25空间的平行与垂直关系.doc

江苏省2014届一轮复习数学试题选编20：空间的平行与垂直关系（教师版）填空题 已知,是两条不同的直线,是两个不同的平面,有下列四个命题:若,且,则;若,且,则;若,且,则;若,且,则.则所有正确命题的序号是_.【答案】 给出下列命题:(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;(4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,所有真命题的序号为_. 【答案】、 已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面. 若m,m,则; 若m,=n,则mn;若m,n,则mn; 若m,m,=n,则mn. 上述命题中为真命题的是_(填写所有真命题的序号).【答案】 设是两条不同的直线,是一个平面,有下列四个命题:若,则; 若,则;若,则;若,则.其中真命题是_(写出所有真命题的序号).【答案】 现有如下命题:过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直;过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行;如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.则所有真命题的序号是 .【答案】 在空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列四个命题:(1)若,则(2)若,则(3) 若,则(4)若,则【答案】 已知,为平面,m,n为直线,下列命题:若mn,n,则m; 若m,m,则;若=n,m, m,则mn; 若,m,n,则mn.其中是真命题的有_.(填写所有正确命题的序号)【答案】 已知两个平面,直线,直线,有下面四个命题:; ; ;. 其中正确的命题是_.【答案】、 设m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列命题: 若,则;若,则;若,则;若,则.上面命题中,真命题的序号是_(写出所有真命题的序号).【答案】 以下5个命题:(1)设,是空间的三条直线,若,则;(2)设,是两条直线,是平面,若,则;(3)设是直线,是两个平面,若,则;(4)设,是两个平面,是直线,若,则;(5)设,是三个平面,若,则.其中正确命题的序号是_.【答案】 设,是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列正确命题的序号是_.若 , 则 ; .若, 则 ;.若 ,则 ; .若 ,则 . 【答案】 设是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列四个命题若,则,若,则,若若,则,其中正确的命题序号是_.【答案】;解答题如图,在四棱锥中,平面, 于.()证明:平面平面;()设为线段上一点,若,求证:平面【答案】 ()证:因为平面, 平面, 又,是平面内的两条相交直线, 平面, 而平面,所以平面平面 ()证:,和为平面内 两相交直线,平面, 连接,平面, 平面,平面, 又共面, 又平面,平面,平面 在三棱锥S-ABC中,SA平面ABC,SA=AB=AC=,点D是BC边的中点,点E是线段AD上一点,且AE=4DE,点M是线段SD上一点,(1)求证:BCAM(2)若AM平面SBC,求证:EM平面ABS 【答案】(1)AB=AC,D是BC的中点,ADBC, (证到SA平面SAD得5分) (2)AM面SAB, AMSD, EM面ABS (证到SM=4MD得10分,得到MESA得12分.) 如图,四棱锥P-A BCD中,底面ABCD为菱形,BD面PAC,A C=10,PA=6,cosPCA=,M是PC的中点.()证明PC平面BMD;()若三棱锥M-BCD的体积为14,求菱形ABCD的边长.【答案】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,ADAB,CDAB, ,直线PA与底面ABCD所成角为60,点M、N分别是PA,PB的中点.(1)求证:MN平面PCD;(2)求证:四边形MNCD是直角梯形;(3)求证:平面PCB .【答案】证明: (1)因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MNAB 因为CDAB,所以MNCD. 又CD 平面PCD, MN 平面PCD,所以MN平面PCD (2)因为ADAB,CDAB,所以CDAD, 又因为PD底面ABCD,平面ABCD, 所以CDPD,又,所以CD平面PAD 因为平面PAD,所以CDMD, 所以四边形MNCD是直角梯形 (3)因为PD底面ABCD,所以PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角,从而PAD= 在中,. 在直角梯形MNCD中, 从而,所以DNCN 在中,PD= DB=, N是PB的中点,则DNPB 又因为,所以平面PCB 如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D为BC的中点.(1)若平面ABC平面BCC1B1,求证:ADDC1;(2)求证:A1B/平面ADC1.ABCDA1B1C1(第16题)【答案】证明:(1)因为AB=AC,D为BC的中点,所以ADBC. 因为平面ABC平面BCC1B1,平面ABC平面BCC1B1=BC,AD平面ABC, 所以AD平面BCC1B1 因为DC1平面BCC1B1,所以ADDC1 (2)(证法一) 连结A1C,交AC1于点O,连结OD, 则O为A1C的中点. 因为D为BC的中点,所以OD/A1B 因为OD平面ADC1,A1B平面ADC1, 所以A1B/平面ADC1 (证法二)取B1C1的中点D1,连结A1D1,D1D,D1B.