第五章刚体和流体.doc

第五章 刚体和流体基本要求：1. 刚体的转动动能、转动惯量、力矩所作的功、动能定理和转动定理是刚体动力学中的重要内容，应该全面掌握它们的物理意义和计算方法；2. 正确理解和掌握作定轴转动刚体相对转轴的角动量、角动量定理和角动量守恒定律，并能进行简单的运算；3. 正确掌握静止流体中的压强概念；4. 反映理想流体运动规律的伯努利方程是流体力学的基础，对于该方程的推导过程、物理意义、应用条件以及所涉及的一系列概念，要求读者正确理解和掌握，并能运用这个规律处理有关流体力学问题；5-1刚体的运动一、平动和转动与物体的大小和形状有关的运动, 通常是相当复杂的, 其原因之一, 是物体受力作用时要发生形变。但是在某些问题中, 物体的大小和形状的变化很小, 这样的物体我们可以用刚体这一理想模型来代表。所谓刚体, 就是在任何情况下, 其大小和形状都不变化的物体。平动和转动是刚体运动的最基本的形式。在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一条直线始终保持平行, 这种运动就称为平动。根据这个定义可以得出, 既然刚体上的任意一条直线在刚体平动过程中始终保持平行, 那么直线上所有的点应有完全相同的位移、速度和加速度。又因为这条直线是任意的, 故可断定, 在平动过程中, 刚体上所有的点的运动是完全相同的, 它们具有相同的位移、速度和加速度。既然如此, 我们就可以用刚体上任何一点的运动来代表整个刚体的平动。前面关于质点运动的规律可以用来描述刚体的平动。在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点都绕同一条直线作圆周运动, 那么这种运动就称为转动。这条直线称为转轴。一个常见的例子是，一块木板被敲击后的运动，总是整体随质心的平动的围绕质心的转动：在一般情况下, 刚体运动是相当复杂的,但无论多么复杂, 总可以分解为平动和转动。让我们看一个较为常见的例子。取一块平整的木板, 在质心c和其他任一位置分别打一个小孔, 在小孔里各塞一团药棉, 并分别滴入不同颜色的墨水,然后将木板平放在光滑的桌面上。当用小锤沿水平方向敲击木板侧面时, 木板将在桌面上一边旋转一边滑动, 浸有墨水的药棉将在桌面上描绘出两条轨迹。小孔c描绘的总是一条直线, 如图5-1中的实线所示。而另一个小孔, 由于敲击部位和敲击方向的不同，将描绘出形状不同的曲线，图5-1中的虚线是其中的一条。这表明，木板作为一块刚体, 在一般情况下的运动, 总是整体随质心c的平动和围绕c的转动的叠加或组合。二、刚体的定轴转动在刚体转动过程中, 如果转轴固定不动, 这种转动称为定轴转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称为转动平面。显然, 这种平面可以作无限多个, 对于刚体的转动而言, 它们是等价的, 在研究刚体转动时可任选一个。在作定轴转动时，刚体上所有的点都绕转轴作圆周运动, 因此具有相同的角速度和角加速度, 在相同的时间内有相等的角位移。但是由于各点到转轴的距离不同, 位移、速度和加速度却不相等。在1-3中我们曾经把角速度的大小定义为. (5-1)角速度的方向可以这样确定：让右手四指沿转动方向围绕转轴而弯曲, 拇指所指的方向就是角速度的方向。那么，如此方向的角速度是正值, 还是负值呢? 取转轴为z轴, 当角速度指向z轴正方向时, 0；当角速度指向z轴的负方向时, 0；若刚体作顺时针转动, se时，发生塑性形变。例如，当应力达到点c所对应的应力sc时，若把外力撤除，固体的应力与应变的关系将沿oc变化，最后留下一定的剩余形变oo。