第六章第2讲　等差数列及其前n项和.ppt

第2讲等差数列及其前n项和 考点梳理 1 等差数列 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数就叫做等差数列的公差 公差常用字母 d 表示 即an an 1 n 2 n N 1 等差数列的定义及通项公式 同一个常数 d 3 等差数列的通项公式 若等差数列的首项为a1 公差为d 则通项公式为an 若已知第m项am和公差d 通项an还可写成an 1 若数列 an 是等差数列 则an am n m N 2 数列 an 是等差数列 若m n p q m n p q N 则am an 特别地 若m n 2p 则am an a1 n 1 d am n m d 2 等差数列的性质 n m d ap aq 2ap 3 在有穷等差数列 an 中 与首 末两项距离相等的任意两项之和与首 末两项之和相等 如a1 an a2 an 1 an nd 3 等差数列的前n项和 3 最值问题 在等差数列 an 中 a1 0 d 0 则Sn存在 若a1 0 d 0 则Sn存在 最大值 最小值 一个命题解读等差数列是高考考查的重点内容 主要考查等差数列的通项公式 前n项和公式 等差数列的性质等相关内容 对等差数列的定义 性质及等差中项的考查 以填空为主 难度较小 通项公式与前n项和相结合的题目 多出现在解答题中 难度中等 对这部分内容的考查仍会坚持小题考性质 大题考灵活运用知识分析问题 解决问题的能力 助学 微博 等差数列的判断方法 1 定义法 对于n 2的任意自然数 验证an an 1为同一常数 2 等差中项法 验证2an 1 an an 2 n 3 n N 都成立 3 通项公式法 验证an pn q 4 前n项和公式法 验证Sn An2 Bn 注后两种方法只能用来判断是否为等差数列 而不能用来证明等差数列 1 设Sn是等差数列 an 的前n项和 已知a2 3 a6 11 则S7 答案49解析设公差为d 则a5 a2 3d 6 a6 a3 3d 7 6 13 答案13 考点自测 2 在等差数列 an 中 a3 7 a5 a2 6 则a6 解析 S20 10 a1 a20 10 a10 a11 0 S21 21a11 0 a10 0 a11 0 n 10时 Sn最大 答案10 3 已知等差数列的公差d 0 前n项和记为Sn 满足S20 0 S21 0 则当n 时 Sn达到最大值 解析当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 5 4n 显然a1符合an 所以an 5 4n n N 答案5 4n 4 2012 南通第一学期期末考试 已知数列 an 的前n项和为Sn 2n2 3n 则数列 an 的通项公式为 1 若数列 an 是等差数列 求数列 bn 的前6项和S6 2 若数列 bn 是公差为2的等差数列 求数列 an 的通项公式 解 1 因为a1 1 a2 2 数列 an 是等差数列 所以an n 所以b1 b3 b5 1 b2 5 b4 9 b6 13 所以S6 b1 b2 b6 30 考向一等差数列基本量的计算 例1 2012 苏锡常镇四市调研 在数列 an 中 a1 1 a2 2 数列 bn 满足bn an 1 1 nan n N 2 因为b1 a2 a1 2 1 1 数列 bn 是公差为2的等差数列 所以bn 2n 1 因为b2n 1 a2n a2n 1 4n 3 b2n a2n 1 a2n 4n 1 所以a2n 1 a2n 1 2 故a2n 3 a2n 1 2 所以a2n 3 a2n 1 又a1 1 所以a3 1 故a4n 3 a1 1 a4n 1 a3 1 所以a2n 1 1 则a2n 4n 2 方法总结 等差数列的通项公式及前n项和公式中 共涉及五个量 知三可求二 如果已知两个条件 就可以列出方程组解之 如果利用等差数列的性质去考虑也可以 体现了用方程解决问题的思想 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和Sk 35 求k的值 解 1 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 由a1 1 a3 3可得1 2d 3 解得d 2 从而 an 1 n 1 2 3 2n 训练1 2011 福建卷 在等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 及 bn 的通项公式 2 是否存在常数a 0且a 1 使得数列 an logabn