利用方程知识化无限循环小数为分数.doc

6利用方程知识化无限循环小数为分数(1) 三门县亭旁镇初级中学 郑永强 数学离不开数，对数的研究是数学教学重要的内容。在小学里，我们已经学过分数（正）可以化为有限小数或者无限循环小数；反过来，小数化分数却没有很好完全解决，其中只解决了有限小数化分数这部分内容，而无限循环小数化分数却没有完全解决，而无限不循环小数就是无理数了，不能化成分数。而无限循环小数化分数这部分内容要想彻底解决，只有在学了高中内容的数列、极限、无穷递缩等比数列求和公式等知识后，才可能彻底理解一般计算公式。这部分内容的学习时间跨度是小学到高中。 下面，就遵循从具体例子到一般结论的研究方法（归纳法），用解方程的知识，研究一下循环小数化分数这部分内容：1. 例一：化下列无限循环小数为分数：=0.9999999.在解决这个问题前，我们可以先向学生提问与1这两个数谁大，是否相等？估计初一大部分学生回答不等，或者1,【这个提问，我在上高一数学时候也向一个班55个同学调查过，其中53个同学回答是1,只有两个同学猜想回答说1=。】那么它们到底那个大呢？从而激起学生的学习兴趣，进而怎么解决这个问题上来。我们用解方程的知识研究一下这个数到底是一个怎样的数？解：设x=0.99999.(1)则10x= =9.99999.(2)把（2）-（1）得9x=9x=1,即=1所以，这个数实际上就是数1.练习：把下列这些循环小数化为分数：， ，要求：分四小组，每小组两个，用上面的方法，化一下上面八个无限循环小数为分数。其中四个同学到黑板上面来书写演练，每人计算两个，其中一个规范书写，另外一个简单书写。通过上面例子及练习，我们看到这些循环小数化为分数后，具有一定的规律性。即=，=，=，=，=，=，=，=，=1，注意：老师重新写一遍结论，书写时候尽量写整齐，有利于学生记忆。这个结论很好记，希望同学们记住，及时记住，快速记住!这些就是循环节是1的纯循环小数化分数的公式。在化循环小数为分数时候，这些公式是最基本的。可以统一成这样记忆：=【注意：这里的字母a、b是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，】注意：以后无论什么课，只要是需要记忆的东西，就要及时地记住，这个也是高效学习的要点。记忆是学习的必然要求！没有必要的记忆，学习就失去效率。运用：化下列无限循环小数为分数【循环节是1的混循环小数化分数】1. 2.3.4.5.解：【选择一个讲解，其他让四个同学到黑板上来演练。】设x=,则10x=，即10x=1+,10x=1+，x=,=等其他四个同学做好后，把结果放在一起，观察他们有没有规律性，【鼓励学生要要大胆猜测，下面第二个等号暂时不写出来，等学生发现规律后再写出来】= = = = =注意：猜测结论，要进行适当引导，目光要对数字敏感，要大胆猜测。为以后一般性的结论【公式】证明留下悬念。再举例练习验证：化下列无限循环小数为分数【循环节是1的混循环小数化分数】1. =02，=，=【本组起巩固、解惑作用，因为一部分学生心中必定还有疑惑，慢、稳、正确，稳扎稳打，实际上就是高效课堂的一种】2. =，=，=3. =，=同学们观察上面式子的结论，看看能发现什么规律？大胆猜一猜结论形式也可以。一般地，小结：循环节是1的循环小数化成分数后，分母9的个数是1个，分母是9或者90，或者900，或者9000.等例：=至于循环小数化分数后是否是最简分数，这是约分的内容，这里不研究。同学们课外可以随便举几个例子，写出结论后再验证。以上研究的是循环节是1的循环小数化分数的方法，下面就研究循环节是2的循环小数化分数的方法【两者类似例二：化下列无限循环小数为分数1.2.3.4.5.解：（取第一个，其余作为四个小组练习用）设x=0.121212.,(1)则100x=12.121212.(2)把(2)-(1)得99x=12,x=同学们同理可以得到= =同学们看看，循环节是2的纯循环小数化分数有什么规律？一般地，循环节是2的纯循环小数化分数的公式是：=【注意：这里的字母a、b只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，这里ab也不是表示a与b的积】运用：化下列无限循环小数为分数（稍有变化，但是循环节仍然是2，是循环节是2的混循环小数）1.2.3.解1：（选一个，其他两个让学生练习)设x=则10x=即10x=1+也即10x=1+x=即=，再看同学们的计算结果：=，=观察一下上面三个结论，同学们能发现什么计算规律吗？练习：化下列无限循环小数为分数，猜猜下面计算结果（同学们可以课外验证），化成分数后，分子形式怎样，分母形式又怎样？1.2.3.4.一般地：小结：循环节是2的循环小数化分数，分母9的个是2个，分母是99，或者990，或者9900，或者99000，等等。例如：=至于分子的规律性，从上面的例子可以看到，可以看出，待下面一般形式的无限循环小数化化分数的公式证明后，再看就更清楚了。下面部分就不对初中学生讲了，但是可以要求他们记住计算公式。事实上，上面的所有例子的计算，都是无穷递缩等比数列：a,ar,ar2arn-1(1)求和公式的应用，即a+ar+ar2+arn-1+=(1)例如： =0.111111=0.1+0.01+0.001+0.0001+=事实上，纯循环小数S=，就等于S=【注意这里的字母a1,a2,a3,an只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，】混循环小数S=，就等于S=【注意这里的字母不b1,b2,b3bm也只是表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，