当应力达到点b所对应的应力sb时，固体就断裂了，sb称为强度极限。图5-12所表示的情况虽然是固体在受外力作用被拉伸过程中应力与应变的关系，但可以从中看到固体受力形变的一般情形。有些固体的弹性极限与强度极限十分接近，因而塑性形变很小，称为脆体；有些固体的弹性极限与强度极限相距较远，可以产生很大的塑性形变，称为可塑体。二、固体的弹性形变由上面的讨论可知，固体在弹性极限以内发生的形变都是弹性形变。而当应力不超过比例极限时，弹性形变的应力和应变之间才存在线性关系。胡克定律就反映了这种线性关系。弹性形变有多种，最简单的是长变和剪切。所谓长变，就是固体在外力作用下沿纵向拉伸或压缩。如果一均匀棒的长度为l，横截面积为s，在棒的两端沿纵向施以力fn的作用，如图5-13所示。拉力规定为正力，对应的形变dl也是正的，表示固体被拉伸，如图5-13(a)所示；压力规定为负力，对应的形变dl也是负的，表示固体被压缩，如图5-13(b)所示。在长变的情况下，固体的拉伸应变en可以表示为. (5-23)固体受到力fn的作用而发生长变，则在任一横截面上出现的应力sn可以表示为. (5-24)根据胡克定律，在比例极限以内，en与sn之间存在线性关系，并可表示为sn = yen ,(5-25)式中比例系数y称为材料的长变弹性模量，或杨氏模量，它决定于固体材料自身的性质。所谓剪切，就是当固体受到大小相等、方向相反、相距很近的两个平行力作用时，在两力间的固体各横截面将沿外力方向发生相对错动，如图5-14所示。物体错动的角度称为剪切角，图中用y表示。固体的剪应变et可以表示为,当剪切角y很小时，近似有et=y .在剪切的情况下，外力ft与受它作用的面是平行的，所以固体横截面上产生的应力都与该截面相切，因而称为剪应力，如图5-15所示。若横截面的面积为s，则剪应力st可以表示为.根据胡克定律，应有st = get ,(5-26)式中比例系数g称为固体材料的剪切模量，简称剪模量，它也是由材料自身的性质决定的。对于大多数均匀的各向同性的固体材料，剪切模量g约等于其杨氏模量的0.4倍。5-5理想流体及其运动规律流体是对处于液态和气态的物体的统称。处于这两种形态的物体具有一个共同的特性，即物体各部分之间很容易发生相对运动，这种特性称为流动性。正由于液体和气体都具有流动性，它们在力学性质上表现了很多相似之处。一、流体的压强无论流体与容器器壁之间,还是流体各部分之间, 都存在相互作用。我们想象在静止的流体内部划出一块流体, 包围这块流体的闭合曲面将这块流体与流体的其他部分分隔开。闭合面以内的流体对闭合面以外的流体存在作用力, 同时，闭合面以外的流体对闭合面以内的流体也施以反作用力, 如图5-16所示。由于流体是静止的, 所以作用于这块流体闭合面上的作用力的矢量和必定等于零。另外, 在闭合面任何一点上, 来自闭合面以外的流体的作用力和来自闭合面以内的流体的作用力, 都必定与该点处的闭合面面元相垂直， 否则沿面元切向的分力必将分别引起该面元以内和以外小块流体的流动。由此我们可以得到这样的结论: 在静止流体中, 各部分之间的作用力必定表现为正压力。图5-17根据流体内各部分之间相互作用的上述性质, 我们引入压强的概念。在包围流体块的闭合面上任意一点a附近取面元ds，ds的方向与闭合面在点a的法线n的方向一致, 如图5-17所示。如果闭合面以内的流体对面元ds的压力为df, 那么点a的压强p就定义为df = p ds .(5-27)上式表示, 压强就是单位面积上所承受的沿法线方向的压力的大小。