大学数学典型案例.docx

典型案例例1 设， 1）求 及其定义域；2）可以复合成形如的函数吗？解：1）因的定义域是（），值域是（），而的定义域是（），的值域在的定义域内，故有意义，因而即 。从上式看出的定义域是（）。2）由于的值域是，的定义域是，它们无公共部分，不能复合成形如的函数。例2 设 试证：存在，并求此极限值。解：由已知 且 即 设 则 所以 是单调增加的，又从而有上界，根据单调有界准则，存在。令，则有 即 解得：，而 ，。例3 求解：原式=当 时，原式= 。当时，原式= 不存在。例4求 = 例5讨论函数的连续性，并判断间断点的类型。解：显然的间断点为（）及，在（，）内其余的点都连续。而当时，当时，故 ，是第一类（可去）间断点。当（）时，故 是第二类（无穷）间断点。例6讨论函数的连续性。解：当时， 是的第二类（无穷）间断点。当时， 是的第一类（跳跃）间断点。于是在（，0） （0，1） （1，）上是连续的。例7设函数 问（1）为何值时，在处有极限存在？（2）为何值时，在处连续？解：（1）要在处有极限存在，即要成立。因为所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 于是有，即时函数在处连续。例8设，试确定，的值，使在可导。解 要使在可导，在必连续，于是必左连续，从而在的右导数左导数为只要，则在的左导数与右导数相等，从而可导。这时例9求下列函数的导数：（1） （2）解 （1）当时，；当时，；当时，所以。（2）当时，；当时，；当时，左导数与右导数不相等，所以在不可导。例10 设函数（m为正整数），试问：（1）m等于何值时，在连续；（2）m等于何值时，在可导；（3）m等于何值时，在连续。解 （1），故对任意正整数m，在连续。（2），故当时，在可导。（3）先计算的导函数。，由（2）知，于是当时，有，所以当时，在连续。例11设函数在点存在左右导数，试证在点连续。证明 设函数在点存在左右导数，于是阿从而，即在点左连续。同理可证在点右连续。因而在点连续。例12 求极限：（1） （2）解（1） （2）令 则 等价于 故 例13设，f具有二阶连续偏导数，求解： 例14设具有一阶连续偏导数，且，求。解：，显然 由 对x求导得： 故 例15设 ，求。解法一：把原方程两边对x求偏导，得 解之： 再把原方程两边对z求偏导，得： 解得：解法二：两边微分： 解之得： 例16设直线l：在平面上，而平面与曲面相切于点（1，-2，5），求a, b之值。解1 在点（1，-2，5）处曲面的法向量 故 的方程为： 再由L的方程可得： 代入的方程，得： 解2：过L的平面束方程为： 即 曲面 在点处的法向量 所以：又点（1，-2，5）在上，故例17设在闭区间0，C上连续，其导数在（0，C）内单减，试应用Lagrange定理证明其中常数a，b满足条件证明：当a=0时 当a0时 在0，a和b，a+b上分别应用Lagrange定理 显然 ，因在（0，C）上单减，故从而，因为所以有。例18求解：显然此极限为型，应用法则得例19设，求的最大值解：令，得。当时，；当时，。所以在取得最小值。而，所以时，取得最大值。例20 计算，其中D由围成。解：作D域图（用直系）， = （或）例21 计算，其中D由，围成。解：作D域图（用极系） =例22计算 其中D：解：作D域图且D=D1+D2， 例23 证明不等式 其中D： 证：显然D域关于直线对称，积分关于变量x,y具有轮换对称性，即有 从而 又，即，面积则由重积分的比较性质，证得例24判别级数（）的敛散性。解：因为由柯西审敛法知当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，由于因而发散。例25 讨论级数的绝对收敛和条件收敛性。解：当时，由于因而级数发散。当时，由于且级数收敛。 所以，原级数绝对收敛。当时，而级数发散，则级数发散。又原级数为交错级数，且即 所以，原级数条件收敛。例26 设级数为，求和函数，并求的和。解：令，两边同时积分，得： （）从而 令，得所以，例27 判定级数的敛散性，如收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。解：因为 令 显然则 而 而 ，从而级数发散。又同时单调减少。所以，原级数条件收敛。例28 求的通解。解：原方程可化为令，代入原方程得分离变量 两边积分 ，所求通解为。例29 求解方程。解：特征方程，特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为（1）设，则，代入，得由，解得 （2）设则，代入，得由，即，故原方程的通解为。