则D1C1BD.所以四边形BDC1D1是平行四边形.所以D1B/ C1D.因为C1D平面ADC1,D1B平面ADC1,所以D1B/平面ADC1.同理可证A1D1/平面ADC1.因为A1D1平面A1BD1,D1B平面A1BD1,A1D1D1B=D1,所以平面A1BD1/平面ADC1 因为A1B平面A1BD1,所以A1B/平面ADC1 ABCDA1B1C1（第16题图）D1 ABCDA1B1C1（第16题图）O如图的几何体中,平面,平面,为等边三角形,为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.BAEDCF【答案】(1)证明:取的中点,连结. 为的中点,且. 平面,平面, ,. 又,. 四边形为平行四边形,则. BAEDCFG 平面,平面, 平面 (2)证明:为等边三角形,为的中点, 平面,. ,又, 平面. 平面, 平面平面 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,点D为BC中点,点E为BD中点,点F在AC1上,且AC1=4AF.(1)求证:平面ADF平面BCC1B1;(2)求证:EF /平面ABB1A1.ABCC1A1B1FED(第16题图)【答案】证明:(1) 因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以CC1平面ABC, 而AD平面ABC, 所以CC1AD 又AB=AC,D为BC中点,所以ADBC, 因为BCCC1=C,BC平面BCC1B1,CC1平面BCC1B1, 所以AD平面BCC1B1, 因为AD平面ADF, 所以平面ADF平面BCC1B1 (2) 连结CF延长交AA1于点G,连结GB. 因为AC1=4AF,AA1/CC1,所以CF=3FG, 又因为D为BC中点,点E为BD中点,所以CE=3EB, 所以EF/GB, 而EF平面ABBA1,GB 平面ABBA1, 所以EF /平面ABBA1 ABCC1A1B1FEDG 如图,四棱锥的底面是直角梯形,和是两个边长为的正三角形,为的中点,为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.DPCBAOE【答案】 如图,在四棱锥中,平面平面,BC/平面PAD,.求证:(1)平面; (2)平面平面.ABCP（第16题）D【答案】【证】(1)因为BC/平面PAD, 而BC平面ABCD,平面ABCD平面PAD = AD, 所以BC/AD 因为AD平面PBC,BC平面PBC,所以平面 ABCPDH(2)自P作PHAB于H,因为平面平面,且平面平面=AB, 所以平面 因为BC平面ABCD,所以BCPH. 因为,所以BCPB, 而,于是点H与B不重合,即PBPH = H. 因为PB,PH平面PAB,所以BC平面PAB 因为BC平面PBC,故平面PBC平面AB 如图,在四棱柱中,已知平面平面且,.(1)求证:(2)若为棱的中点,求证:平面.第16题图【答案】在四边形中,因为,所以, 又平面平面,且平面平面, 平面,所以平面, 又因为平面,所以 在三角形中,因为,且为中点,所以, 又因为在四边形中, 所以,所以,所以, 因为平面,平面,所以平面 如图,均为圆的直径,圆所在的平面,.求证:平面平面; 直线平面.ABCDOEF（第15题图）【答案】因为圆所在的平面,圆所在的平面, 所以, 因为为圆的直径,点在圆上,所以, 因为,平面, 所以平面, 因为平面,所以平面平面 由,又因为为圆的直径, 所以, 因为在同一平面内,所以, 因为平面,平面,所以平面 因为,同理可证平面, 因为,平面, 所以平面平面, 因为平面,所以平面 如图,在四棱锥中,四边形是菱形,为的中点.(1)求证:面; (2)求证:平面平面.【答案】(1)证明:设,连接EO,因为O,E分别是BD,PB的中点,所以 而,所以面 (2)连接PO,因为,所以,又四边形是菱形,所以 而面,面,所以面 又面,所以面面 在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=EO(1)若=1,求异面直线DE与CD1所成的角的余弦值;(2)若平面CDE平面CD1O,求的值.【答案】(1)不妨设正方体的棱长为1,以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(1,0,0),D1(0,0,1),E, 于是,. 由cos=. 所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为. (2)设平面CD1O的向量为m=(x1,y1,z1),由m=0,m=0 得 取x1=1,得y1=z1=1,即m=(1,1,1) . 由D1E=EO,则E,=. 又设平面CDE的法向量为n=(x2,y2,z2),由n=0,n=0. 得 取x2=2,得z2=-,即n=(-2,0,) . 因为平面CDE平面CD1F,所以mn=0,得=2. 如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为正方形,PA平面ABCD,E为PD的中点.求证:(1)PB平面AEC;(2)平面PCD平面PAD.PABCDE(第16题图)【答案】(1)证明: 连BD,AC交于O. ABCD是正方形 AO=OC, OC=AC 连EO,则EO是三角形PBD的中位线. EOPB EO平面AEC PB平面AEC (2):PA平面ABCD CDPA ABCD是正方形 ADCD CD平面PAD 平面PAD平面PCD 如图,在三棱柱中,已知,分别为棱,的中点,平面,为垂足.求证:(1)平面; (2)平面.【答案】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E为的PC中点.求证:PA平面BDE; 求证:平面PBC平面PDC.