因为df与ds的方向一致, 所以压强又可由下式表示. (5-28)由压强的定义式(5-27)可以看到, 压强是流体内点上的性质, 是标量, 而由压强在一个面上所造成的压力则是流体内面上的性质, 是矢量。压力矢量的方向决定于面的取向, 压力矢量的大小决定于该面所在处的压强和面的大小。既然压强是流体内点上的性质, 那么在静止流体中的任意给定点上无论通过这一点的截面如何选取, 这一点的压强总是相同的, 也就是说, 压强p的值与面元ds的选取无关。图5-18表示, 截面ds1和ds2都通过流体中的给定点a，ds1的法线为n1，ds2的法线为n2。ds1所受压力的方向沿n1，ds2所受压力的方向沿n2。这两个压力的大小和方向各不相同, 而引起这两个压力的压强却是相同的, 都是流体中点a的压强。在国际单位制中，压强的单位是pa (帕斯卡, 简称帕)1 pa = 1 n m-2 .另外, 压强还常用bar (巴)和atm (标准大气压，简称大气压)为单位表示, 它们与pa的关系为1 bar = 105 pa ,1 atm = 101325 pa .二、关于理想流体的几个概念 1. 理想流体实际的液体和气体除了具有共同的特性, 即流动性外, 还在不同程度上具有另外两种性质, 一是可压缩性, 二是黏性。可压缩性指的是流体的密度随压力的大小而改变的性质。液体的可压缩性很小, 通常都看作是不可压缩的。黏性就是在液体或气体中各部分之间存在内摩擦的这一特性。实际流体在一定程度上具有可压缩性和黏性, 增加了对流体运动分析的复杂因素, 但是在很多场合下这两种性质又是可以忽略的, 所以有必要也有可能引入理想流体这一模型。所谓理想流体, 就是绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。对理想流体的分析所得出的结论, 对于处理实际流体的运动问题具有十分重要的指导意义。2. 定常流动在一般情况下, 即使是理想流体, 运动也是相当复杂的。引起这种复杂性的原因是流体各部分之间非常容易发生相对运动, 在同一时刻, 流体各处的流速可能不同, 在不同时刻, 流体流经空间某给定点的流速也可能在变化。但在有些场合, 流体的运动会出现这样的情形: 尽管在同一时刻流体各处的流速可能不同, 但流体质点流经空间任一给定点的速度是确定的，并且不随时间变化。这种流动称为定常流动。在流速较低时定常流动的条件是能够得到满足的。例如, 沿着管道或渠道缓慢流动的水流, 在一段不长的时间内可以认为是定常流动。3. 流线为了形象地描述流体的运动, 我们在流体中画出一系列曲线, 使曲线上每一点的切线方向与流经该点的流体质点的速度方向相同, 这种曲线就称为流线, 如图5-19所示。在定常流动中, 流线是不随时间变化的。既然流线上每一点的切线方向都与流体质点的速度方向相同，所以流体质点将沿着流线运动，流线就是流体质点的运动轨迹。任何两条流线都不能相交，因为如果有两条流线相交, 那么流到交点的流体质点的速度就有两个方向, 这一点的流速就是不确定的, 这种流动就不能称其为定常流动。在定常流动中, 空间各点的流速虽然不同, 但它们都不随时间变化, 所以流体中流线的分布图样也不随时间变化。4. 流管在定常流动中,通过流体中的每一点都可以画一条流线。由流线围成的管状区域, 就称为流管, 如图5-20所示。 因为流管的边界是由许多流线组成的, 所以流管内的流体不能流出管外, 管外的流体也不能流入管内, 流管的作用与形状相同的管道一样, 流管就是一种无形的管道。流体在流管中的流动规律代表了整个流体的运动规律, 这就为我们研究流体的运动提供了方便。