【世纪金榜】高三数学总复习 单元评估检测(七)立体几何初步 文 新人教A版.doc

【世纪金榜】2016届高三数学总复习 单元评估检测(七)立体几何初步 文 新人教a版一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015泰安模拟)下列结论正确的是()a.若向量ab,则存在唯一的实数使a=bb.已知向量a,b为非零向量,则“a,b的夹角为钝角”的充要条件是“ab0”c.“若=,则cos=”的否命题为“若,则cos”d.若命题p:x0r,-x0+10【解析】选c.a中若b=0,则不存在,故a错;b中若a,b共线且反向,满足ab0,但其夹角不为钝角;c中否命题是将条件和结论同时否定,故c正确;d中,p:xr,x2-x+10.2.l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()a.l1l2,l2l3l1l3b.l1l2,l2l3l1l3c.l1l2l3l1,l2,l3共面d.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面【解析】选b.对于a,通过常见的图形正方体,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,得到a错.对于b,因为l1l2,所以l1,l2所成的角是90,又因为l2l3,所以l1,l3所成的角是90,所以l1l3得到b对,对于c,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故c错.对于d,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故d错.故选b.3.(2015长春模拟)一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为()a.96b.136c.152d.192【解题提示】先由三视图还原几何体,再求表面积.【解析】选c.由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱,其表面积为642+68+582=152.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()a.16+8b.8+8c.16+16d.8+16【解析】选a.将三视图还原为原来的几何体,再利用体积公式求解.原几何体为组合体;上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为v=422+224=16+8.4.(2015合肥模拟)已知a,b为两条不同的直线,为两个不同的平面,且a,b,则下列命题中的假命题是()a.若ab,则b.若,则abc.若a,b相交,则,相交d.若,相交,则a,b相交【解析】选d.若,相交,则a,b可能相交,也可能异面,故d为假命题.5.(2015青岛模拟)如图所示是某建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2kg,则共需油漆大约(尺寸如图所示,单位:m,取3)()a.20kgb.22.2kgc.111kgd.110kg【解析】选b.由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体,长方体的底面是边长为3的正方形,高为4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为4(34)=48(m2).圆锥的底面半径为3,母线为5,所以圆锥的侧面积为35=15=45(m2),底面积(去掉一个正方形)为9-33=9-9=18(m2),所以该几何体的总面积为48+45+18=111(m2),所以共需油漆0.2111=22.2kg.6.如图所示是一个正方体的表面展开图,a,b,c均为棱的中点,d是顶点,则在正方体中,异面直线ab和cd的夹角的余弦值为()a.b.c.d.【解题提示】把展开图复原为正方体求解.【解析】选c.如图所示,egf为ab和cd所成的角,f为正方体一棱的中点.设正方体棱长为1,所以ef=gf=,eg=.所以cosegf=.7.(2015石家庄模拟)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是()a.m,n且,则mnb.m,n且,则mnc.m,n,mn,则d.m,n,m,n,则【解析】选b.a中直线m,n也有可能异面或相交,所以不正确,b正确,c中,不一定垂直,错误.d当m,n相交时,结论成立,当m,n不相交时,结论错误,所以选b.8.正方体abcd-a1b1c1d1中,e,f,g分别是a1b1,cd,b1c1的中点,则下列中与直线ae有关的正确命题是()a.aecgb.ae与cg是异面直线c.四边形abc1f是正方形d.ae平面bc1f【解析】选d.由正方体的几何特征,可得aec1g,但ae与平面bcc1b1不垂直,故aecg不成立;由于egac,故a,e,g,c四点共面,所以ae与cg是异面直线错误;四边形abc1f中,abbc1,故四边形abc1f是正方形是错误的;而aec1f,由线面平行的判定定理,可得ae平面bc1f,故选d.9.