数学分析试题库.doc

使用说明1、本试题库适用于信息与计算科学专业、数学分析课程的期中、期未的成绩考核。2、本试题库由数学分析一、数学分析二、数学分析三三部份内容组成，分别用于第一、二、三学期的成绩考核。3、试题按全国研究生入学考试数学试卷的形式设计，由填空题、选择题、解答题三部分组成。其中解答题含计算题，证明题，应用题。命题者可根据需要选用。数学分析课程组 2005年5月数学分析 一第一章 函数、极限与连续一、基本要求1、理解函数的概念，包括反函数、复合函数、初等函数的概念。2、了解函数的四种特性：有界性、单调性、奇偶性和周期性。掌握基本初等函数及其图形。3、会建立简单的实际问题中的函数关系式。4、理解极限的概念，对定义中的“任给”、“存在”、“恒有”要具体理解。5、掌握极限的性质和四则运算法则，掌握极限存在的两个准则。6、会用两个重要极限求极限。7、理解无穷小与无穷大的定义以及无穷小阶的概念，掌握等价无穷小替代的方法。9、了解闭区间上连续函数的性质，并会用它们证明一些问题。二、习 题（一）填空题1、已知 的定义域为 。2、已知 。3、设 。4、 。5、当 阶无穷小。6、已知，则= , = ,7、 ，8、 ，（二）选择题1、函数则是（ ）（A）当时为无穷大； （B）在内有界；（C）在内无界； （D）当时有有限极限；2、已知其中是常数，则（ ）。（A） （B）（C） （D）3、当时，变量是（ ）（A）无穷小； （B）无穷大；（C）有界的，但不是无穷小； （D）无界的，但不是无穷大.4、设数列满足，则下列断言正确的是（ ）（A）若发散，则必发散 （B）若无界，则必无界；（C）若有界，则必为无穷小； （D）若为无穷小，则必为无穷小。5、“对任意给定，总存在正整数N，当 nN时，恒有”是数列收敛的（ ）（A）充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件；（C）充分必要条件； （D）既非充分条件非必要条件。6、设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于（ ）.（A）1； （B）2；（C）3； （D）4；7、设函数讨论的间断点，其结论为（ ）（A）否存在间断点； （B）存在间断点；（C）存在间断点 （D）存在间断点8、当时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量（ ）（A）； （B）；（C）； （D）9、下列各式中正确的是（ ）（A） （B）（C） （D）（三）解答题1、设的定义域是1，2，求的定义域.2、设试确定之值，使为奇函数.3、设不存在，试问是否存在？并证明之.4、求5、6、求.7、求的值使8、求函数的间断点，并指出其间断点类型.9、设有三次方程其中0，试证有三个实根.10设时，是等价无穷小，求常数之值.11、设在上连续，证明：至少存在，使第二章 导数及其应用一、基本要求1、理解导数与微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系.2、会用导数描述一些物理量，并能运用相关变化率解决一些简单的实际问题.3、熟练掌握常数和基本初等函数的导数（微分）公式，掌握导数（微分）的运算法则和复合函数的求导公式.4、掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法.5、了解高阶导数的概念并掌握其求法，能熟练求出初等函数的一阶、二阶导数.7、理解罗尔Rolle定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理，并会用这些定理的结论证明有关的命题及不等式以及掌握泰勒定理在近似计算中的作用8、会用洛必达（LHospial）法则求不定式的极限.9、理解函数极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，会用导数判断函数图形的一凹凸性，会求拐点，会，描绘函数的图形（包括水平、铅及斜渐近线），会求解较简单的最大值的应用问题。，10、了解弧微分、曲率及曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径.11、了解求方程近似解的二分法和切线法.二、习题（一）填空题1、在点可导是在点连续的 条件；是在点可微的 条件.2、已知 .3、设在的邻域内连续且则= ，4、曲线，在处的切线方程为 ，5、设，在处可导，则= ，= 。