2019版高考数学复习平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系学案文.docx

84直线与圆、圆与圆的位置关系知识梳理1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为. 方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解3必记结论当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)，弦长的一半及半径构成一个直角三角形(1)两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.(2)两个圆系方程过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程：x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；过圆C1：x2y2D1xE1yF10和圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)(其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意，以防丢解)(3)弦长公式|AB|xAxB|.诊断自测1概念思辨(1)“k2”是“直线xyk0与圆x2y22相切”的必要不充分条件()(2)过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A2P128T3)直线xy10与圆x2y21的位置关系为()A相切 B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离答案B解析圆心(0,0)到直线xy10的距离d，而00)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.答案2解析如图，过O点作ODAB于D点，在RtDOB中，DOB60，DBO30，又|OD|1，r2|OD|2.题型1直线与圆的位置关系(2018凉州模拟)若圆(x3)2(y5)2r2有且只有两个点到直线4x3y2的距离等于1，则半径r的范围是()A(4,6) B(4,6 C4,6) D4,6几何法：利用d与r的关系答案A解析由圆的标准方程得圆心坐标为(3，5)，则圆心到直线4x3y2的距离等于5，若圆(x3)2(y5)2r2有且只有两个点到直线4x3y2的距离等于1，则满足|5r|1，解得4r6.故选A.(2017豫南九校联考)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不确定代数法、几何法答案A解析解法一：由消去y，整理得(1m2)x22m2xm250，则4m44(1m2)(m25)16m2200，所以直线l与圆C相交故选A.解法二：圆心(0,1)到直线l的距离d1r.故选A.方法技巧判断直线与圆的位置关系的常见方法1几何法：利用d与r的关系见典例1，典例2答案解法二2代数法：联立方程之后利用判断见典例2答案解法一3点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题冲关针对训练直线yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A(，2) B(，3)C. D.答案D解析当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d1，解得m(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1m3，所以(ab)29，即ab3或ab1，所以直线xy10与圆(xa)2(yb)21相离方法技巧圆与圆位置关系的判断步骤及两圆公共弦长的求法1判断圆与圆的位置关系的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|；(3)比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论2两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解冲关针对训练已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相外切，则实数m()A5 B5或2 C6 D8答案B解析对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则圆C1的圆心C1(m，2)，半径r13，圆C2的圆心C2(1，m)，半径r22.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|r1r2，即5，则m23m100，解得m5或m2，所以当m5或m2时，圆C1与圆C2相外切故选B.题型3定点、定圆问题 (2018常州期末)已知圆M的方程为x2(y2)21，直线l的方程为x2y0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若APB60，试求点P的坐标；(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD时，求直线CD的方程；(3)经过A，P，M三点的圆是否经过异于点M的定点，若经过，请求出此定点的坐标；若不经过，请说明理由 (1)数形结合得到MP2，再用两点间距离公式列方程求解；(2)利用点到直线的距离公式求解；(3)用“肯定顺推法”求解解(1)设P(2m，m)，由题可知MP2，所以(2m)2(m2)24，解之得m0或m，故所求点P的坐标为P(0,0)或P.(2)设直线CD的方程为y1k(x2)，易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得k1或k，故所求直线CD的方程为xy30或x7y90.(3)设P(2m，m)，MP的中点Q，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为(xm)22m22，化简得x2y22ym(2xy2)0，此式是关于m的恒等式，故x2y22y0且(2xy2)0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点(0,2)或.(2018武昌区期末)已知直线l：ykx1与圆C：(x1)2y21相交于P，Q两点，点M(0，b)满足MPMQ.(1)当b0时，求实数k的值；(2)当b时，求实数k的取值范围；(3)设A，B是圆C：(x1)2y21上两点，且满足|OA|OB|1，试问：是否存在一个定圆S，使直线AB恒与圆S相切解(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题设条件可得x1x2y1y20，将ykx1代入圆C：(x1)2y21得(1k2)x22(1k)x10，故有x1x2，x1x2，又y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)11，0，得k1.(2)设P，Q两点的坐标为(x1，kx11)，(x2，kx21)，则由圆C：(x1)2y21及直线l：ykx1，得(k21)x22(k1)x10，则x1x2，x1x2，则(x1，kx11b)，(x2，kx21b)由MPMQ，则x1x2(kx11b)(kx21b)0，即(b1)，b，b10，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2 B. C. D.答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.根据点到直线的距离公式得，解得b23a2.所以C的离心率e 2.故选A.2(2018安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是()A. B0,1 C. D.答案A解析因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为|MA|2|MO|，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由1得5a212a80，解得aR；由3得5a212a0，解得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.3(2015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_答案(x1)2y22解析由mxy2m10可得m(x2)y1，易知该直线过定点(2，1)，从而点(1,0)与直线mxy2m10的距离的最大值为，故所求圆的标准方程为(x1)2y22.4(2017广东五校协作体一模)两圆x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR，bR且ab0，则的最小值为_答案1解析将x2y22axa240和x2y24by14b20化为标准方程得(xa)2y24，x2(y2b)21，依题意得两圆相外切，故123，即a24b29，所以21，当且仅当，即a22b2时等号成立，故的最小值为1. 重点保分 两级优选练A级一、选择题1(2018福建漳州八校联考)已知点P(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为axbyr2，那么()Aml，且l与圆相交 Bml，且l与圆相切Cml，且l与圆相离 Dml，且l与圆相离答案C解析点P(a，b)(ab0)在圆内，a2b2r，ml，l与圆相离故选C.2(2017河北衡水中学调研)已知向量a(2cos，2sin)，b(3cos，3sin)，若a与b的夹角为120，则直线6xcos6ysin10与圆(xcos)2(ysin)21的位置关系是()A相交且不过圆心 B相交且过圆心C相切 D相离答案A解析由题意可得ab6coscos6sinsin|a|b|cos120233，所以圆心(cos，sin)到直线6xcos6ysin10的距离d0)始终平分圆C2：(x1)2(y1)22的周长，则的最小值为()A. B9 C6 D3答案D解析把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为(m1)x(2n1)y50，由题意知直线l经过圆C2的圆心(1，1)，因而m2n3.(m2n)(54)3，mn时取等号的最小值为3，故选D.二、填空题11若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.答案1解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知 1a1.12过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_答案解析