三、理想流体的连续性方程在流体中任取一细流管, 并任意作两个与流管垂直的截面, 截面面积分别为s1和s2 , 如图5-21所示。如果流体流经截面s1和s2时的速率分别为v1和v2 , 则在dt时间内流过这两个截面的流体体积可分别表示为dv1 = s1 v1 dt , dv2 = s2 v2 dt .单位时间内流过某一截面的流体体积, 称为流体流过该截面的体积流量，或流量。流过截面s1和s2的流量可分别表示为,.对于不可压缩流体(理想流体具有这种性质)来说, 单位时间内由截面s1进入流管的流体体积, 应该等于同一时间内从截面s2流出流管的流体体积, 所以必定有s1 v1= s2 v2, (5-29)或s v = 恒量 ,上式就是理想流体的连续性方程。它表示, 理想流体作定常流动时, 流体的速率与流管截面积的乘积是一个恒量, 或者说, 流体的速率与流管的截面积成反比。流线的走向表示速度的方向,流线的疏密表示速度的大小如果在某一管道的横截面上各点的流速都相等, 通过该截面的流体的流量qv可以用截面积s与流体流经该截面的流速v的乘积来表示, 即qv = s v .(5-31)如果截面上各点流速不相等, 流量则不能用式(5-31)表示。这时我们可以在截面上任取一面元ds, 此处的流速为v, 流体通过面元ds的流量可以表示为dqv = v ds ,通过整个截面的流量为.(5-32)由此我们还可以引入流体在管道截面上的平均流速的概念, 它定义为, (5-33)上式在处理具体问题时经常采用。四、伯努利方程伯努利(d.bernoulli, 1700-1772)方程反映了理想流体在作定常流动时压强和流速的关系, 是流体力学中的基本方程式。图 5-22 在重力场中作定常流动的理想流体内任取一细流管, 并在此流管中考察一段流体块的流动情况。在图5-22中, s1和s2分别表示在细流管中所截的两个横截面的面积, 相对同一个水平参考面, 它们的高度分别为h1和h2 。处于s1到s2之间的流体块在dt时间内流到s1到s2之间的位置上。流体流经截面s1的流速为v1,流经s2的流速为v2。可以推得. (5-38)因为s1和s2都是任意选取的, 所以可以将式(5-38)中的角标去掉, 对于同一条细流管中的任一截面, 下面的关系总是成立的 恒量. (5-39)式(5-38)和式(5-39)都称为伯努利方程, 它们描述了理想流体作定常流动时的基本规律。 如果理想流体沿水平流管作定常流动, 伯努利方程可写为恒量. (5-40) 上式表明, 在同一条水平流管中, 流速大的地方压强必定小, 流速小的地方压强必定大。前面所讲的连续性方程向我们表明, 流速大的地方流管狭窄，流速小的地方流管粗大。从这两个结果中，我们可以得到这样的结论: 当理想流体沿水平管道流动时, 管道截面积小的地方流速大、压强小, 管道截面积大的地方流速小、压强大。喷雾器、水流抽气机等都是利用这个原理制成的。将伯努利方程应用于静止流体中，可以得到我们熟知的各点间的压强关系：我们可以把静止看作为一种特殊的运动状态, 而将伯努利方程运用于静止流体中, 不过这时流体中任意两点都可以看作是处于同一条流线上。若在密度为r的静止流体中有a、b两点, 其高度分别为ha和hb , 对于这两点列出伯努利方程，为 , 或者 . (5-41)上式表示, 静止流体中任意两点的压强差与流体的密度 和这两点的高度差(hb -ha )成正比。如果a、b两点的高度相等, 则由上式得 pa = pb . (5-42) 这表明, 静止流体中同高度两点的压强相等。静止流体的压强公式(5-41)和(5-42)完全可以由静止流体各部分之间相互作用的性质求得, 而在这里我们从伯努利方程中导出了。