山东省烟台市芝罘区高三数学专题复习 函数（2）二次函数定区间上最值问题.doc

烟台芝罘区数学二次函数定区间上最值问题2016高三专题复习-函数（2）一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数 （二）二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，有最大值（3） 二次函数基本形式： 1、的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：上加下减。3. 的性质：左加右减。4. 的性质：二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设：，求在上的最大值与最小值。 方法思路分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。 三、例题分析归类（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1. 轴定区间定例1. 函数在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。答案：函数的最大值为，最小值为。2、轴定区间变例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取 得最小值。图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值综上讨论， 图33、轴变区间定例4. 已知，且，求函数的最值。解：由已知有，于是函数是定义在区间上的二次函数，将 配方得：二次函数的对称轴方程是顶点坐标为，图象开口向上由可得，显然其顶点横坐标在区间的左侧或左端点上。函数的最小值是，最大值是。例5. (1) 求在区间-1,2上的最大值。(2) 求函数在上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为，当即时，； 当即时，。 综上所述：。(2) 函数图象的对称轴方程为， 应分，即，和这三种情形讨论， 下列三图分别为（1）；由图可知 （2）；由图可知 （3） 时；由图可知 ；即4. 轴变区间变例6. 已知，求的最小值。解：将代入u中，得，即时，即时，所以（二）、逆向型指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 解：（1）若，不符合题意。（2）若则 由，得（3）若时，则 由，得 综上知或例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。解：讨论对称轴中1与的位置关系。 若，则 解得 若，则，无解 若，则，无解 若，则，无解 综上，例9. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。（1）令，得 此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；（2）令，得 此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（3）若，得 此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。 综上，或。【二次函数最值问题课后习题】1、 当时，求函数的最大值和最小值2、 当时，求函数的最大值和最小值3、当时，求函数的最小值(其中为常数)练习题答案1、解：作出函数的图象当时，当时，2、 作出函数的图象当时，当