6、设函数是由方程确定，则= ，7、函数在区间 内单调增，在区间 内单调减.8、设函数在的某个邻域内可导，且则是的极 值.9、中，曲线在点取得拐点的 条件.10、曲线的斜渐近线方程是 ，11、设则在点 处取极小值 ，12、曲线的斩近线方程为 ，（二）选择题1、设在连续，则在可导是|在可导的（ ）条件（A）充分非必要； （B）充要；（C）必要非充分； （D）非充分非必要.2、函数有（ ）个不可导点（A）3； （B）2；（C）1； （D）0；3、若在内则在内（ ）（A） （B）（C） （D）4、若函数，有则当时该函数在处的微分是（ ）（A）与等价穷小； （B）与同阶无穷小；（C）比低阶的无穷小； （D）比高阶的无穷小5、设函数在区间内有定义若当时，恒有则必是的（ ）（A）间断点； （B）连续而不可导的点；（C）可导的点，且； （D）可导的点，且.6、设其中在处可导，则是的（ ）（A）连续点； （B）第一类间断点；（C）第二类间断点； （D）连续点或间断点不能由此确定7、设函数对任意的均满足等式且有，其中为非零常数，则在处（ ）（A）在处不可导； （B）在得可导，且；（C）在处可导，且； （D）在处可导，且；8、设周期函数在内可导，周期为4，又则曲线在点处的切线斜率为（ ）（A） （B）0；（C）-1； （D）-2；9、曲线（ ）（A）没有渐近线； （B）仅有水平渐近线；（C）仅有铅直渐近线； （D）既有水平渐近线也有铅直渐近线.10、设，则（ ）（A） （B）；（C）； （D）11、设在，内可导。且对任意当时，都有，则（ ）（A）任对任意0； （B）对任意（C）设函数单调增加； （D）函数单调增加12设函数在0，1上0，则的大小顺序是（ ）（A） （B）（C） （D）13、已知对一切满足，则（ ）（A）是的极大值； （B）是的极小值（三）解答题1、讨论函数，在处的可导性.2、设是实数，讨论在处的可导性3、设，证明：在处连续、可微且导函数在处连续，但在处不可导.4、讨论函数，在处存在几阶导数，这各阶导数在处是否连续.5、求6、7、设8、设9、设10设11、设12、13、设14、求15设函数由方程所确定，试求16、设 由方程所确定，求17、设由方程确定，求18、设19、设曲线方程为求此曲线在点的法线方程.20、设函数在点处连续且，则曲线在点的切线方程为 ，21、设在上连续，在内可导，而有若证明：对任意实数,存在点：22、证明：若上可导则存在：使得23、设函数24、设在上二阶可导，且0，0又当时0证明：方程在内必有且仅有一个实根25、设在上连续，在内可导而在不是线性函数，证明：存在使得26、求.27、求28、求.29、求30、求31、求32、求.33、确定的单调区间.34、函数的极大值是 .35、确定函数的单调增区间.36、求在1，3上的最大值与最小值37、求曲线的拐点坐标.38、由线的拐点坐标是 ，39、边长为（0）米的正方形铁皮各角剪去同样大小的小方、块，做成无盖的长方体盒子，问怎样剪才能使盒子的容积最大？40、在椭圆（0，0）的内接矩形（各边平行于坐标轴）中，求其面积最大者.数学分析二第三章 一元函数积分学一基本要求1、理解原函数概念，理解不定积分的概念.2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质及换元法与分部积分法.3、会求有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数积分.4、理解定积分的概念及性质.5、掌握牛顿一莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的运用；理解变上限积分作为函数的性质、求导定理及其他有关运算.6、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法.7、理解广义积分的概念，会计算一些简单的广义积分.8、掌握用定积分 表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线拭 弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力和函数平均值等）. 二、习 题（一）、填空题1、= .2、= .3、= .4、= .5、= .6、= .7、= .8、= .9、由曲线与直线所围成图形的面积S= .10、设11、= .12、= .13、设连续，则= .14、由曲线及所围 图形的面积S= .15、求函数在区间上的最大值.16、若，则= ，= .17、 .18、= .19、若是的原函数，则= .（二）、选择题1、在下列等式中，正确的结果是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）；2、若的导函数是，则有一个原函数为（ ）（A）； （B）；（C）； （D）3、设等于（ ）（A）； （B）；（C）； （D）4、若都是的函数，且具有连续导数，则等于（ ）（A）； （B）；（C）； （D）；5、已知的一个原函数是等于（ ）（A）； （B）；（C）； （D）.6、已知等于（A）； （B）；（C）； （D）；7、已知及等于（ ）（A）； （B），1；（C），0； （D），1.8、设在区间上令，（A）S1S2S3； （B）S2S1S3；（C）S3S1S2； （D）S2S3S1；9、设与在上可导，且，则必有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）；10、设连续，则等于（ ）（A）； （B）；（C）； （D）；11、设连续，且等于（ ）（A）； （B）；（C）； （D）12、设有连续导数，且当时，与是同阶无穷小，则等于（ ）（A）1； （B）2；（C）3； （D）4；13、设则当时，是的（ ）（A）等价无穷小； （B）同阶但非等价的无穷小；（C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小.14、设（ ） （A）高阶无穷小； （B）低阶无穷小；（C）同阶但非等价无穷小； （D）等价无穷小； 15、设函数在闭区间上连续，且，则方程在开区间（）内的根有（ ）（A）0个； （B）1个；（C）2个； （D）无穷多个；16、下列广义积分发散的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）（三）解答题计算下列不定积分1、. 2、3、. 4、5、. 6、7、 8、9、 10、11、 12、13、 14、15、 16、17、 18、19、（). 2021、 22、23、 24、若在-1，1上连续，计算25、若上的连续函数（1），证明26、设连续函数满足方程试求函数及常数C.27、设28、设29、设（0）求.30已知求.31、一曲线过原点，且在任一点的切线的斜率等于2，求该曲线的方程.32、一曲线通过点且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程.33、已知在-1，1上连续，在（-1，1）内而且，求.34、设函数在-1，1上连续且满足方程，求35、求36、设在0，1上连续，在（0，1）内可导，且满足（1），证明：至少存在一点，使得37、设在区间0，1上连续，试证存在，使；若又设0且单调减少，则这种是惟一的.38、设（类似）设40、设在0，1上连续且递减，证明：当01时41、设在上可导，且其反函数为.若求.42、设是区间0，1上任一非负连续函数.43（1）求由线确定的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积；（2）求由曲线轴围成封闭曲线绕直线旋转而成的旋转体体积.第四章 无穷级数一、基本要求1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念；了解无穷级数收敛的必要条件；知道无穷级数的基本性质；2、熟悉等比级数和级数的收敛性；3、熟练掌握正项级数的比较判敛法和比值判敛法；会用柯西根值法和柯西积分法；4、掌握交错级数的菜布尼兹定理，并能估计交错级数的截断误差；5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及约对收敛与条件收敛的关系；6、知道函数项级数收敛域与和函数的概念；7、熟练掌握幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求法，会求一些简单幂级数的和函数；8、知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会对幂级数进行逐项微分或积分；9、知道函数展开为泰勒级数的充要条件；10、熟记的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数；11、知道函数展开的傅里叶级数的充分条件，并能将定义在上的函数展开为傅里叶级数；能将定义0，l上的函数展开为开弦或余弦级数。二、习 题（一）填空题1、级数当 时绝对收敛，当 时条件收敛， 时发散。2、级数，当满足 时收敛；当 时发散。3、级数的收敛域为 。4、幂级数在其收敛域上的和函数S（x）= ，并由此结果可求得之值为 .5、幂级数的收敛域为 。6、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为敛区间为 。（二）选择题1、若级数收敛，则（ ）。（A）中至少有一个收敛；（B）收敛；（C）均收敛；（D）要么都收敛，要么都发散。2、设则下列级数中肯定收敛的是（ ）。（A）； （B）； （C）； （D）.3、下述各选项政确的是（ ）（A）若都收敛，则收敛；（B）若收敛，则都收敛；（C）若正项级数（D）若级数则级数也收敛。4、展开为的幂级数（0）是（ ）。（A）； （B）；（C）； （D）。5、下列论述正确的是（ ）。（A）若收敛，则条件收敛；（B）若条件收敛，则发散；（C）若收敛，则收敛；（D）若则收敛；6、设级数条件收敛，则（ ）。（A）必收敛； （B）必收敛；（C）必收敛； （D）均收敛。7、设的收敛半径（ ）。（A）大于1； （B）等于1； （C）小于1； （D）以上三种都可能。8、设常数（ ）。（A）绝对收敛； （B）条件收敛；（C）发散； （D）敛散性与k取值有关。9、若（ ）。（A）绝对收敛； （B）条件收敛；（C）发散； （D）敛散性产能确定10、级数 （常数0） （ ）。（A）绝对收敛； （B）条件收敛；（C）发散； （D）敛散性与取值有关。