可见, 静止流体的确是定常流动流体的特例。 5-6黏性流体的运动 一、流体的黏性实际流体都不同程度地具有黏性, 甚至有的流体的黏性相当大, 如甘油、重油和熔融的金属等, 这对它们的运动必定要产生影响。这种影响主要表现在：流体在远距离输送时, 必须考虑由其黏性所引起的能量损耗；当物体在流体中作相对运动时, 必须考虑由其黏性所引起的阻力作用等。在作相对运动的两层流体之间的接触面上, 存在一对阻碍两流体层相对运动的大小相等而方向相反的摩擦力, 这种摩擦力称为流体的黏力, 或内摩擦力。流体的这种性质称为黏性。在讨论静止流体两部分之间的相互作用时我们曾说过, 在任何一点上, 流体的一部分对另一部分的作用力都与该点处两部分流体的界面相垂直, 而且它们之间不存在切向力。但在作相对运动的两部分黏性流体之间, 则既存在沿界面法向的压力, 也存在沿界面切向的黏力。由于流体黏性的存在, 当流体沿固体表面流动时, 紧贴固体表面的那层流体实际上是附着在固体表面上不动的, 它对相邻流体层所施加的黏力, 企图使这相邻的流体层也静止不动, 但这是不可能的, 因为这层流体同时还受到在其另一侧的流体层所施加的方向相反的黏力的作用, 这个力的作用企图使它以更快的速率运动。各层流体之间就是这样彼此牵制, 互相制约，从而使各层流体的速率不同, 距离固体表面越近的流体层速率越小, 距离表面越远的流体层速率越大。当流体沿管道流动时, 处于管轴的流体层速率最大, 距离管壁越近的流体层速率越小, 紧贴管壁的流体层速率为零。由于黏性的存在, 在管道中流动的流体自然地出现了分层流动, 各层流体只作相对滑动而彼此不相混合, 这种现象称为层流。液体在毛细管中的流动, 血液在微血管中的流动, 石油在输油管中的流动等, 多为层流。我们用速率梯度来表示流体各层速率的递变情形：为了描述流体各层速率的递变情形, 让我们来观察图5-25所示的充满在两个水平放置的平行板之间的流体的流动。图中将坐标原点和xy 平面取在下面的平板上。如果上面的平板以速率v沿y方向运动, 下面的平板固定不动, 那么紧贴上平板的流体层将随平板一起运动, 紧贴下平板的流体层将随平板一起静止。处于两板之间的各流体层的速率将呈现沿z轴递增的分布情形, 如图5-25中的箭头所示。我们可以用速率梯度这一概念来表示各层流体速率递变的情形。速率梯度的物理意义是, 在垂直于流动方向上，每增加单位距离流体速率的增加量, 也就是沿垂直于流动方向上速率的变化率。在我们的问题中, 流体沿z方向的速率梯度的大小可表示为, 并且是常量。但在一般情况下, 速率梯度的大小不一定是常量, 可能是z的函数, 在z0 处速率梯度的大小可表示为。实验表明, 流体内部相邻两流体层之间黏力f的大小正比于这两层之间的接触面积ds, 正比于该处速率梯度的大小, 即. (5-43)黏力f的方向如图5-26中的箭头所示。图中表明, 在相对运动的两层流体之间的黏力作用于每一层上的力的方向, 总是与该层相对于另一层的相对速度的方向相反。式(5-43)中的比例系数h称为流体的黏度, 是流体黏性的量度。黏度越大的流体在相同条件下黏力也越大。表5-2列出了几种流体的黏度。流体的黏度与温度有密切关系: 液体的黏度随温度的升高而减小; 气体的黏度随温度的升高而增大。体的黏度h是流体宏观流动性的反映，h越大, 流动性越小, 流体越不容易流动。影响液体和气体流动性的因素是不同的。影响液体流动性的主要因素是液体分子之间的引力作用。随着温度的升高, 液体分子的动能增大, 也就是摆脱分子之间引力束缚的能力增大, 因而流动性加强, 黏度自然减小。