高三数学集合与简易逻辑.ppt

2010届高考数学二轮复习系列课件 27 集合与简易逻辑 试题特点 1 高考集合与简易逻辑试题考查情况 2008年的高考在全国19套试卷中 都有体现 重点考查了集合间关系 集合的运算 充分条件与必要条件 四种命题等 据此可知 有关集合与简易逻辑的试题是高考命题的重要题型 它的解答需要用到集合与简逻辑的基础知识 基本性质 及一些相关知识 如不等式 指数函数 对数函数等 其命题热点是伴随相关知识的考查 出现频率较高的题型是有关不等式的命题 2 主要特点纵观近年来高考试题 特别是2008年高考试题 集合与简易逻辑试题有如下特点 1 全方位 近几年来的高考题中 集合与简易逻辑的所有知识点都考过 虽然近几年不强调知识的覆盖率 但每一年集合与简易逻辑知识点的覆盖率依然没有减小 2 巧综合 为了突出集合与简易逻辑在中学中的重要地位 近几年来高考强化了集合 简易逻辑与其它知识的联系 如集合与不等式 对数函数 指函数等知识的综合都有出现 试题特点 3 变角度 出于 立意 和创设情景的需要 集合与简易逻辑试题设置问题的角度和方式也不断创新 重视数学思想的考查 加大了应用题 探索题 开放题和信息题的考查力度 如2008广东文的第1题 2008江西理科的第2题 从而使集合与简易逻辑考题显得新颖 生动 灵活 试题特点 3 剖析 集合的知识是一套严谨的数学语言 贵穿于高中数学的始终 近年来高考中至少有一道选择题 考查内容虽然难度不大 但体现了集合的知识在中学数学中的基础性和工具性 但由于此内容早已成为高中数学中的频考内容 从习题的配备及重视程度来说 一般不会成为考生复习中的难点 而简易逻辑则不同 是新增的内容 由于不易把握准 所以此讲做为重点 试题特点 复习建议 1 在复习中首先把握基础性知识 深刻理解本单元的基本知识点 基本数学思想和基本数学方法 重点掌握集合 充分条件与必要条件的概念和运算方法 要真正掌握数形结合思想 用文氏图解题 2 涉及本单元知识点的高考题 综合性大题不多 所以在复习中不宜做过多过高的要求 只要灵活掌握小型综合题型 如集合与映射 集合与自然数集 集合与不等式 集合与方程等 充分条件与必要条件与三角 立几 解几中的知识点的结合等 映射的概念以选择题型出现 难度不大 就可以了 复习建议 3 活用 定义法 解题 定义是一切法则与性质的基础 是解题的基本出发点 利用定义 可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件 证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等 4 重视 数形结合 渗透 数缺形时少直观 形缺数时难入微 当你所研究的问题较为抽象时 当你的思维陷入困境时 当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时 一个很好的建议便是 画个图 利用图形的直观性 可迅速地破解问题 乃至最终解决问题 复习建议 5 实施 定义域优先 原则 函数的定义域是函数最基本的组成部分 任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域 例如 求函数的单调区间 必须在定义域范围内 通过求出反函数的定义域 可得到原函数的值域 定义域关于原点对称 是函数为奇函数或偶函数的必要条件 为此 应熟练掌握求函数定义域的原则与方法 并贯彻到解题中去 6 强化 分类思想 应用 指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于1有关 对于根式的意义及其性质的讨论要分清n是奇数还是偶数等 考点一集合的概念一 考试要求1 理解集合的含义及其表示法 子集 真子集的定义 2 了解属于 包含 相等关系的意义 二 学习指导1 集合的概念 集合中元素特征 确定性 互异性 无序性 集合的分类 按元素个数分 有限集 无限集 按元素特征分 数集 点集 如数集 y y 2x 表示非负实数集 点集 x y y 2x 表示开口向上 以y轴为对称轴的抛物线 集合的表示法 列举法 描述法 考题剖析 考题剖析 2 两类关系 元素与集合的关系 用或表示 2 集合与集合的关系 用 表示 当AB时 称A是B的子集 当AB时 称A是B的真子集 3 解答集合问题 首先要正确理解集合有关概念 特别是集合中元素的三要素 对于用描述法给出的集合 x