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文档简介
附: n阶行列式的等价定义1.2.1 n阶行列式的定义我们用递推的方法（数学归纳法）通过低阶（二阶和三阶行列式）行列式来表示高阶行列式。定义1 设有n2个数排成n行n列的数表 ，记符号 ，为n阶行列式，它表示一个由特定的运算关系所得到的实数，简记为det ()，并称表中的数为det ()的元素。下面给出递推方法定义的D的值。利用二阶行列式表示三元一次线性方程组的解():讨论三元一次线性方程组: 利用二元一次方程组的“行列式”结果求解。先考虑：从前两个方程解出；可以先把它们改写为 再代入第三个方程解出，易有 代入上式得整理即得：同理可得：若规定用记号D=表示，（*）则上述三式右端可记为D1 =, D2 =, D3 =，（在时）方程组（*1）（有唯一）的解可简单地表示为：，。利用二阶行列式表示三元一次线性方程组的解():讨论三元一次线性方程组:用消去法求解,从中找出解的规律(一般表达式)（类似二元一次方程组）用（三阶）“行列式”表示。先考虑：同时消去（！直接解出）假定存在3个数，分别用它们乘以方程组（*1）中的三个方程式两边得到： （*2）将三个方程式相加，希望消去（使其系数为0）；则应有： （*3）一旦求出；便有：令D=，若D0，则： （*4）再看解的结构：（看清！）为决定；将（*3）式改写为： （*5）将看成未知数，用（二阶）行列求出它的解为：， 。 为了更清楚地显示规律性，把上面的行列式稍加整理：，不妨（可以）令，；则适合（*5）式，代入（*4）式即可求出。用同样的方法可以求出。为进一步摸索规律，将原方程组的解写得更简洁整齐些，定义三阶行列式：D=， （*）称为的余子式，为的余子式，为的余子式。有了三阶行列式，记D1 =, D2 =, D3 =，（在系数行列式时）方程组（*1）（有唯一）的解可简单地表示为：，。将三阶行列式的(*)式定义推广，便有递推方式的n阶行列式的定义（值）。先引入余子式和代数余子式的概念。在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，所得到的n-1阶行列式叫做元素的余子式，记作，并称为元素的代数余子式，记为。时，n 阶行列式可以如下定义和计算：定义 。1.2.2 行列式按行(列)展开定理进一步地，我们有下面的展开定理： (行列式按行(列)展开定理) n 阶行列式D等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 ，或 注：记一阶行列式，但不要将其与绝对值概念混淆。利用行列式的展开定理，可以将高阶行列式逐阶降阶化为低阶行列式，最终求出高阶行列式的值，可以简化行列式的计算。例2 计算 。解：例3 证明对角行列式（其中未写出的元素均为零）： ； 。证 显然，由行列式的展开定义可以得出结论。还有一种特殊的行列式三角行列式对角线以下(上)的元素均为零的行列式，其计算也很简单。例4 证
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