而影响气体流动性的主要因素是气体分子之间的相互碰撞。随着温度的升高, 气体分子热运动速率增大, 在单位时间内相互碰撞的次数也就增加, 因而宏观流动性减弱, 黏度自然增大。在实际工作中，测定流体的黏度是十分重要的：在实际工作中, 测定流体的黏度是十分重要的。润滑剂的选择必须考虑黏度；因为黏度与分子结构有密切关系, 我们可以根据黏度来确定高分子物质的分子量；由于人体血液的黏度与病变有关, 我们可以根据血液的黏度获得有价值的病理资料。在国际单位制中黏度的单位是pas (帕秒)。黏度也常用p (泊)作单位, 它与pas的关系为1 p = 0.1 pa s .二、 黏性流体的运动规律当黏性流体作定常流动时, 必须考虑由于黏力所引起的能量损耗。利用伯努利方程可以得到. (5-45)式(5-45)就是黏性流体作稳定流动时所遵从的规律。如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作定常流动, 则沿管道长度方向上流速应处处相等, 这时式(5-45)可写为,或者写为. (5-46)式(5-46)表示, 由于黏力的存在, 为了维持黏性流体在管道中作定常流动, 要么必须保证管道两端的压强差(p1-p2), 以外力对流体作功的方式来弥补由于黏力所引起的能量损耗；要么必须保证管道两端的高度差(h1-h2), 以降低流体重力势能的方式来弥补由于黏力所引起的能量损耗；或者两者兼而有之。*三、泊肃叶定律由以上分析可见, 确定黏性损耗w的大小是进行黏性流体远距离输送的关键问题之一。如石油输油管的设计, 自来水管道和废水排放管道的设计，工厂流体产品的输送等, 都必须根据w的数据来提供适当的压强差或高度差, 以使出口处流体的压强或速率满足所需要求。黏性流体在水平放置的圆形截面的管道中作层流时, 理论上可以算得流量为, (5-47)式中h是流体的黏度，p1-p2是管道两端的压强差，l和r分别是管道的长度和半径。式(5-47)称为泊肃叶(j.l.m.poiseuille, 1799-1869)定律。根据泊肃叶定律可以求得黏性损耗w。管道中流体的平均流速可以表示为.(5-48)对于水平放置的管道, 式(5-46)变为w = p1 - p2 .(5-49)从式(5-48)中解出(p1-p2 ), 代入式(5-49), 得(5-50)上式表明, 流体在水平圆管中作层流时，黏性损耗与平均流速成正比。*四、湍流和雷诺数 流体在管道中流动并不始终保持层流，由于流速和其他条件的不同，流动会出现另一种形式, 即湍流。所谓湍流, 就是流体中出现了沿垂直于管轴方向的速度分量的不规则流动。当湍流出现时，管中截面上每一点的速度大小和方向都在不断变化，能量损耗w 不再与平均流速成正比，而是与平均流速的平方成正比。实验表明，发生湍流的临界流速与一个无量纲的量re相对应。re由下式表示, (5-51)式中r、h和v分别是流体的密度、黏度和流速，r是管道的半径。这个量re称为雷诺数。由层流过渡到湍流的雷诺数，称为临界雷诺数，记为rec。圆形管道的临界雷诺数rec在20002600的范围内。对于给定的管道和给定的流体，并保持温度不变，式(5-51)中r、h和r都是确定的，只有v是可以改变的。当流速v的值使雷诺数re处于临界值rec时，此时的流速就是临界流速vc，并由下式定义(5-52)如果流速从低于vc值增大到高于vc值，那么流动将会从层流转变为湍流。由于临界雷诺数rec 不是一个明确的数而是一个数值范围，所以vc 也是一个数值范围。*五、斯托克斯黏性公式当固体物在黏性流体中作相对运动时，固体物将受到流体的阻力作用。