高等数学第一节对弧长的曲线积分ppt课件.ppt

1 第九章曲线积分与曲面积分 第一节对弧长的曲线积分 第二节对面积的曲面积分 第三节对坐标的曲线积分 第四节对坐标的曲面积分 第五节Green公式 第六节Gauss公式 第七节Stokes公式 2 第一节对弧长的曲线积分 对整体量进行分割 作和 取极限所产生的定积分与重积分已经带来了很大的方便 但是 有些实际问题与理论问题 这两种积分还解决不了 于是 又引进了曲线积分与曲面积分 它们与前者的基本思想是一致的 本章讨论的基本问题是两类曲线积分与两类曲面积分 重点是曲线积分与路径无关的问题以及Green 格林 公式与Gauss 高斯 公式 3 一 对弧长的曲线积分的定义 二 对弧长的曲线积分的性质 三 对弧长的曲线积分的计算 四 对弧长的曲线积分的应用 4 线密度为连续函数z f x y 利用分割作和 取极限的方法求该构件的质量 一 对弧长的曲线积分的定义 定义1如果连续曲线y f x 上到处都有切线 当切点连续变动时 切线也连续转动 就称此曲线为光滑曲线 设有一曲线形构件 它在xOy平面内是一条光滑曲线弧L 见图9 1 图9 1 5 在L上取点M1 M2 Mn 1 把L分成n小段 在 上任意取一点 i i 弧段 的长度为 si 记 max s1 s2 sn 则该构件的质量为 图9 1 6 定义2设L为xOy平面内的一条光滑曲线 z f x y 为L上的连续函数 用分点M1 M2 Mn 1 把L分成n小段 在 存在 则将此极限值称为函数f x y 在L上对弧长的曲线积分 记为 其中 f x y 称为被积函数 L称为积分弧段 上任意取一点 i i si表示 的长度 记 max s1 s2 sn 如果 定理1当f x y 在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分存在 7 二 对弧长的曲线积分的性质 由对弧长的曲线积分的定义可知 定积分的所有性质都可以移植过来 性质1设k为常数 则 设下面所涉及的对弧长的曲线积分都存在 性质2 8 性质3将L分成L1与L2 则 其中L0表示L的长度 性质4 性质5f x y g x y 则 9 性质6在L上若设m f x M 则 其中L0表示L的长度 性质7当f x y 在光滑曲线弧L上连续时 必有L上某点 使得 10 三 对弧长的曲线积分的计算 定理2设f x y 在曲线L上连续 L的参数方程为 t 其中 t t 在 上具有一阶连续导数 且 2 t 2 t 0 则有公式 1 成立 1 11 设下面的函数和曲线都满足定理2的条件 则还有如下公式 积分上限要大于下限 设L y y x a x b 则有 设L r r 则有 设L x x y c y d 则有 设L x t y t z t t 则有 12 定理3设f x y 和L满足定理2的条件 若f x y f x y L关于轴对称 L1表示L的位于x轴上方的部分 则有 若f x y f x y 则 13 例1 L是整条星形线 解设L1 x cos3t y sin3t 0 t 2 由定理3可知 于是 14 例2求 L为圆x2 y2 ax a 0 解把L写成极坐标形式r acos 2 2 利用公式 4 有 15 例3求 为螺旋线 x acost y asint z bt 0 t 2 解利用公式 5 有 16 为圆周 解直接利用 5 完成 计算量很大 注意到 于是 例4求 原式 17 设在xOy平面内有一条分布着质量的光滑曲线弧 或分段光滑曲线弧 L 在点 x y 处的线密度为连续函数f x y 利用微元分析法不难推得下面各计算公式 四 对弧长的曲线积分的应用 质量 设重心为 则 18 转动惯量 如果曲线L是空间曲线 也可以得出类似的公式 式中Ix Iy Io分别表示质量弧L对于x轴 y轴 原点的转动惯量 19 下面给出第一型曲线积分的几何意义 当f x y 0时 如果f x y 在平面曲线L上连续 L光滑或分段光滑 见图9 2 曲线积分 表示柱面的面积A 即 20 例5设有柱面 被平面z y所截 求所