如图是一几何体的平面展开图,其中abcd为正方形,e,f分别为pa,pd的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:直线be与直线cf异面;直线be与直线af异面;直线ef平面pbc;平面bce平面pad.其中正确的有()a.1个b.2个c.3个d.4个【解析】选b.将几何体展开图还原为几何体(如图),因为e,f分别为pa,pd的中点,所以efadbc,即直线be与cf共面,错;因为b平面pad,e平面pad,eaf,所以be与af是异面直线,正确;因为efadbc,ef平面pbc,bc平面pbc,所以ef平面pbc,正确;平面pad与平面bce不一定垂直,错.10.正方体abcd-a1b1c1d1中,e为线段b1d1上的一个动点,则下列结论中错误的是()a.acbeb.b1e平面abcdc.三棱锥e-abc的体积为定值d.直线b1e直线bc1【解析】选d.a.因为在正方体中,acbd,acdd1,bddd1=d,所以ac面bb1d1d,因为be面bb1d1d,所以acbe,所以a正确.b.因为b1d1平面abcd,所以b1e平面abcd成立,即b正确.c.三棱锥e-abc的底面abc为定值,锥体的高bb1为定值,所以锥体体积为定值,即c正确.d.因为d1c1bc1,所以b1e直线bc1错误.故选d.11.在直三棱柱abc-a1b1c1中,b1c1=a1c1,ac1a1b,m,n分别是a1b1,ab的中点,给出如下三个结论:c1m平面abb1a1;a1bam;平面amc1平面cnb1;其中正确结论的个数是()a.0b.1c.2d.3【解题提示】由直三棱柱abc-a1b1c1中,aa1平面a1b1c1,c1m平面a1b1c1,知c1maa1,由b1c1=a1c1,m是a1b1的中点,知c1ma1b1,故c1m平面abb1a1;由c1m平面abb1a1,a1b平面abb1a1,知a1bc1m,由ac1a1b,ac1c1m=c1,知a1bam;由amb1n,c1mcn,知平面amc1平面cnb1.【解析】选d.因为直三棱柱abc-a1b1c1中,aa1平面a1b1c1,c1m平面a1b1c1,所以c1maa1.因为b1c1=a1c1,m是a1b1的中点,所以c1ma1b1,因为aa1a1b1=a1,所以c1m平面abb1a1,故正确.因为c1m平面abb1a1,a1b平面abb1a1,所以a1bc1m,因为ac1a1b,ac1c1m=c1,所以a1b平面ac1m,因为am平面ac1m,所以a1bam,即正确;因为由题设得到amb1n,c1mcn,所以平面amc1平面cnb1,故正确.故选d.12.(2015天津模拟)在三棱锥p-abc中,pa平面abc,acbc,d为侧棱pc上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是()a.ad平面pbc且三棱锥d-abc的体积为b.bd平面pac且三棱锥d-abc的体积为c.ad平面pbc且三棱锥d-abc的体积为d.bd平面pac且三棱锥d-abc的体积为【解题提示】先结合三视图和直观图弄清题目条件,再进行推理计算.【解析】选c.因为pa平面abc,所以pabc,又acbc,paac=a,所以bc平面pac,所以bcad,又由三视图可得,在pac中,pa=ac=4,d为pc的中点,所以adpc,又pcbc=c,故ad平面pbc.又由三视图可知bc=4,而adc=90,bc平面pac,故vd-abc=vb-adc=224=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2015石家庄模拟)把一个半径为5cm的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的3倍,则这个圆锥的高为.【解析】设圆锥的高为h,底面半径为r,母线长为l,则由已知得解得:h=20(cm).答案:20cm14.如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n,p,q,r,s分别是ab,bc,c1d1,c1c,a1b1,b1b的中点,则下列判断:pq与rs共面;mn与rs共面;pq与mn共面.则正确结论的序号是.【解析】连接pr,sq,可知sqpr,所以四边形pqsr为平行四边形,所以pqrs,故正确;由图知直线mn过平面a1b外一点n,而直线rs不过m点,故mn与rs为异面直线,故错;由图知延长pq与mn,则pq与mn相交,故正确.答案:15.直三棱柱abc-a1b1c1的各顶点都在同一球面上.若ab=ac=aa1=2,bac=120,则此球的表面积等于.【解析】设球心为o,球半径为r,abc的外心是m,则o在底面abc上的射影是点m,在abc中,ab=ac=2,bac=120,abc=(180-120)=30,am=2.因此,r2=22+=5,此球的表面积等于4r2=20.答案:2016.(2015嘉兴模拟)如图,梯形abcd中,adbc,abc=90,adbcab=234,e,f分别是ab,cd的中点,将四边形adfe沿直线ef进行翻折,给出四个结论:dfbc;bdfc;平面dbf平面bfc;平面dcf平面bfc.在翻折过程中,可能成立的结论是.【解析】对于:因为bcad,ad与df相交不垂直,所以bc与df不垂直,故不成立;对于:设点d在平面bcf上的射影为点p,当bpcf时,就有bdfc,而adbcab=234可使条件满足,故正确;对于:当点p落在bf上时,dp平面bdf,从而平面bdf平面bcf,故正确.