在相对运动速率不大时，阻力主要来自流体的黏力，并称为黏性阻力。由于固体物的表面附着一层流体，这层流体随固体物一起运动，在固体物表面周围的流体中必然形成一定的速率梯度，从而在各流层之间产生黏力，阻碍固体物作相对运动。当固体小球以不大的速率在流体中运动时，理论上可以证明它所受黏性阻力f的大小由下式决定f = 6 ph r v , (5-53)式中h是流体的黏度，r是小球的半径，v是小球相对流体的运动速率。上式所表示的规律称为斯托克斯(g.g.stokes, 1819-1903)黏性公式。这个公式有很多重要应用，如测定流体的黏度，测定小液滴的半径，测定电子的电量，以及测定阿伏伽德罗常量等。还可以利用斯托克斯黏性公式可以求得固体小球在静止流体中下落的速率：当固体小球在静止的黏性流体内由于重力作用而下落时，实验上可以观察到，开始小球作加速运动，随速率的增大，黏性阻力在增加，当速率增大到一定值时，小球开始作等速运动，此时作用于小球的黏性阻力、浮力与重力相平衡。如果流体的密度为r，小球的密度为r，半径为r，速率为v，下面的关系成立.由此式可求得小球下落的速率，为(5-54)由上式可以看出，两个相同材料做成的小球，在同种黏性流体中由于重力而下落，大球的速率必定大于小球的速率。仔细观察雨滴下落的情景，可以证明这个结论。假如从实验中测出速率v，则可根据式(5-54)求出液体的黏度h; 假如流体的黏度已知, v已由实验测出，则可根据式(5-54)求得小球(或液滴)的半径。指导：511. 简谐振动的基本特征(1)简谐振动的基本特征可以用以下三个方面来表示。a)质点的运动是在大小与位移成正比、方向与位移方向相反的力的作用下发生的一种周期性运动，这种力也称为线性回复力，可以表示为,其中k为常数，x为物体相对于平衡位置的位移。既然力的形式已经确定，参与简谐振动的质点的加速度也就确定了。根据牛顿第二定律，应有,所以，质点的加速度可以表示为.可见，参与简谐振动质点的加速度的大小与位移成正比，方向与位移方向相反，即总是指向平衡位置。b)质点运动的动力学方程具有下面的微分方程的形式,并且w是决定于振动系统自身性质的常量。c)质点的位移随时间的变化，遵从余弦(或正弦)函数的规律，以平衡位置为坐标原点，此函数关系可表示为.以上三种说法在力学范围内是等效的，是同一物理本质的不同描述，物体只要在形式为f = -kx的力的作用下运动，其位移一定满足b)中所说的微分方程，而这个微分方程的解一定是时间的余弦(或正弦)函数。(2)对简谐振动基本特征的三种描述中的任何一种，都可以作为简谐振动的定义。但是，由于振动的概念已经扩展到物理学的各个领域中，一个物理量在某定值附近作往返变化的过程，都称为振动。在这种情况下，第一种描述不再有效。所以，第二种描述具有更加普遍的意义，我们可以用这种描述对简谐振动作一普遍定义：任何物理量x的变化规律满足方程式,并且w是决定于系统自身的常量，则该物理量作简谐振动。(3)读者应注意，判断一物体的运动是否为简谐运动，必须以简谐振动的基本特征为依据。有的读者认为，只要物体在某一位置附近作周期性运动，就是简谐振动，这是不对的。因为不是任何一种周期性运动都具有上述简谐振动的基本特征的。例如，拍皮球时，皮球的运动就是在某位置上、下作周期性运动，是一种振动，但不是简谐振动。 2. 刚体的定轴转动从运动学角度，可以用角位移、角速度和角加速度来描述刚体的定轴转动，与描述质点圆周运动的情况相似。(1)关于角位移a)在转动平面内、过转轴与该平面的交点，任画一条参考线，可以根据这条参考线来考察刚体转角的大小。刚体在d t时间内相对于参考线所转过的角dq，称为刚体在d t时间内的角位移。