向量在高中数学中的应用.doc

向量在高中数学中的应用 在高中数学新课程教材中，平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。距离如下：1、利用向量证明等式 材料一：已知 、 是任意角，求证： 。 证明：在单位圆上，以 轴为始边作角 ，终边交单位圆于A，以 轴为始边作角 ，终边交单位圆于B，有 ，所以有： 又 即 点评：对于某些恒等式证明，形式中含有 或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。 2、利用向量证明不等式 材料二： 是正数。求证： 证明：设 由数量积的坐标运算可得： 又因为 ， 所以 成立。 点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式： ， ，构造向量解之。 3、利用向量求值 材料三：已知 ，求锐角 。 解析：由条件得 设 ， ， 则 ， ， ， 由 ，得 ，即 ， 则 ，即 ，同理 （因为 、 为锐角） 点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。 4、利用向量求函数值域 材料四：若 ，求 的最小值。 解析：构造向量 ， 由 ，得 即 ， 当且仅当 时， 有最小值 点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。 5、利用向量解决析几何问题 材料五：过点 ，作直线 交双曲线 于A、B不同两点，已知 。 （1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （2）、是否存在这样的直线，使 若存在，求出 的方程；若不存在说明理由。 解析：（1）、设直线 的方程为 ， 代入 得 ， 当 时，设 ， ，则 ， 设 ，由 ，则 ，解之得 再将 代入 得 （1） 当 时，满足（1）式； 当斜率不存在是，易知 满足（1）式，故所求轨迹方程为 ，其轨迹为双曲线； 当 时， 与双曲线只有一个交点，不满足题意。 （2） ，所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是 ，即 。 当 不存在时，A、B坐标分别为 ， ，不满足上式。 又 化简得： ，此方程无实数解，故不存直线 使OAPB为矩形。 点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。 随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量 或 ，要会求出直线的斜率； （2）给出 与 相交,等于已知 过 的中点; （3）给出 ,等于已知 是 的中点; （4）给出 ,等于已知 与 的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一： ；存在实数 ；若存在实数 ,等于已知 三点共线. （6） 给出 ，等于已知 是 的定比分点， 为定比，即 （7） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角。 （8）给出 ,等于已知 是 的平分线/ （9）在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形; （10） 在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是矩形; （11）在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在 中，给出 ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在 中，给出 等于已知 通过 的内心； （15）在 中，给出 等于已知 是 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的中线著名