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第十五章电路方程的矩阵形式 理论依据独立方程数 拓扑约束 KCL i 0结点 广义结点 n 1KVL u 0回路b n 1 b n 1 元件约束 VCR u f i b 规模小 结构简单 人工观察 人工计算规模大 结构复杂 计算机 系统化建立方程 矩阵形式 15 1割集 一 定义Q 把一个连通图分成两个分离部分至少必须割断的那些支路 例 Q1 1 4 6 Q2 1 2 3 Q3 3 5 6 Q4 1 3 4 5 1 2 4 6 2 3 1 2 3 4 5 1 是G的一个支路集合 Q G 2 把Q的所有支路移去 不移结点 图G将分成两部分 3 若少移一条支路 G仍连通 Q1 Q2 Q3 Q4 二 确定方法 作闭合面 1 依据 三 性质 移去这些支路 则G分为两部分 少移一条 保留一条 两部分连通 且每部分各自连通 图仍连通 在G作闭合面 使其包围某一个或某一些结点 则与闭合面相切割的所有支路则组成一个割集 割集的支路电流满足KCL KCL适用于闭合面 即 对任一闭合面而言 流入i 流出i 选 1 4 7 8 为树 n 5 b 8 n 1 4 例 Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 1 2 3 Q2 2 3 4 6 Q3 3 5 6 7 Q4 3 5 8 15 2关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵 一 关联矩阵A1 定义 1 实质 描述支路与结点的关联性质 2 构成 n b 阶矩阵Aa 元素ajk 行 结点列 支路 1 支路k与节点j相关联 且其方向背离结点 1 支路k与节点j相关联 且其方向指向结点 0 支路k与节点j无关联 Aa中每一行的元素按列相加为0 Aa中任一行均可由其它 n 1 行推导Aa中行不彼此独立 原因 每条支路只与两个结点相连 势必背离一结 只有两行元素 0 一行为正 点 指向另一结点 一行为负 4 降阶 关联矩阵A n 1 b阶矩阵Aa 划去一行 A n b n 1 b 3 特点 2 KVL u AT un 变形的KVL 结点mj 支路k 1 KCL A i 0 2 用A表示KCL KVL形式 支路k 二 回路矩阵B1 定义 独立回路矩阵 1 实质 描述支路与回路的关联性质 支路与回路关联 回路由支路组成 2 构成 l b阶矩阵 行 回路l b n 1列 支路b 元素bjk 1 支路k回路j相关联 且方向一致 1 支路k回路j相关联 且方向相反 0 支路k回路j无关联 3 基本回路矩阵Bf a 独立回路组 单连支回路 b 列序 先连支 后树支 c 行序 回路序号 所含连支所在序号d 回路方向 连支方向 Bt 出现一个l阶的单位子矩阵Bf 1l 特点 回路12 l 支1路2 b 2 用B表示KCL KVL的矩阵形式 1 KCL i BT il 变形的KCL 2 KVL B u 0 支路12 m 回路 支路k 三 割集矩阵Q1 定义 1 实质 描述支路与割集的关联性质 2 构成 n 1 b阶矩阵 行 割集列 支路 元素qjk 1 支路k与割集j相关联 且方向一致 1 支路k与割集j相关联 且方向相反 0 支路k与割集回路j无关联 3 基本割集矩阵Qf特点 a 独立割集组 单树支割集 b 列序 先树支 后连支 c 行序 割集序号 所含树支所在列序号d 割集方向 树支方向2 用Q表示KCL KVL的矩阵形式 1 KCL Q i 0 2 KVL QfT ut u 15 4回路电流方程的矩阵形式 拓扑约束 1 复合支路k 第k条支路 不允许存在无伴电流源支路 KCL i 0 i il i BT il KVL u 0 方程B u 0 支路约束VCR uk f ik 一 复合支路 支路的一般形式 Zk 单一元件 Rk j Lk 1 j Ck 电压 电流参考方向 1 支路电压与支路电流方向一致 3 受控电压源方向 整个电路 二 复合支路的VCR矩阵形式 1 无互感 无受控源 第k条 式中 Z 支路阻抗矩阵 diag Z1 Z2 Zb 对角阵 2 有互感 无受控源设第1支路至第g支路间相互间均有耦合 把有耦合的支路编序在一起 g g b 三 回路电流方程的矩阵形式 式中 Zl BZBT 回路阻抗矩阵 主对角线 自阻抗非对角线 互阻抗 例1 电路如图 列出回路电流方程 矩阵形式 1 2 3 0 1 2 解 作有向图 选1 2 5为树 作单连支回路1 2 支路34125 回路 15 5结点电压方程的矩阵形式 拓扑KCL i 0KVL u 0 u un支路VCR uk f ik 一 复合支路 增加 受控电流源不允许 无伴电压源 二 复合支路的VCR矩阵形式 1 无互感 无受控源 第k条支路 Y 支路导纳 diag Y1 Y2 Yb 对角阵 整个支路 2 有互感 无受控源 由前节 3 无互感 含受控电流源 设第k条支路中有受控电流源受控于第j条支路元件 VCCS 电压 CCCS 电流 Y 含控制系数 非对角阵 例1 列支路方程的矩阵形式 def def 三 结点电压方程的矩阵形式 例1 列结点电压方程 矩阵形式 1 M 0 2 M 0 1 2 3 0 15 6割集电压方程的矩阵形式 以割集电压为方程变量而列出的方程为割集电压方程 单树支割集 基本割集 树支电压非基本割集 由割集所划分的两组结点 或两分离部分 的假想电压 割集电压 根据矩阵形式的方程 结点电压法 割集电压法 例1 写出运算形式的割集电压方程的矩阵形式 解 作有向图 取基本割集组 以1 2 5为树支 Ut1 s Ut2 s Ut3 s 12534 Q1Q2Q3 12534 Ut1 s Ut2 s Ut3 s 0 12534 15 8状态方程 一 状态 状态变量 状态方程1 状态 某给定时刻电路所必须具备的最少量的信息 状态从该时刻开始的任意输入 此时刻后电路在任何时刻的情况 确 定 2 状态变量 电路的一组独立的动态变量 它们在任何时刻的值组成该时刻的状态 电容电压uc 电荷q 电感电流iL 磁链 L 3 状态方程 对状态变量列出的一阶微分方程 状态变量在t0取值自t0起的外加激励 电路在t t0后的全部性状 唯一 确定 二 状态方程的形式 解 KVL uR uL uc us 状态变量 uc iL 状态方程 以uc iL为变量的一阶微分方程 例 列出状态方程 若电路有n个状态变量 m个独立源 则 三 列状态方程的方法 1 对只接有一个电容的结点或割集列KCL 含项 2 对只含有一个电感的回路列KVL 含项 3 整理 消去非状态变量 用状态变量表示 1 直接法 例1 写状态方程 解 状态变量 uc i1 i2 2 特有树法 仅由电压源 电容构成的回路仅由电流源 电感构成的割集 时 特有树总存在 a 对单电容树支割集列KCL 含项 b 对单电感连支回路列KVL 含项 c 整理 1