对于:因为点d的射影不可能在fc上,故不成立.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015贵阳模拟)一个几何体是由圆柱add1a1和三棱锥e-abc组合而成,点a,b,c在圆o的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中ea平面abc,abac,ab=ac.ae=2.(1)求证:acbd.(2)求三棱锥e-bcd的体积.【解析】(1)因为ea平面abc,ac平面abc,所以eaac,即edac.又因为acab,abed=a,所以ac平面ebd.因为bd平面ebd,所以acbd.(2)因为点a,b,c在圆o的圆周上,且abac,所以bc为圆o的直径.设圆o的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,所以bc=4,ab=ac=2.由(1)知,ac平面ebd,所以ve-bcd=vc-ebd=sebdca,因为ea平面abc,ab平面abc,所以eaab,即edab.其中ed=ea+da=2+2=4,因为abac,ab=ac=2,所以sebd=edab=42=4,所以ve-bcd=42=.【一题多解】第(2)问也可采用如下方法.因为ea平面abc,所以ve-bcd=ve-abc+vd-abc=sabcea+sabcda=sabced.其中ed=ea+da=2+2=4,因为abac,ab=ac=2,所以sabc=acab=22=4,所以ve-bcd=44=.18.(12分)(2015黄石模拟)如图,已知矩形abcd中,ab=10,bc=6,将矩形沿对角线bd把abd折起,使a移到a1点,且a1在平面bcd上的射影o恰好在cd上.(1)求证:bca1d.(2)求证:平面a1bc平面a1bd.(3)求三棱锥a1-bcd的体积.【解题提示】(1)由a1在平面bcd上的射影o在cd上得a1o平面bcdbca1o;又bccobc平面a1cdbca1d.(2)先由abcd为矩形a1da1b,再由(1)知a1dbca1d平面a1bc,即可得到平面a1bc平面a1bd.(3)把求三棱锥a1-bcd的体积转化为求三棱锥b-a1cd的体积即可.【解析】(1)连接a1o,因为a1在平面bcd上的射影o在cd上,所以a1o平面bcd,又bc平面bcd,所以bca1o,又bcco,a1oco=o,所以bc平面a1cd,又a1d平面a1cd,所以bca1d.(2)因为abcd为矩形,所以a1da1b.由(1)知a1dbc,a1bbc=b,所以a1d平面a1bc,又a1d平面a1bd,所以平面a1bc平面a1bd.(3)因为a1d平面a1bc,所以a1da1c.因为a1d=6,cd=10,所以a1c=8,所以=6=48.故所求三棱锥a1-bcd的体积为48.19.(12分)(2015佛山模拟)如图,在四棱锥p-abcd中,e为ad上一点,平面pad平面abcd,四边形bcde为矩形,pad=60,pb=2,pa=ed=2ae=2.(1)已知=(r),且pa平面bef,求的值.(2)求证:cb平面peb,并求点d到平面pbc的距离.【解析】(1)连接ac交be于点m,连接fm.因为pa平面bef,所以fmap.因为emcd,所以=,因为fmap,所以=,所以=.(2)因为ap=2,ae=1,pad=60,所以pe=,所以pead,又平面pad平面abcd,且平面pad平面abcd=ad,pead,所以pe平面abcd,所以pecb,又因为becb,且pebe=e,所以cb平面peb.设点d到平面pbc的距离为d,由vd-pbc=vp-dbc,得22d=23,求得d=.所以点d到平面pbc的距离为.20.(12分)(2015西安模拟)如图,在三棱锥a-boc中,ao平面cob,oab=oac=,ab=ac=2,bc=,d,e分别为ab,ob的中点.(1)求证:co平面aob.(2)在线段cb上是否存在一点f,使得平面def平面aoc,若存在,试确定f的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为ao平面cob,所以aoco,aobo.即aoc与aob为直角三角形.又因为oab=oac=,ab=ac=2,所以ob=oc=1.由ob2+oc2=1+1=2=bc2,可知boc为直角三角形.所以cobo,又因为aobo=o,所以co平面aob.(2)在线段cb上存在一点f,使得平面def平面aoc,此时f为线段cb的中点.如图,连接df,ef,因为d,e分别为ab,ob的中点,所以deoa.又de平面aoc,所以de平面aoc.因为e,f分别为ob,bc的中点,所以efoc.又ef平面aoc,所以ef平面aoc,又efde=e,ef平面def,de平面def,所以平面def平面aoc.21.(12分)(2015郑州模拟)如图所示的几何体abcdfe中,abc,dfe都是等边三角形,且所在平面平行,四边形bced是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面abc.(1)求几何体abcdfe的体积.(2)证明:平面ade平面bcf.【解析】(1)取bc的中点o,ed的中点g,连接ao,of,fg,ag.因为abc,dfe都是等边三角形,故有aobc,且平面bced平面abc,所以ao平面bced,同理fg平面bced,因为