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第三章 参数估计 1 参考文献 1 张亮亮 大学生月消费情调查 以南京邮电大学为例 统计教育2009 2 61 2 董秀良吴仁水 股票交叉上市与价格发现 来自中国 A H 股的经验证据 2008 11 1085 2 3 1概述 参数估计的方法有点估计和区间估计二种 区间估计给出总体未知参数所在的可能区间即置信区间 它会随样本的不同而不同 可以解决参数估计的精确度与可靠性问题 它能够以一定的置信度保证估计的正确性 置信度与精确度关系 一般情况下 置信度越高 允许误差越大 精确度越低 在样本容量一定时 通常是在确保一定置信度的前提下提高精确度 掌握的样本不同所用区间估计的公式不同 3 简单随机抽样 待估计参数 已知条件 置信区间 正态总体 2已知 正态总体 2未知n 30 非正态总体 n 30 未知时 用S 有限总体 n 30 不重复 总体均值 未知时 用S 3 2区间估计公式 1 一 一个总体均值的区间估计 4 二 一个总体比率的区间估计 待估计参数 已知条件 置信区间 无限总体 np和nq都大于5 总体比率 p 有限总体 np和nq都大于5 5 3 3已知原始数据资料的参数估计 AnalyzeComparemeans 3 3 1单个总体均值的区间估计步骤 1 选择AnalyzeComparemeansone sampleTTest对话框 6 检验值栏 选择置信度和控制缺失值处理 检验变量栏 7 Options子对话框 选择置信度和控制缺失值处理 删除所有带缺失值的观测量 只删除与分析有关的带有缺失值的观测量 8 三 两个总体均值之差的区间估计 待估计参数 已知条件 置信区间 两个正态总体 已知 两个正态总体 未知但相等 两个非正态总体 n1 n2 30 两个总体均值之差 1 2 3 2区间估计公式 2 9 四 两个总体比率 成数 之差的区间估计 待估计参数 已知条件 置信区间 两个总体成数之差 P1 P2 无限总体 N1P1 5 n1q1 5N2P2 5 n2q2 5 有限总体 N1P1 5 n1q1 5N2P2 5 n2q2 5 10 3 3 2两个总体均值之差的区间估计步骤 1 若是两个独立样本 n1 n2 则运行两个独立样本之差的T检验Independent SamplesTTest过程 2 若是两个独立样本 n1 n2 则运行两个配对样本均值之差的T检验Paired SamplesTTest过程 意义 运行检验过程可得两个总体均值之差在一定把握程度下的区间估计 二者比较 利用配对样本可使两个样本中许多其它因素保持完全相同 因此估计误差会比独立样本小 11 1 Independent SampleTTest过程 选择AnalyzeCompareMeansIndependent SamplesTTest 打开Independent SamplesTTest对话框 12 打开Independent SamplesTTest对话框 检验变量栏 分组变量栏 只能有一个分组变量 定义分组按钮 13 案例1 1 学生对教学改革态度的分析 onesample 某校在对实行挂牌上课教学改革措施的效果评价中 随机抽选了60位学生进行态度调查 他们的10项态度量表的态度反映资料如下 14 案例1 1分表示 很不同意 7分表示 很同意 将10项态度分累加后得一总态度分 这种量叫7级李克累加量表 试计算 1 学生态度得分的平均值和标准差 2 构造学生态度得分平均值的98 置信区间 15 操作步骤 1 定义变量X和f X为组中值 输入数据资料 2 选择DataWeightCases 对f进行加权 3 选择AnalyzeComparemeansone sampleTTest 4 将变量X放入Test栏中 5 激活子对话框 置信度为98 单击按钮 返回one sampleTTest主对话框 6 单击按钮执行 Options Continue OK 16 T Test 17 结论 表1 学生态度得分的平均值为47分 标准差为13 6295分 表2 以98 的置信区间估计学生总体态度得分平均值的置信区间为 42 7925 51 2075 从中可以反映出学生对挂牌上课这一教改措施普遍赞成 但并不十分拥护 可见还需进一步改进和完善 18 案例2 电视广告平均受益量的估计 2 某电视台广告部想要估计一下各企业在该电台的黄金时间播放电视广告后的一个月内的平均受益量 为此他们抽取了33家播放广告的同类企业的随机样本 资料如下 该电视台想以95 的置信度宣布平均受益量 平均利润增长量 试构造适当的置信区间 19 案例2 20 单侧和双侧区间估计公式及图形 21 不重复抽样公式 22 2020 1 27 23 解 该电视台宣布的平均受益量应该是最小受益量 故构造置信下限 设X为企业利润增量 操作步骤 1 定义变量X输入数据资料 2 选择AnalyzeComparemeansone sampleTTest 3 将变量X放入Test栏中 4 激活子对话框 置信度改为90 单击按钮 返回one sampleTTest主对话框 5 单击OK按钮执行 Options Continue 24 T Test 25 结论 表1 33家平均受益量为8 