x P 要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P 要重视发挥图示法的作用 通过数形结合直观地解决问题4 注意空集的特殊性 在解题中 若未能指明集合非空时 要考虑到空集的可能性 如AB 则有A 或A 两种可能 此时应分类讨论 三 典型例题分析例1 2008广州模拟 集合M 2 4 6 的真子集的个数为 A 6B 7C 8D 9 分析 一个集合中有n个元素 则它的子集有2n个 真子集有 2n 1 个 非空子集有 2n 1 个 对于集合的子集 既要能写出它的子集 真子集 也要懂得数子集 真子集的个数 解 因为集合M中有3个元素 所以集合M的子集有23 8个 真子集有8 1 7个 故选 B 例2 2008年江西省高考题 定义集合运算 A B z z xy x A y B 设A 1 2 B 0 2 则集合A B的所有元素之和为 A 0B 2C 3D 6 分析 这是一个定义新运算的试题 考查学生的阅读能力 理解能力 分析问题 解决问题的能力 主要是理解A B的代表元素z 它是x乘以y的结果 而x属于集合A y属于B的元素 分别算出来 即可 解 依题意 有z 0 2 4 所有元素之和为 0 2 4 6 故选 D 考点二集合的运算一 考试要求1 理解集合的补集 交集 并集的概念 了解并集和全集的意义 掌握有关的术语和符号 并会用它们正确表示一些简单的集合 2 掌握集合与其它知识的联系 如不等式 对数函数 指数函数等 能应用集合的知识解决一些现实生活中的实际问题 二 学习指导本章重点 集合的运算 1 交集 A B x x A且x B 2 并集 A B x x A或x B 3 补集 CuA x x u且x A 其中u称为全集 Au 4 集合的并 交 补的关系Cu A B CuA CuB Cu A B CuA CuB 三 典型例题分析 例3 2008广东韶关模拟 设A x y y 4x 6 B x y y 3x 8 则A B等于 A 2 1 B 2 2 C 3 1 D 4 2 分析 这是一道考查集合运算的试题 注意到集合A与集合B中的代表元素 x y 表示直线上的点 因此 求集合A与集合B的交集 应转化为求两条直线的交点 体现了数学上的转化与化归的思想 解 依题意 应求直线y 4x 6与y 3x 8的交点 将它们联立方程组 解得交点坐标为 2 2 故选 B 例4 2008安徽高考理 集合A y R y lgx x 1 B 2 1 1 2 则下列结论中正确的是 A A B 2 1 B C A B 0 D 分析 这是一道考查集合与其它知识综合的试题 既考查了集合中交集 并集 补集的知识 又考查了对数函数图象及其性质 解 由对数函数图象的性质可知 当x 1时 lgx 0 所以 A 0 集合A的补集为 0 所以 应选 D 考点三逻辑联结词与四种命题一 考试要求1 理解逻辑联结词 或 且 非 的含义 会用或 且 非写出两个简单命题的复合命题 并能判断它的真假 2 会写出一个命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断它们的真假 能理解四种命题之间的关系 二 学习指导 1 命题分类 真命题与假命题 简单命题与复合命题 2 复合命题的形式 p且q p或q 非p 3 复合命题的真假 对p且q而言 当q p为真时 其为真 当p q中有一个为假时 其为假 对p或q而言 当p q均为假时 其为假 当p q中有一个为真时 其为真 当p为真时 非p为假 当p为假时 非p为真 4 四种命题 记 若q则p 为原命题 则否命题为 若非p则非q 逆命题为 若q则p 逆否命题为 若非q则非p 其中互为逆否的两个命题同真假 即等价 因此 四种命题为真的个数只能是偶数个 分析 本题容易错误理解 方程 x 1 x 2 0的根是x 1或x 2 真 由p假 q假p或q为假 p且q也假 而上面 p或q 确是由p假 q假得到了 p或q 为真 正解 方程 x 1 x 2 0的根是x 1或方程 x 1 x 2 0的根是x 2 三 典型例题分析例5 已知p 方程 x 1 x 2 0的根是x 1 q 方程 x 1 x 2 0的根是x 2写出 p或q 例6 已知p 四条边相等的四边形是正方形 q 四个角相等的四边形是正方形 写出 p且q 分析 本题容易错误理解 四条边相等且四个角相等的四边形是正方形 真 由p假 q假p且q必为假 而上面 p且q 