次数 求 1 X 的分布列 2 P 10 X 解 解 1 记一次取得白球的概率为 p 显然 3 50 6p 假定每次取球都相互独 立 Xk 表示第 1 kk 次取出同色球 前 2k 次两色球轮流被取得 2 3 k 当 k 为偶数时 取出的第一个球与最后两个球同色 当 k 为奇数时 取 出的第一个球与最后两个球异色 记 i W 为第 i 次取得白球 1 2 i 当 2km 时 由于 11 11 12122121212212 2 2 2 mm jjjmmjjjmm XmXm WXm W WWWWWWWW 因此 11 22 1 22 2 1 1 1 1 1 mm m P Xmpppppp pppp 当 21km 时 11 121221121221 21 21 21 1 1 1 1 mm jjjmjjjm mm m P XmPXmWPXmW PWWWPWWW pppppp pp 1 2 m 2 记 1 0 24app 则 1054 211 54 55 10 2 21 1 1 1 2 1 21 2 0 240 9984 11 kmm P XP XkP XmP Xm aaa aa aa 5 某计算机有 20 个终端 这些终端被各单位独立使用 据统计 每个终端被使用的概率各 为 0 7 求有 10 个或更多个终端同时被使用的概率 解 解 设在指定的时间点上同时被使用的终端数为 X 根据问题的条件可知 XB n p 其中 20 0 7np 因此 10 10 1 0 03080 06540 11440 16430 19160 1789 0 13040 07160 02780 00680 00080 9828 n xn x x n P Xpp x 用 Poisson 分布近似计算 令 YnXB n q 其中0 3q 记6nq 则 10 0 10 10 0 04130 06880 10330 13770 16060 1606 0 13390 08920 04460 01490 00250 9574 k k P XP Ye k 7 设随机变量 X 与 Y 的分布列分别为 2 4 2 1 0 1 2 4 1 0 1 2 3 4 kk ll P Xkppk k P Ylppl l 已知 5 1 9 P X 求 1 P Y 解 解 因为 2 4 0 1 1 1 9 P XP Xp 因此 4 81 1665 1 1 0 1 1 8181 P YP Yp 9 螺丝钉中废品率为0 015 问一盒应该装多少只才能保证每盒中有 100 只以上的好螺 丝钉的概率不少于 80 解 解 设一盒中装 n 只螺丝钉 则其中的废品数 XB n p 其中 0 015p 要求 n 使 101 0 100 100 1 80 n kn k k n P nXP Xnpp k 当 n 较大 np 较小 k较小时 1 k kn knp n np ppe kk 可用此近似方法逐个计算 n 101 102 103 104 时 P X n 100 的值 计算结果列于下表 n np P X n 100 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 101 1 515 0 219808 0 219808185 102 1 53 0 547835 0 216535667 0 3313 103 1 545 0 797469 0 213311871 0 329567 0 25459 104 1 56 0 926603 0 210136071 0 327812 0 255694 0 132961 可见 当 n 104 时 P X0 80 故一盒中至少应装 104 只螺丝钉才能保 证有 100 只以上的合格品 11 设随机变量 X 服从 Poisson 分布 且 4 3 P XP X 求 1 P X 解 解 设该 Poisson 分布的参数为 则 43 4 3 4 3 P XeP Xe 由 4 3 P XP X 知 4 因此 01 4 1 1 0 1 11 50 9084 0 1 P XP XP X eee 补充 2 1 某厂欲从供应商那里购买一批同样的元件 数量很多 双方约定的验货规则是 从这批 货中随机抽检 20 只元件 若其中不合格数不超过 2 则厂方接收这批货 否则退货 请问 1 若这批元件中有 10 的不合格品 厂方接收的概率是多少 2 若这批元件中有 1 的不合格品 厂方接收的概率是多少 有人建议 减少抽检的元件数 提高效率 将验货规则改为 随机抽检 10 只元件 若其中 不合格数不超过 1 则厂方接收这批货 否则退货 请问 这两条验货规则哪一条有利于厂 方 为什么 解 解 设抽出的 20 只元件中不合格品数为 X 因为这批元件的数量很多 从中不放回地 抽取 20 只与有放回地抽取 20 只情况相当接近 故可近似地认为 20 XBp 其中 p 为整批产品的不合格率 因此 020119218 202020 2 1 1 1 012 P Xpppppp 1 若 p 10 则 2 0 12160 27020 28520 6769P X 2 若 p 1 则 2 0 81790 16520 01590 9990P X 若将验货规则改为抽 10 只元件 则其中的不合格品数 10 YBp 当 p 7 时 2 1 P XP Y 这表明在整体不合格率较高时 采用抽 10 只元件的验货规则 更容易让厂方接收 这不利于厂方 9 26 2011 概率论与数理统计习题集 第二章 14 17 14 在 10 10 中随机地 等可能地取一点 X 为一随机变量 若所取的点在 5 5 中 则 X 取其坐标值 若所取的点在 10 5 中 则 5X 若所取的点在 5 10 中 则 5X 求 X 的分布函数 解 解 设取得的点的坐标为 Y 则 10 10 YU 5 if 10 5 if 5 5 5 if 5 10 Y XYY Y 因此 X 的 d f 为 0 if5 if 5 5 1 if5 x x F xP Xxabx x 其中 5 10 151 10 5 20204 5 5 20 x aP Ydy x bP Yx 15 确定下列函数中的常数 c 使之成为密度函数 1 x f xcex 2 1 01 0 cxxx f x