例30计算下列n阶行列式（n2）： 解 =+ =an+(-1)n+1bn Dn=an-1Dn-1+(-1)n+1= an-1Dn-1+(-1)n+1(-1)1+(n-1)=an-1Dn-1-a1a2an-2=an-1(an-2Dn-2-a1a2an-3)-a1a2an-2=an-1an-2Dn-2-an-1a1a2an-3-a1a2an-2= an-1an-2a2D2-an-1an-2a3a1-an-1an-2a1a2an-4-an-1a1a2an-3-a1a2an-2= an-1an-2a2-an-1an-2a3a1-an-1an-2a1a2an-4-an-1a1a2an-3-a1a2an-2=-an-1an-2a2-an-1an-2a3a1-an-1an-2a1a2an-4-an-1a1a2an-3-a1a2an-2=- Dn=anx1x2xn-1+xnDn-1=anx1x2xn-1+xn(an-1x1x2xn-2+xn-1Dn-2)=anx1x2xn-1+xnan-1x1x2xn-2+xnxn-1Dn-2=anx1x2xn-1+xnan-1x1x2xn-2+xnxn-1x4a3x1x2+xnxn-1x4x3D2=anx1x2xn-1+xnan-1x1x2xn-2+xnxn-1x4a3x1x2+xnxn-1x4x3(a1+x1)x2+a2x1=Dn+1=2!3!.n!例31计算下列n阶行列式（n1）：解 Dn=+=+=anDn-1-a1a2an-1=an(an-1Dn-2-a1a2an-2)-a1a2an-1=anan-1Dn-2-ana1a2an-2-a1a2an-1= (ai0)Dn=+=xn(-a)n-1(x1+x2+xn)+(-a)n例32证明：n阶行列式其中zy解 Dn=(x-z)Dn-1-(y-x)=(x-z)Dn-1-(y-x)z=(x-z)Dn-1-(y-x)z=(x-z)Dn-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)Dn-1+z(x-y)n-1即有 Dn=(x-z)Dn-1+z(x-y)n-1 (1)又Dn=(x-y)Dn-1-(z-x)=(x-y)Dn-1-(z-x)y=(x-y)Dn-1-(z-x)y=(x-y)Dn-1-(z-x)y(x-z)n-2即有Dn=(x-y)Dn-1+y(x-z)n-1 (2)联立式（1）和式（2）得例33设向量组A与向量组B的秩相等，且A组能由B组线性表示，证明A组与B组等价。证明：设，设向量组的最大无关组为，向量组的最大无关组为，由条件知，向量组可由向量组线性表示，向量组A的最大无关组刻有向量组B的最大无关组线性表示，即有下证为可逆矩阵，用反证法，设，则设，即便 只需，或，假设，则方程组有非零解，这与线性无关矛盾，故知可逆，因此，即可由线性表示，因此向量组可由向量组线性表示，即向量组与向量组等价。例34设向量组B：能由向量A：线性表示为 其中K为矩阵，且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩证明:充分性. 设,将的表示式代入有因为线性无关,故有,即.由条件知,由Gramer法则知只有零解.必要性.记,由条件可知,.因此.又矩阵为矩阵,故.例35非齐次线性方程组；当取何值时有解？并求出它的全部解。解：增广矩阵 当时，方程组有解。，为自由变量。例36取何值时，非齐次线性方程组，有惟一解；无解；有无穷多个解？解：系数矩阵行列式 当时，方程组有惟一解； 当时，增广矩阵 ，方程组无解。 当时，增广矩阵，方程组有无穷多解。基础解系的个数，为。例37设三阶矩阵A的特征值为1=1，2=2，3=3，对应的特征向量依次为 ，又向量将用1，2，3线性表出；（2）求An（n为自然数）。解:（1）考虑向量方程 ，即，把此方程组的增广矩阵作初等行变换得唯一解(2, 2, 1)，故有 =2122+3。 （2）由于Ai=ii，故；因此例38设，求。解: , 可得A的特征值所以A可对角化. 存在可逆矩阵,使,则 先求, 得 因此可得 得= =例39设A=(aij)是nn可逆矩阵，有两个线性方程组（）（）如果（）有解证明：当且仅当u=v时，（）有解证 设方程组（）的解为x1*, x2*, xn*，代入方程组（）得（）当u=v时，因为 A=(aij)是nn可逆矩阵，A的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（）的前n个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x1*, x2*, xn*，代入方程组（）的前n个方程中得（）对等式组（）中第1个等式的两端同时乘以x1*,第2个等式的两端同时乘以 