【答案】证明(1)连接交于,连接 四边形是菱形, 是中点, 又为中点. 又,平面 (2)在中,易得, 在中可求得,同理在中可求得 在中可得,即 又,为中点, 面,又面平面平面 如图，四边形ABCD为矩形，AD平面ABE，AEEBBC2，F为CE上的点，且BF平面ACE（1）求证：AEBE；（2）求三棱锥DAEC的体积；（3）设M在线段AB上，且满足AM2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN平面DAEBCADEFM【答案】解 （1）AD平面ABE，ADBC，BC平面ABE，则AEBC 又BF平面ACE，AEBF，AE平面BCE又BE平面BCE，AEBE（2） （3）在三角形ABE中，过M点作MGAE交BE于G点，在三角形BEC中，过G点作GNBC交EC于N点，连MN，则由比例关系易得CN MGAE，MG平面ADE, AE平面ADE，MG平面ADE，同理，GN平面ADE，平面MGN平面ADE又MN平面MGN，MN平面ADE，N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点如图,在四棱锥中,平面,四边形是平行四边形,且,分别是,的中点.(1)求证:平面;(2)若,垂足为,求证:.（第16题图）【答案】(1)取的中点,连结, （第16题图） 因为是的中点,所以, 又因为是中点,所以, 因为四边形是平行四边形; 所以,所以, 所以四边形是平行四边形, 所以.因为平面, 平面, 所以平面 (2)因为平面,平面, 所以,又因为, 平面,平面, 所以平面,又平面, 所以 又,平面,平面, 所以平面,又平面,所以, 又,是中点,所以, 又,平面,平面,所以平面, 又平面,所以 如图,在直三棱柱中,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.求证:(1)平面平面;(2)直线平面.【答案】证明:(1)是直三棱柱,平面.又平面,.又平面,平面.(lb ylfx)又平面,平面平面.(2),为的中点,.又平面,且平面,.又平面,平面.由(1)知,平面,.又平面平面,直线平面如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=AC,D,E,F分别为线段AC,A1A,C1B的中点.(1)证明:EF平面ABC;(2)证明:C1E平面BDE. ABCDEC1A1B1F（第16题）【答案】证明(1)如图,取BC的中点G,连结AG,FG.（第16题）ABCDEC1A1B1FG因为F为C1B的中点,所以FGC1C.在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1AC1C,且E为A1A的中点,所以FGEA.所以四边形AEFG是平行四边形. 所以EFAG 因为EF平面ABC,AG平面ABC,所以EF平面ABC (2)因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面ABC,BD平面ABC,所以A1ABD. 因为D为AC的中点,BA=BC,所以BDAC.因为A1AAC=A,A1A平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,所以BD平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BDC1E 根据题意,可得EB=C1E=AB,C1B=AB,所以EB+C1E=C1B2.从而C1EB=90,即C1EEB 因为BDEB=B,BD 平面BDE, EB平面BDE,所以C1E平面BDE 如图,在三棱锥中,平面.已知,点,分别为,的中点.(1)求证:平面;(2)若在线段上,满足平面,求的值.【答案】 在直三棱柱中, , 为棱上任一点.(1)求证:直线平面;(2)求证:平面平面.【答案】(1)证明:由直三棱柱,得 而,所以直线平面 (2)因为三棱柱为直三棱柱,所以,又, 而,且,所以 又,所以平面平面 如图,在直三棱柱中, 为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面.【答案】(1)因为在直三棱柱中,所以平面, BACDA1B1C1G 因为平面,所以, 又,所以平面, 因为,所以 又因为,所以是正方形,所以, 又,所以平面, (2)在正方形中,设,则为中点,为的中点,结,在中, 因为平面,平面,所以平面, 如图,在四面体中,面,、分别为、的中点.(1)求证:直线面;(2)求证:面面.【答案】证明:(1) 、分别为、的中点, 又面,面,直线面 (2) ,点为的中点, 又面,面,面 又面面面 如图,已知空间四边形中,是的中点.AEDBCG求证:(1)平面CDE;(2)平面平面. (3)若G为的重心,试在线段AE上确定一点F, 使得GF/平面CDE.【答案】 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是侧面AA1B1B对角线的交点,F是侧面AA1C1C对角线的交点,D是棱BC的中点.求证:(1)平面ABC;(2)平面AEF平面A1AD.ABCDEFA1B1C1(第15题)【答案】解:(1)连结. ABCDEFA1B1C1(第15题)因为分别是侧面和侧面的对角线的交点, 所以分别是的中点. 所以 又平面中,平面中, 故平面 (2)因为三棱柱为正三棱柱, 所以平面,所以. 故由,得 又因为是棱的中点,且为正三角形,所以. 故由,得 而,平面,所以平面 又平面,故平面平面 如图,四边形为正方形,在四边形中,.又平面,.(1)证明:平面;(2)上是否存在一点,使平面,若存在,请求出的位置,若不存在,请说明理由.【答案】解: (1)法一:QA平面ABCD,QACD, 由四边形ABCD为正方形知DCAD, 又QA 、AD为平面PDAQ内两条相交直线, CD平面PDAQ,CDPQ, 在直角梯形