8636万元 标准差为2 4027万元 表2 该项电视台可以95 的置信度宣布在该电台黄金时间做广告给企业带来的平均受益量至少在8 1552万元以上 26 实例分析3 新旧电池使用寿命比较 Independent 某一个新的制造过程可以增加电池的使用寿命 假设电池使用寿命服从正态分布 在新电池中随机抽取15个 而在旧电中随机抽取12个同时测试其使用寿命 资料如下 新旧两种电池平均使用寿命之差95 的置信区间 新电池 日 18 2 10 4 12 6 18 0 11 7 15 0 24 0 17 6 23 6 24 8 19 3 20 5 19 8 17 1 16 3旧电池 日 12 1 17 5 8 6 13 9 7 8 15 1 17 9 10 6 13 8 14 2 15 3 11 6 27 解 已知的原始数据是总体服从正态分布的两个独立样本 设X代表电池使用寿命 g代表分组号 操作步骤 1 定义变量X和g 输入数据资料 新旧电池寿命数据全部输入X同一列中 g分别取1和2 新电池组号为1 旧电池组号为2 2 选择AnalyzeCompareMeansIndependent SamplesTTest 打开Independent SamplesTTest对话框 3 将变量X放入Test栏中 4 激活DefineGroups按钮 打开该对话框Groups1中输入1Groups2中输入2 单击Continue返回主对话框 5 单击OK按钮执行 28 T Test 29 结论 表1 得出两个独立样本各自的均值 标准差以及平均标准误差 新电池的平均使用寿命明显长于旧电池 表2 可以看出新旧电池平均使用寿命之差的95 的置信区间为 若两个样本方差相等则为 2 4454 8 6746 若两个样本方差不等则为 2 5437 8 5763 30 2 Paired SamplesTTest过程 选择AnalyzeCompareMeansPaired SampleTTest 打开Paired SampleTTest主对话框 31 2 Paired SamplesTTest过程 配对变量栏 当前选择栏 选择项按钮 32 实例分析4 吸烟有害广告作用的分析 Paired 形形色色的广告已深入到社会各个方面 与人民生活密不可分 成功的广告将留给人们较深的印象 并带给企业丰厚的回报 如何鉴定广告的效果 如何选择最佳的广告制作 对此西方国家更多地采用统计方法来判断 举例如下 为了研究吸烟有害广告对吸烟者减少吸烟量甚至戒烟是否有作用 从某吸烟者中随机抽取33位吸烟者 调查他们在观看广告前后的每天吸烟量 支 数据如下表 试问影片对他们的吸烟量有无产生作用 为了支持你的答案 请构造一个99 的置信区间 33 34 解 配对样本的试验 比较观看前后平均数的大小可解决第一个问题 求出两平均数之差的99 的双侧置信区间可解答第二个问题 操作步骤 1 定义变量X1和X2 输入数据 2 选择AnalyzeComparemeansPaired samplesTTest 3 将变量X1和X2放入Test栏中 4 激活Options 子对话框 置信度改为99 单击Continue按钮 返回Paired samplesTTest主对话框 5 单击OK按钮执行 35 T Test 36 结论 表1 显示观看影片前的平均每日吸烟量约为21 5758支 观看影片后的平均每日吸烟量约为17 5758支 说明该影片发生了作用 表2 反映了影片观看前与后存在着显著相关关系 相关系数为0 878 表3 显示了前后两个总体平均每日吸烟量之差的99 置信区间为 1 4888 6 5112 这意味着不管随机抽到哪几对样本单位做调查 均有99 的把握保证 观看影片前的平均每日吸烟量大于观看影片后的平均每日吸烟量之差在 1 4888支至6 5112支之间 即大约在2 7支之间 37 3 4未知原始数据资料的参数估计 在现实中可能遇到没有完整的原始资料 只有几个样本数据特征的情况 此时可用Compute过程可解决样本平均数抽样分布和未知原始数据资料情况下的参数区间估计问题 步骤 1 定义变量X 2 选择TransformCompute打开ComputeVariable对话框 3 在目标变量Target栏中 输入新变量名cdf 分布函数形式出现 idf 正态分布的反函数 在numericExpression框中输入数学表达式 4 单击OK 38 案例分析5 农民年平均收入估计 Compute 1 为了解某村1300户农民的年纯收入状况 不重复抽取一个由70户组成的样本进行调查得出每户农民年平均收入为4500元 标准差为260元 试求该村每户农民年平均纯收入置信度为95 的置信区间 4440 75 4559 25 39 案例分析6 产品包装容量分析 某产品包装容量为正态分布 随机抽取125包产品 发现10包分量不足 试求分量不足比例的90 的信赖区间 若误差界限为0 02 把握程度为95 应抽多少样本单位 根据过去资料包装分量不足的比例大约为0 06 0 04 0 1199 40 41 案例分析7 产品购买量分析 3 某公司作市场调查 在甲居民区抽取500户家庭 其中有35 的家庭购买过该公司的产品 在居民区抽取600户家庭 其中有22 的家庭购买过该公司的产品 试求总体成数之差置信度为95