x2*, 第n个等式的两端同时乘以 xn*，然后将n各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（）式，可得b1x1*+b2x2*+bnxn*=c1x1*+ c2x2*+ cnxn*=u由u=v，得b1x1*+b2x2*+bnxn*=u即x1*, x2*, xn*也满足（）中最后一个方程所以方程组（）有解反之，若方程组（）有解，设其解为x1*, x2*, xn*，代入（）得到（）对等式组（）中第1个等式的两端同时乘以x1*,第2个等式的两端同时乘以 x2*, 第n个等式的两端同时乘以 xn*，然后将n各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（）式，可得c1x1*+c2x2*+cnxn*=b1x1*+ b2x2*+ bnxn*将上式左端与（）式中最后一个等式比较，将上式右端与（）式中最后一个等式比较，得 u=v例40已知是的一个特征向量。（1）试确定常数及特征向量所对应的特征值；（2）问能否对角化？为什么？解: 因为是的一个特征向量. 所以,即 所以, 有(2) , 得A的特征值 求解方程组所以不能对角化.例41有两箱同型号零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中18只一等品，现从两箱中任取一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，试求：（1）第一次取得的零件是一等品的概率。（2）第一次取得一等品的条件下，第二次再取到一等品的概率。解：设A=“第一次取得一等品”，B=“第二次取得一等品”（1）由全概率公式 （2）由全概率公式 例42设6个相同元件先两两串联成三组，再把这三组并联成一个系统，其中每个元件损坏的概率为0.01，又各个元件损坏与否相互独立，求这个系统的可靠性。（一般称为一个元件能正常工作的概率P为这个元件的可靠性）。解：设Ai=“第i个元件正常工作”（i=1,2,3,4,5,6），B=“系统正常工作”。例43假设X服从参数为2的指数分布，证明服从（0，1）上的均匀分布。证明：已知X的概率密度为：，X的分布函数为： 的反函数为：，设Y的分布函数为，由于，当时，当 时，当时， 故Y服从（0,1）上的均匀分布。例44向平面区域G=(x,y),0y4-x2,x0内随机等可能地投掷一点。求（1）该点到Y轴距离的分布密度;（2）过该点作y轴的平行线与x轴、y轴及曲线y=4-x2所围成的曲边梯形面积S的数学期望及方差。解 平面区域G的面积 依题意,(X,Y)服从G上的均匀分布,即 求随机点列到Y轴的距离的分布就是X分量的边沿分布。 满足条件的曲边梯形面积S， 例45设（X,Y）有联合密度函数,定义两个新的随机变量U，V如下： 试求U与V的协方差COV(U,V)及相关系数UV。分析：这是一个综合性习题,先应用积分的方法求出U,V及UV的分布律,再求出协方差COV(U,V)及相关系数UV.解： U,V及UV都是离散型随机变量，所有的可能取值都是0和1。记=（x,y）|0x1, 0y1，则在内，于是得 ，于是例46 设随机变量X1与X2相互独立，且XiB(i,p), i=1,2令 ，（1）试确定p使Y1与Y2的协方差达到最小。（2）当Y1与Y2的协方差最小时，求Z=Y12+Y22的概率分布。解 ：（1）EY1=P(Y1=1)=1- P(Y1=0)=1-P(X2+X1=1)=1-3pq2其中P(X2+X1=1)=P(X2=1,X1=0)+P(X2=0,X1=1)=P(X2=1)P(X1=0)+P(X2=0)P(X1=1)=2pq2+pq2=3pq2EY2=P(Y2=1)=1- P(Y2=0)=1- P(X2-X1=2)=1- P(X2=2)P(X1=0)=1-p2qE (Y1Y2)=P(Y1Y2=1)=1- P(Y1Y2=0)=1-3pq2-p2q其中：P(Y1Y2=0)= P(Y1=0Y2=0)= P(Y1=0)+P(Y2=0)- P(Y1=0,Y2=0)=3pq2+p2q而Y1=0Y2=0= X2+X1=1, X2-X1=2=Cov(Y1,Y2)=E(Y1Y2)-E(Y1)E(Y2)=1-3pq2-p2q-(1-3pq2)(1-p2q)=-3p3q3=-3p3(1-p) 3令f(p)=-3p3(1-p) 3 ，f(p)=-9p2(1-p) 2(1-2p)，p=1/2当p1/2时，f(p)1/2时，f(p)0,故当p=1/2时，取极小值。（2）Z的所有可能取值为0，1，2，则对应的概率为 P(Z=0）=P(Y1=Y2=0)=P(X1+X