b)无限小的角位移是矢量，而有限大小的角位移不是矢量；无限小角位移的方向沿着转轴，其指向可按右螺旋关系确定，即右手四指沿q角增加的方向围绕转轴而弯曲，伸直的拇指所指的方向，就是角位移的方向。读者只要知道这些就够了。c)在定轴转动中，无限小角位移尽管是矢量，但是它的方向可以用正、负号来表示：取转轴与z轴重合，面对z轴看去，当刚体沿逆时针方向转动时，dq 0，当刚体沿顺时针方向转动时，dq 0；当刚体沿顺时针方向转动时，w0。c)角加速度a的正、负应根据角速度的符号和刚体转动的情况确定：当刚体作加速转动时，a与w同号；当刚体作减速转动时，a与w反号。(3)角速度和角加速度在描述刚体定轴转动中所起的作用，与速度和加速度在描述质点直线运动中的作用相似，所以可以把角速度与速度相对应，把角加速度与加速度相对应。于是，刚体的匀变速定轴转动可以用质点的匀变速直线运动的基本公式来描述: ,.式中w0为初始时刻刚体的角速度，w为t时刻刚体的角速度，a为角加速度，q为t时间内刚体转过的角度。 52l. 刚体的转动动能(1)组成刚体的所有质元作圆周运动的动能的总和，就是整个刚体的转动动能，可以表示为.(2)读者在理解上式时，既要看到上式与质点运动动能表达式在形式上的相似性，也要注意到刚体定轴转动自身的特点。在刚体定轴转动中，转轴与z轴重合，转动动能ek的表示式中的转动惯量j和角速度w都是相对于z轴而言的。下面我们将会看到，对于一定的刚体，相对于不同的转轴，转动惯量会有不同的值，而在转动动能表示式中，j和w必须相对于同一个转轴。在质点运动动能公式中却不存在这样的关系。2. 刚体的转动惯量刚体的转动惯量可以表示为.转动惯量这个物理量是在质点力学中不曾见到的，这个量的出现，也从另一方面反映了刚体定轴转动的特性。读者在理解这一物理概念时，应注意下面两点。(1)关于影响转动惯量的因素，教材上册第104页已有详尽的讨论。从转动惯量的表示式中我们可以看到，这个物理量决定于刚体各部分质量相对于转轴距离的分布情况。具体地，可以用三句话表示：a)转动惯量与刚体的形状有关；b)在形状一定的情况下，与转轴的位置有关；c)在形状和转轴位置一定的情况下，与刚体的质量成正比。(2)可以把转动惯量与质点的质量相类比，加深对转动惯量物理意义的理解。从转动动能表示式中刚体的转动惯量j，与质点运动动能表示式中质点的质量m的地位相当这一点，我们可以推知，转动惯量是刚体转动惯性的量度，刚体相对于某轴的转动惯量越大，相对于该轴的转动惯性就越大，转动状态(由角速度来表征)就越不容易改变。在学习了转动定理之后，这一点会看得更清楚。3. 力矩作的功(1)对于定轴转动而言，力矩是描述力对刚体作用产生转动效应和改变转动状态的物理量。力矩对于刚体转动所起的作用，与力对于质点运动所起的作用是相似的。(2)一般意义下的力矩m是对参考点的，是矢量。而对于定轴转动的刚体，只有对转轴的力矩分量mz对刚体的转动有意义，力矩的其他分量对刚体的转动无意义。所以，在刚体定轴转动中，说到力矩总是指力矩沿转轴的分量mz。(3)既然对刚体的定轴转动有意义的力矩是mz，那么对刚体的定轴转动有意义的力，只能是作用于刚体的力在转动平面内的分量，因为只有它对mz有贡献，这正是教材第108页中所说的，“我们可以约定, 以下所提及的外力都认为是处于转动平面内的。”(4)力矩作功的基本公式为.此式与质点力学中力作功的基本公式的地位相当，形式相似。这种比较有助于对力矩作功的理解和记忆。在推导力矩作功的基本公式时，我们假设刚体同时受到n个外力的作用，并假设这n个外力都处于转动平面内，这并不损害所得结果的普