n N 是常数列 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 考向二等差数列的判定或证明 从而 an an 1 an an 1 4 0 因为数列 an 的各项均为正数 所以an an 1 4 所以当a1 1时 an 4n 3 当a1 3时 an 4n 1 又因为当a1 1时 a1 a2 a7分别为1 5 25 能构成等比数列 所以an 4n 3 bn 5n 1 当a1 3时 a1 a2 a7分别为3 7 27 不能构成等比数列 故舍去 所以an 4n 3 bn 5n 1 方法总结 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法 而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在填空题中简单判断 另外 求数列通项 一般要作出是否是等差数列或等比数列的判断 1 设bn an 1 an n N 证明 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 3 若a3是a6与a9的等差中项 求q的值 并证明 对任意的n N an是an 3与an 6的等差中项 1 证明由题设an 1 1 q an qan 1 n 2 得an 1 an q an an 1 即bn qbn 1 n 2 由b1 a2 a1 1 q 0 所以 bn 是首项为1 公比为q的等比数列 训练2 已知 数列 an 中 a1 1 a2 2 且an 1 1 q an qan 1 n2 q 0 2 解由 1 知 a2 a1 1 a3 a2 q an an 1 qn 2 n 2 将以上各式相加 得an a1 1 q qn 2 n 2 即an a1 1 q qn 2 n 2 上式对n 1显然成立 3 解由 2 当q 1时 显然a3不是a6与a9的等差中项 故q 1 由a3 a6 a9 a3可得q5 q2 q2 q8 由q 0得q3 1 1 q6 整理得 q3 2 q3 2 0 解得q3 2或q3 1 舍去 2 已知数列 an 的通项公式是an 4n 25 求数列 an 的前n项和 考向三等差数列前n项和及综合应用 例3 1 在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为Sn 且S10 S15 求当n取何值时 Sn取得最大值 并求出它的最大值 方法总结 求等差数列前n项和的最值 常用的方法 1 利用等差数列的单调性或性质 求出正负转折项 便可求得和的最值 2 利用等差数列的前n项和Sn An2 Bn A B为常数 为二次函数 根据二次函数的性质求最值 1 求 an 的通项公式 2 求证 数列 bn an 为等比数列 3 求 bn 前n项和的最小值 例4 1 在等差数列 an 中 a1 a2 a3 24 a18 a19 a20 78 则此数列前20项和等于 考向四等差数列的性质及应用 答案 1 180 2 15 方法总结 高考对等差数列通项公式的考查 常常涉及项与项之间的内在联系 因此突破这些问题的关键是归纳和总结一些基本的性质 并能利用这些性质对问题进行合理的转化 从而求解 近几年高考中 对等差数列的概念 通项公式 性质 前n项和公式的考查始终没有放松 一方面考查知识的掌握情况 另一方面考查数学推理能力 1 求数列 an 的通项公式 热点突破17等差数列的综合问题 反思与回顾 第三步 高考考查等差数列时 常考查等差数列的通项 性质 求和 裂项法求和和公式法求和等知识 1 2012 重庆卷改编 在等差数列 an 中 a2 1 a4 5 则 an 的前5项和S5 答案15 高考经典题组训练 解析因为a1 a5 2a3 10 所以a3 5 又a4 7 所以d a4 a3 2 答案2解析因为 a1 a5 b1 b5 2 a3 b3 42 所以a5 b5 42 7 35 答案35 2 2012 福建卷改编 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 3 2012 江西卷 设数列 an bn 都是等差数列 若a1 b1 7 a3 b3 21 则a5 b5 1 求数列 an 的通项公式 2 对任意m N 将数列 an 中落入区间 9m 92m 内的项的个数记为bm 求数列 bm 的前m项和Sm 解 1 因为 an 是一个等差数列 所以a3 a4 a5 3a4 84 a4 28 设数列 an 的公差为d 则5d a9 a4 73 28 45 故d 9 由a4 a1 3