确是由p假 q假得到了 p且q 为真 正解 四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形 例8 2008年广东高考 命题 若函数f x logax a 0且a 1 在其定义域内是减函数 则loga20且a 1 在其定义域内不是减函数B 若loga20且a 1 在其定义域内不是减函数C 若loga2 0 则函数f x logax a 0且a 1 在其定义域内是减函数D 若loga20且a 1 在其定义域内是减函数 分析 逆否命题是将原命题的结论的否定作为条件 原命题的条件的否定作为结论解 选 A 考点四全称量词与特称量词一 考试要求1 理解全称量词与特称量词的定义 会判断一个命题是全称命题与特称命题 并判断命题的真假 2 会写出一个全称命题的否定 特称命题的否定 并能判断它们的真假 3 理解命题的否定与否命题的区别 二 学习指导 1 全称量词与存在量词 1 全称量词 对应日常语言中的 一切 任意的 所有的 凡是 任给 对每一个 等词 用符号 表示 2 存在量词 对应日常语言中的 存在一个 至少有一个 有个 某个 有些 有的 等词 用符号 表示 2 全称命题与特称命题 1 全称命题 含有全称量词的命题 对任意x M 有p x 成立 简记成 x M p x 2 特称命题 含有存在量词的命题 存在x M 有p x 成立 简记成 x M p x 例9 1 p 有些质数是奇数 写出 非p 2 p 方程x2 5x 6 0有两个相等的实根 写出 非p 3 p 四条边相等的四边形是正方形 写出 非p 分析 非p 的含义有下列四条 1 非p 只否定p的结论 2 p 与 非p 真假必须相反 3 非p 必须包含p的所有对立面 三 典型例题分析 1 非p 所有质数都不是奇数 假 2 非p 方程x2 5x 6 0没有两个相等实数根 真 错解 方程x2 5x 6 0有两个不相等的实根0 假 3 非p 四条边相等的四边形不都是正方形 真 错解 四条边相等的四边形不是正方形 假 例10 写出下列命题的否定 并判断其真假 1 不论m取什么实数 x2 x m 0必有实根 2 存在一个实数x 使得x2 x 1 0 解 1 原命题可写成 对所有的实数m x2 x m 0必有实根 因此否定形式为 至少有一个实数m 使x2 x m 0没有实根 真命题 2 不存在实数x 使得x2 x 1 0 或 对所有实数x x2 x 1 0 真命题 小结 1 对所有的x U p x 的否定是 存在某一个x U 非p x 2 存在一个x U p x 的否定是 对所有的x U 非p x 应掌握的一些词语的否定 如 考点五充分条件与必要条件一 考试要求理解充分条件与必要条件 及充要条件的含义 会判断充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件及既不充分也不必要条件的命题 二 学习指导 1 定义 对命题 若p则q 而言 当它是真命题时 p是q的充分条件 q是p的必要条件 当它的逆命题为真时 q是p的充分条件 p是q的必要条件 两种命题均为真时 称p是q的充要条件 2 在判断充分条件及必要条件时 首先要分清哪个命题是条件 哪个命题是结论 其次 结论要分四种情况说明 充分不必要条件 必要不充分条件 充分且必要条件 既不充分又不必要条件 从集合角度看 若记满足条件p的所有对象组成集合A 满足条件q的所有对象组成集合q 则当AB时 p是q的充分条件 BA时 p是q的充分条件 A B时 p是q的充要条件 3 当p和q互为充要时 体现了命题等价转换的思想 4 要理解 充分条件 必要条件 的概念 当 若p则q 形式的命题为真时 就记作pq 称p是q的充分条件 同时称q是p的必要条件 因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假5 要理解 充要条件 的概念 对于符号 要熟悉它的各种同义词语 等价于 当且仅当 必须并且只需 反之也真 等6 数学概念的定义都可以看成是充要条件 既是概念的判断依据 又是概念所具有的性质7 从集合观点看 若AB 则A是B的充分条件 B是A的必要条件 若A B 则A B互为充要条件8 证明命题条件的充要性时 既要证明原命题成立 即条件的充分性 又要证明它的逆命题成立 即条件的必要性 例11 2008重庆高考理 设m n是整数 则 m n均为偶数 是 m n是偶数 的