elsewhere 3 2 cos 2 0 cxx f x elsewhere 解 解 1 由密度函数的规范性可知 0 1 22 xx f x dxcedxce dxc 所以 1 2c 2 由密度函数的规范性可知 1 0 1 1 2 2 6 c f x dxcxx dxc Beta 所以 6c 3 由密度函数的规范性可知 2 2 2 2 22 00 2 0 1 cos 1 cos2 2cos2 2 cos2 22 f x dxcxdx x cxdxcdx cxdxc 所以 2 c 16 设 X 为一连续型随机变量 密度函数为 1 2 x f xex 求 1 2 PX 解 解 21 12 22 12 11 1 2 12 21 1 2 2 2 x PXPXPX f x dxf x dx f x dxe dxee 其中第三个等式是由于被积函数 f x 关于 0 x 对称 17 设随机变量 X 的密度函数为 2 1 c f xx x 1 求常数 c 的值 2 求 2 X 位于 1 3 与 1 之间的概率 3 求 X 的分布函数 解 解 1 由密度函数的规范性可知 0 2 0 1 1 22 arctan 1 f x dxcdxcxc x 所以 1 c 2 由于 X 的密度函数是偶函数 故 2 1 3 3 11 1 2 1 33 221 arctan 466 PXPX x 3 X 的分布函数为 11 arctanarctan 2 11 arctan 2 x x F xP Xx f t dt tx xx 补充 2 2 某型号电子元件的寿命 X 单位 小时 的概率密度函数为 2 1000 if 1000 0 else xx p x 1 写出 X 的分布函数 2 若一只元件已工作 1500 小时尚未失效 请问它还能再工作 500 小时的概率是多少 3 任取 20 只这样的元件 请问它们之中寿命超过 1500 小时的只数 Y 服从什么分布 解 解 1 X 的分布函数为 2 1000 0 if 1000 1000 else 0 if 1000 1 1000 else x x F xP Xxp t dt x t dt x x 2 2000 1 2000 1500500 1500 1500 1 1500 1000 20003 1000 15004 P XF P XX P XF 3 20 YBp 其中 10002 1500 1 1500 15003 pP XF 10 8 2011 概率论与数理统计习题集 第二章 18 20 18 若男性成人的身高服从正态分布 2 N 其中 168 6 求身高 X 在下 列区间中的概率 1 150 P X 2 150168 PX 3 168180 PX 4 180 P X 解 解 1 150 150 150 3 1 3 0 0013 P XF 2 150168 168 150 168150 0 3 0 50 00130 4987 PXFF 3 168180 180 168 180168 2 0 0 97720 50 4772 PXFF 4 180 180 1 180 11 2 0 0228 P XF 19 设随机变量 X 服从 3 4 N 求 使得 1 0 90P X 2 3 0 01P X 解 解 1 由于 3 0 90 2 P XF 所以 0 90 3 1 28 2 z 得 2 1 28 35 56 2 因为 3 3 3 3333 1 22 1220 01 222 PXP XP X 所以 0 995 22 2 5755 15 z 20 设连续型随机变量 X 的密度函数是 2 4 9 81 03 0 elsewhere xxx f x 1 求中位数 2 求 10 百分位数值 3 求 25 百分位数值 4 求 75 百分位数值 解 解 X 的分布函数为 24 0 0 1 18 03 81 3 1 x if x F xf t dtxxifx if x 因为 F x 连续 所以 X 的 p 分位点 p a 为满足 p F ap 的数值 当 0 1 p 时 3 11 p ap 因此 1 0 5 2 3 11 6236 2 med Xa 2 0 1 3 11 0 10 6796a 3 0 25 3 1 0 5 31 0981a 4 0 75 3 1 0 52 1213a 补充 2 3 某种电子装置的使用寿命 小时 服从参数为 1 50 的指数分布 求 1 装置在运行的前 25 小时内损坏的概率是多少 2 装置在损坏前运行了 100 小时或更多小时的概率是多少 解 解 因为该装置的使用寿命 X 服从参数为 1 50 的指数分布 其分布函数为 50 1if 0 0 if 0 x ex F x x 1 1 2 25 25 10 3935P XFe 2 2 100 1 100 0 1353P XFe 22 设 X 有密度函数 f x 求 YX 的密度函数 特别地 若 0 1 XN 求 Y 的 pdf 解 解 Y 的分布函数为 0 if0 if0 y Y y y FyPXy f x dxy 对 Y Fy 求导可得 Y 的密度函数 if0 0 if0 Y f yfyy py y 若 0 1 XN 则 YX 的 pdf 为 if02 if0 0 if00 if0 Y yyyyy py yy 其中 为 N 0 1 的 pdf 23 设 X 为取正值的连续型随机变量 有密度函数 f x 求 1 1 Y X 的密度函数 解 解 1 0 1 yx x 是 0 0 1 的一一对应的变换 其逆变换为 1 1 0 1 xh yy y 2 dx dyy 因此 Y 的密度函数为 2 11 if 0 1 if 0 1 0 elsewhere 0 elsewhere Y dxy f h yyfy dyyypy 24 设 是在 22 上均匀分布的随机变量 tan 0Xaa 证明 X 的密 度函数为 22 1 a f xx xa 称 X 服从柯西分布 解 解 因为 tan 2 2 xa 是 22 的一一对应的变换 其逆变换为 arctan x h xx a 且 2 11 1 d dxa x a 所以 X 的 密度函数为 222 11 1 1 f xph xddx aa x xa x a 其中 2 2 1 pI 是随机变量 的密度函数