11、设级数收敛，则必收敛的级数为（ ）。（A）； （B）；（C）； （D） 12、设，则级数（ ）。（A）； （B）（C） （D）三、解答题1、求级数的和。2、求级数的和。3、若级数收敛。4、判别级数的敛散性。5、判别级数的敛散性。6、判别级数的敛散性。7、判别级数的敛散性。8、求幂级数的收敛区间（端点要讨论）及和函数。9、将展成麦克劳林级数，并求其收敛区间。10、把的幂级数，并求其收敛半径R.11、将函数。12、求级数的收敛域。13、求的和函数。14、求幂级数的收敛区间及和函数。15、将展开为x的幂级数，并指出收敛半径R.16、求幂级数的收敛区间（要讨论端点处的敛散性）。17、将展成以2为周期的余弦级数。18、将展成以2为周期的正弦级数。数学分析三第五章 多元函数微分学一、基本要求1、理解多元函数的概念，会求多元函数的定义域。2、了解二元函数极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质，掌握二元函数的偏导数、全微分及方向导数、梯度的概念之间的关系，了解全微分在近似计算中的应用。3、掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法，会求隐函灵敏的偏导数及函数的全微分。4、掌握曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的概念，会求它们的方程，理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘法求条件极值有关应用问题。二、习 题（一）填空题1、函数的定义域 。2、设 。3、设 。4、设 。5、设 , . 6、曲面在点（2，-1，14）处的法线方程是 。 7、曲线处的切线方程为 。 8、设则全微分= 。 9、曲面在点（1，2，0）处的切平面方程为 . 10、由曲线，绕轴旋转一周得到的旋转面在点（0，）处的指向外侧的单位法向量为 。 （二）选择题 1、设二元函数（ ） （A）处连续；（B）某邻域有界；（C）处两个偏导数都存在；（D）处两个偏导数连续。2、函数处具有偏导数是该函数在连续的（ ）。（A）既不充分也不必要； （B）充要条件；（C）必要条件； （D）充分条件3、二元函数，在点（0，0）处（ ）。（A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在；（C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在。4、设（ ）。（A）（B）（C）（D）.5、函数在点（2，1）沿方向l=i+j的方向导数为（ ）（A）16； （B）； （C）28； （D）6、设，则下面结论正确的是（ ）（A）点（2，2）是的驻点，且为极大值点；（B）点（0，0）是的驻点，但不是极值点；（C）点（2，2）是极小值点；（D）点（0，0）是极大值；（三）解答题1、已知2、设由方程所确定，求3、设有连续的一个偏导数，又函数分别由下列两式确定：4、求函数的法线方向的方向导数。5、若函数=在点（1，-1）取得极值，求常数a.6、设函数，。7、设。第六章 重积分一、基本要求1、理解二积分、三重积分的概念和简单性质。2、掌握二重积分对直角坐标与极坐标的计算，即化为累次积分；三得积分对直角坐标、柱面坐标、球面坐标的计算，即化为三次积分；3、会用重积分求一些几何量与物理量（如面积、体积、质量、重心、转动惯量、引力等）二、习 题（一）填空题1、交换积分次序 。2、交换积分次序 。3、交换积分次序 。4、将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分。 。 5、积分的值等于 。 6、积分的值等于 。 （二）选择题 1、二次积分的另一种积分次序是（ ）（A）； （B）；（C）; （D）.2、为（ ）（A） （B）（C） （D）5、曲球面（ ）（A） （B）（C）； （D）6、设区域D：1（ ）。（A）； （B）（C）； （D）7、设连续，且=所围成区域，则等于（ ）。（A）； （B）2xy； （C）； （D）8、设空区域则下述等式成立的是（ ）。 （A） （B）（C） （D）（三）解答题1、计算其中D是矩形区域02、计算所围成，3、设D域是的值。4、设D：的值。5、设D：的值。6、求。7、计算。8、求球体的公共部分的体积V。9、计算所围成的平面区域。10、求I=围成的区域。 第七章 曲线积分与曲面积分一、基本要求1、理解两类曲线积分的概念，了解曲线积分的性质，了解两类曲线积分的关系。2、掌握两类曲线积分的计算，对曲线的不同表示式，能将弧长微分ds准确地表达出来；3、掌握格林公式以及平面上曲线积分与路径无关的充要条件，并会利用它们计算曲线积分，会求全微分的原函数。4、理解两类曲面积分的概念，掌握曲面积分的计算方法。5、掌握高斯公式，知道斯托克斯公式。6、能用曲线积分和曲面积分来表达一些几何量与物理量。7、散度与旋度的概念及计算。二、习题(一)填空题1、设平面